函数的最大（小）值　——2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修一.pptx

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函数的最大(小)值 新课程标准核心素养1.理解函数的最大值和最小值的概念及其几何意义．数学抽象2.能借助函数的图象和单调性，求一些简单函数的最值．数学运算3.理解一次函数、二次函数等常见函数的最大(小)值问题．数据分析4.能利用函数的最值解决有关的实际应用问题．数学建模5.掌握利用函数的图象和函数的单调性求一些简单函数的最大(小)值的方法．数据分析 知识点一：函数的最大(小)值的概念曲线的最高点对应的纵坐标为函数的最大值，最大值为9；曲线的最低点对应的纵坐标为函数的最小值，最小值为－2. 1．最大值一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M;（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M那么，称M是函数y=f(x)的最大值2．最小值一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥M;（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M那么，称M是函数y=f(x)的最小值 思考2：若函数f(x)≤M，则M一定是函数的最大值吗？提示：不一定，只有定义域内存在一点x0，使f(x0)＝M时，M才是函数的最大值，否则不是．函数的最值与值域有怎样的关系？(1)函数的值域一定存在，函数的最值不一定存在．(2)若函数的最值存在，则最值一定是值域中的元素．(3)若函数的值域是开区间，则函数无最值；若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值． 题型一利用函数的图像求函数的最值(值域)xyo12341234-1-25(2)由图可知f(x)的单调递增区间为(－1，0)，(2，5)，单调递减区间为(0，2)，值域为[－1，3]. 1．函数f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是________．－1、2xyo123123-1-2故f(x)的最大值为1，最小值为0 题型二利用函数的单调性求最值(值域)x1－x2(x1+1)(x2+1) 同理f(x)在[2,4]上是增函数．∴当x＝2时，f(x)取得最小值4；当x＝1或x＝4时，f(x)取得最大值5. 2.求函数在区间[2，6]上的最大值和最小值．解：设x1,x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x10,(x1-1)(x2-1)>0,于是f(x1)－f(x2)>0,f(x1)>f(x2)所以，函数y＝是区间[2,6]上的单调递减.2x-1x=2时取最大值，最大值是2，在x=6时取最小值，最小值为0.4. 题型三二次函数的最值问题例3.已知函数f(x)＝3x2－12x＋5，当自变量x在下列范围内取值时，求函数的最大值和最小值．(1)R；(2)[0,3]；(3)[－1,1]．[解析]f(x)＝3x2－12x＋5＝3(x－2)2－7，作出函数y＝f(x)的图象，如图所示．xyo24245-7(1)当x∈R时，f(x)＝3(x－2)2－7≥－7，当x＝2时，等号成立．故当x∈R时，函数f(x)的最小值为－7，无最大值．(2)[－7,5](3)[－4,20] 例4.求函数f(x)＝x2－2x＋2在区间[t，t＋1]上的最小值g(t)．xyo1212-1-2xyo1212-1-2xyo1212-1-2t＋1t＋1ttt＋1t当t＋1<1，即t<0时，函数图象如图1所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数，所以最小值为g(t)＝f(t＋1)＝t2＋1；当t>1时，函数图象如图3所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，所以最小值为g(t)＝f(t)＝t2－2t＋2.当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，函数图象如图所示，最小值为g(t)＝f(1)＝1 例5.已知函数f(x)＝x2－ax＋1，求f(x)在[0,1]上的最大值．xyo1212-1-2xyo1212-1-2 [解析](1)令x＝y＝1，得f(1)＝2f(1)，故f(1)＝0. 1．函数y＝x2－2x，x∈[0，3]的值域为()A．[0，3]B．[－1，0]C．[－1，＋∞)D．[－1，3]xyo1212-1-2 3．函数y＝ax＋1在区间[1，3]上的最大值为4，则a＝______．若a<0，则函数y＝ax＋1在区间[1，3]上是减函数，并且在区间的左端点处取得最大值，即a＋1＝4，解得a＝3，不满足a<0，舍去；若a>0，则函数y＝ax＋1在区间[1，3]上是增函数，并且在区间的右端点处取得最大值，即3a＋1＝4，解得a＝1.综上，a＝1 14∴函数g(x)的值域为[－，+∞)178