上海市华东师范大学附属东昌中学2021-2022学年高三下学期第二次阶段检测数学Word版含解析.docx

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华东师范大学附属东昌中学2021学年度高三第二学期阶段检测一考试数学试卷一、填空题：（本大题满分54分，第1-6题，每题4分，第7-12题，每题5分．）1.复数的共轭复数是__________．【答案】i【解析】【分析】根据复数的运算，化简复数再根据共轭复数的概念，即可得到答案.【详解】由题意得，＝，所以其共轭复数为i.故答案为：i.2.若，则__________【答案】或【解析】【分析】根据行列式及对数的运算法则、性质求解.【详解】因为，所以，即，解得或，故答案为：或3.设全集，集合，，且，则实数______．【答案】3或-1##-1或3【解析】【分析】根据集合相等得到，解出m即可得到答案.【详解】由题意，或m=-1. 故答案为：3或-1.4.已知函数是定义域为R的奇函数，当时，，则______．【答案】##【解析】【分析】根据给定条件利用函数奇偶性定义直接计算作答.【详解】因函数是定义域为R的奇函数，当时，，所以故答案为：5.已知，则__________.【答案】##【解析】【分析】首先根据同角三角函数的基本关系求出，再利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得；【详解】解：因为，所以，所以故答案为：6.已知为无穷等比数列，，的各项和为9，，则数列的各项和为______．【答案】【解析】【分析】先求出公比q，得到，直接用公式法求和. 【详解】解：设的公比为，由，的各项和为9，可得，解得，所以，，可得数列是首项为2，公比为的等比数列，则数列的各项和为．故答案为：．7.已知函数，则不等式的解集为______．【答案】【解析】【分析】判断的单调性和奇偶性，再利用其性质求解不等式即可.【详解】因为，定义域为，且，故为奇函数；又均为单调增函数，故是上的单调增函数；则，即，也即，故，，解得.故不等式的解集为.故答案为：.8.已知点P在圆上，已知，，则的最小值为___________.【答案】【解析】【分析】推导出极化恒等式，即，结合最小值为，求出的最小值. 【详解】由题意，取线段AB的中点，则，，两式分别平方得：①，②，①－②得：，因为圆心到距离为，所以最小值为，又，故最小值为：.故答案为：9.已知正方体的棱长为，点E为棱上一动点，点F为棱上一动点，且满足．则三棱锥的体积的最大值为______．【答案】【解析】【分析】设由得到，表示出三棱锥的体积，利用基本不等式求最值.【详解】如图示，不妨设则，所以.而.故三棱锥的体积的最大值为.故答案为：.10. 中国古乐中以“宫”“商”“角”“徵”“羽”为五个基本音阶，故有成语“五音不全”之说，如果用这五个基本音阶随机排成一个五个音阶的音序，则“官”“商”两音不相邻且在“角”音同侧的概率为_______．【答案】【解析】【分析】分别求出被一个音阶隔开的情况和被两个音阶隔开的情况，然后利用古典概型的概率公式求解即可【详解】由题意得，只被一个音阶隔开的情况为“宫徵商”或“宫羽商”，有种排法，被两个音阶隔开的情况为“宫徵羽商”，共有种排法，故“宫”“商”两音不相邻且在“角”音同侧的概率为．故答案为：11.已知抛物线的焦点F在直线上，过点F的直线l与抛物线C相交于A，B两点，O为坐标原点，△的面积是△面积的4倍，则直线l的方程为____________．【答案】【解析】【分析】设A，B分别为，由焦点在已知直线上求F坐标及抛物线方程，再根据题设三角形的面积关系可得，并设直线l为，联立抛物线应用韦达定理求参数m，即可知直线l的方程.【详解】设点A，B的坐标分别为，直线，令可得，故焦点F坐标为，所以，由，，而△的面积是△面积的4倍，所以，即，设直线l为，联立方程，消去x后整理为， 所以，代入，有，可得，则直线l的方程为．故答案为：.【点睛】关键点点睛：根据抛物线焦点位置及其所在直线求抛物线方程，由面积关系得到交点纵坐标的数量关系，注意交点在x轴两侧，再设直线联立抛物线求参数即可.12.已知函数，若对于正数，直线与函数的图像恰好有个不同的交点，则___________.【答案】【解析】【分析】由题意首先确定函数的性质，然后结合直线与圆的位置关系得到的表达式，最后裂项求和即可求得的值.【详解】当时，，即，；当时，，函数周期为2，画出函数图象，如图所示：与函数恰有个不同的交点，根据图象知，直线与第个半圆相切， 故，故，.故答案为：.【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解二、选择题：（本大题满分20分，每题5分．）13.设，，则“”是“”（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】分别取特殊值验证充分性和必要性不满足，即可得到答案.【详解】充分性：取，满足“”，但是“”不成立，即充分性不满足；必要性：取，满足“”，但是“”不成立，即必要性不满足；所以“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D14.在的展开式中的系数为20，则常数（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】写出二项展开式通项公式，求得的项数后，由系数为20可得参数值． 【详解】由题意得二项展开式的通项公式为，依题意，令，则，，解得．故选：A．15.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A，B，C成等差数列，则的取值范围是()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据角A，B，C成等差数列求出B，再利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换即可求范围.