函数的零点与方程的解（第一课时）2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修一.pptx

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函数的零点与方程的解 新课程标准核心素养1.了解函数零点的定义，并会求简单函数的零点；数学抽象2.了解函数零点与方程解的关系；数学抽象3.结合具体连续函数及其图像的特点，了解函数零点存在性定理.逻辑推理 情境引入我们已经学习了用二次函数的观点认识一元二次方程，知道一元二次方程的实数根就是相应二次函数的零点.例如，方程x2－12x＋20＝0的解为x1＝2，x2＝10，,则二次函数f(x)=y=x2－12x+20的零点就是2和10xyo210在图像上显示为 画出下列函数的图象(1)f(x)=x－1f(x)=x2－2x+1(2)f(x)=f(x)=(3)f(x)=2x－1f(x)=log2x21-1-2120yx-121-1-2120yx-121-1-2120yx-1°思考：当函数和x轴有交点时，其交点横坐标与方程f(x)=0的解有什么关系？ 如图为函数在上的图象：xyo1-2243-3-1-4问题1：根据函数的图象，你能否得出方程的实根？x=-3，x=-1，x=2问题2：你认为方程f(x)=0的实根和对应函数的图象与x轴交点的横坐标有什么关系？方程f(x)=0的实数根函数y=f(x)图象与x轴交点的横坐标 函数零点的定义:与二次函数的零点一样，对于一般函数y=f(x)，我们把使得f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.知识点一这样，函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数解，也就是函数y=f(x)的图像与x轴的交点的横坐标.所以：方程f(x)=0有实数解函数y=f(x)有零点函数y=f(x)的图像与x轴有交点 思考(1)函数的零点是点吗？(2)函数的零点个数、函数的图象与x轴的交点个数、方程f(x)＝0根的个数有什么关系？①数值上相等②存在性相同③个数相等函数的零点不是点，而是实数问：求函数零点的方法有哪些？零点的定义给出了求解函数零点的基本方法(1)代数法：若方程f(x)=0可解，其实数根就是函数y=f(x)的零点.(2)图像法：若方程f(x)=0难以直接求解，将其改为f(x)=g(x)-h(x)=0,进一步改为g(x)=h(x)，在同一坐标系中分别画出两个函数y=g(x)和y=h(x)的图像，两图像交点的横坐标就是函数y=f(x)的零点.. 1.函数的零点是（）A.（－1,0）或（6,0）B.x=6C.（6,0）D.－1和62.求下列函数的零点.12-1，3 以二次函数f(x)=x2-2x-3为例,观察它的图象,发现它在区间[2,4]上有零点。这时，函数图象与x轴有什么关系?在区间[-2,0]上是否也有这种关系?你认为应如何利用函数f(x)的取值规律来刻画这种关系?再任意画几个函数的图象，观察函数零点所在区间，以及这一区间内函数图象与x轴的关系，并探究用f(x)的取值刻画这种关系的方法.可以发现，在零点附近，函数图象是连续不断的，并且“穿过”x轴。函数在端点x=2和x=4的取值异号，即f(2)f(4)<0,函数f(x)=x2-2x-3在区间(2,4)内有零点x=3,它是方程x2-2x-3=0的一个根。21-1-2120yx3-14-2 同样地，f(-2)f(0)<0，函数f(x)=x2-2x-3在(-2,0)内有零点x=-1,它是方程x2-2x-3=0的另一个根。观察函数的图象①在区间(a,b)上____(有/无)零点；f(a)f(b)_____0（＜或＞）．②在区间(b,c)上______(有/无)零点；f(b)f(c)_____0（＜或＞）．③在区间(c,d)上______(有/无)零点；f(c)f(d)_____0（＜或＞）bac0yxd有＜有＜有＜21-1-2120yx3-14-2 知识点二函数零点存在定理如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的解。思考1：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上有f(a)f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内是否一定有零点？0yx思考2：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上是连续不断的一条曲线，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内是否一定有零点？0yx“在给定区间[a,b]上连续”和“f(a)f(b)<0”这两个条件缺一不可 思考3：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上是一条连续不断的曲线，且在区间(a,b)内有零点，是否一定有f(a)f(b)<0？xy0“在给定区间[a,b]上连续”和“f(a)f(b)<0”这两个条件是函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点的充分不必要条件。问题4如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，但是否只有一个零点呢？0yx函数零点存在定理可以证明函数有零点，但不能判定零点的个数。 例1已知函数f(x)=lnx+2x－6，能判断出函数零点大致在哪个区间上吗？x123456789f(x)-4-1.30691.09863.38635.60947.79189.945912.079414.1972解：用计算工具作出x、f(x)的对应值表和图象x0－2－4－6105y241086121487643219由函数零点存在定理可知，这个函数在区间(2,3)内至少有一个零点。 1．函数f(x)＝x－2＋log2x，则f(x)的零点所在区间为()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)[解析]f(1)＝－1＋log21＝－1，f(2)＝log22＝1，∴f(1)·f(2)<0，2.f(x)＝lnx＋x3－9的零点所在的区间为()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)[解析]f(1)＝1－9＝－8<0，f(2)＝ln2＋8－9＝ln2－1<0，f(3)＝ln3＋27－9＝ln3＋18>0，∴f(2)·f(3)<0，∴函数f(x)的零点所在的区间为(2,3)． 例2.如何求方程lnx+2x－6=0实数解的个数？解：函数f(x)=lnx+2x－6的定义域为(0,+∞)∵y=lnx和y=2x-6在(0,+∞)上都是增函数，∴f(x)=lnx+2x-6在(0,+∞)上是增函数，又∵f(2)=ln2+2×2－6<0,f(3)=ln3+2×3－6>0,∴函数在定义域(0,+∞)内仅有一个零点方程lnx+2x－6=0实数解的个数化成f(x)=lnx和f(x)=-2x+6图像交点的个数？思考 21-1-2120yx3-1y=lnxy=－2x+6函数零点存在定理的推论：如果函数y=f(x)在[a,b]上,图象是连续的,并且在闭区间的两个端点上的函数值互异，即f(a)f(b)﹤0,且是单调函数,那么，这个函数在(a,b)内必有惟一的一个零点。 CD 3 10yx