【详解】∵角A，B，C成等差数列，∴，∵，∴，∴.根据正弦定理得：＝，∵，∴，∴，∴.故选：A.16.数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线：就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论：①曲线围成的图形的面积是；②曲线上的任意两点间的距离不超过；③若是曲线上任意一点，则最小值是．其中正确结论的个数为（）A.B.C.D. 【答案】C【解析】【分析】结合已知条件写出曲线的解析式，进而作出图像，对于①，通过图像可知，所求面积为四个半圆和一个正方形面积之和，结合数据求解即可；对于②，根据图像求出曲线上的任意两点间的距离的最大值即可判断；对于③，将问题转化为点到直线的距离，然后利用圆上一点到直线的距离的最小值为圆心到直线的距离减去半径即可求解.【详解】当且时，曲线的方程可化为：；当且时，曲线的方程可化为：；当且时，曲线的方程可化为：；当且时，曲线的方程可化为：，曲线的图像如下图所示：由上图可知，曲线所围成的面积为四个半圆的面积与边长为的正方形的面积之和，从而曲线所围成的面积，故①正确；由曲线的图像可知，曲线上的任意两点间的距离的最大值为两个半径与正方形的边长之和，即，故②错误；因为到直线的距离为，所以，当最小时，易知在曲线的第一象限内的图像上， 因为曲线的第一象限内的图像是圆心为，半径为的半圆，所以圆心到的距离，从而，即，故③正确，故选：C.三、解答题：（本大题满分76分）17.如图，四棱锥的底面是正方形，E是棱的中点，F是棱上的点，且A，B，E，F四点共面，．（1）求证：为的中点；（2）若底面，二面角的大小为，求直线与平面所成的角．【答案】（1）证明见详解（2）.【解析】【分析】（1）平面，可得，从而可得是的中点.（2）如图以所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，求平面的一个法向量，直线的方向向量，利用向量法可求直线与平面所成的角.【小问1详解】证明：依题意，平面，平面平面又平面，平面平面，，，又,,即是的中点.【小问2详解】 底面，底面，，又，,平面，平面,，，平面平面为二面角的平面角，,,如图以所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，则,依题意,设平面的一个法向量为，则,即，令，则平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为，,,直线与平面所成的角为.18.已知函数．（1）求函数的定义域，判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）关于x的方程有两个不同的实数解，求实数a的取值范围．【答案】（1），奇函数，理由见解析（2）【解析】【分析】（1）由函数的解析式有意义列出相应的的不等式，求得函数的定义域，根据函数奇偶性的定义，即可判断函数的奇偶性.（2）将关于x的方程有两个不同的实数解转化为转化为，有两个解，即函数与，的图象有两个交点，数形结合，求得答案.【小问1详解】由函数，需满足，解得，即函数定义域为；又，故为奇函数；【小问2详解】关于x的方程，即，所以，即，故关于x的方程有两个不同的实数解，转化为，有两个解，即函数与，的图象有两个交点，设，则，作出函数的图象如图示： 当时函数与的图象有两个交点，即关于x的方程有两个不同的实数解，故实数a的取值范围是.19.降噪耳机主要有主动降噪耳机和被动降噪耳机两种.其中主动降噪耳机的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的反向声波来抵消噪声（如图所示）.已知某噪声的声波曲线是，其中的振幅为，且经过点（1）求该噪声声波曲线的解析式以及降噪芯片生成的降噪声波曲线的解析式；（2）先将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位，得到函数的图象．若锐角满足，求的值．【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）求出的值，再由结合的取值范围可得出的值，即可得出函数的解析式，再由可得出函数的解析式；（2）利用三角函数图象变换可得出函数的解析式，由已知条件可得出 的值，利用同角三角函数的基本关系可求得的值.【小问1详解】解：由已知可得，，可得，所以，，得，因为，则，故，.【小问2详解】解；将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，可得到函数的图象，再将所得函数图象向右平移个单位，可得函数的图象，则，因为，则，，则，故.20.数列的数列的首项，前n项和为，若数列满足：对任意正整数n，k，当时，总成立，则称数列是“数列”（1）若是公比为2的等比数列，试判断是否为“”数列？（2）若是公差为d的等差数列，且是“数列”，求实数d的值；（3）若数列既是“”，又是“”，求证：数列为等差数列.【答案】（1）不是“”数列；（2）；（3）证明见解析；【解析】【分析】（1）假设是数列，由已知，可得，当时，，，，故可判断不是为为数列； （2）设的公差为d，则，由题意，即，解方程即可；（3）由数列既是“数列”，又是“数列”，可得，，进一步推理可得成等差数列，成等差数列，从而即成等差数列.【详解】（1）因为，，所以，假设是数列，则当时，则成立，但时，，，，所以假设不成立，不是为为数列.（2）设的公差为d，则，因为是“数列”，则，即，所以，即.（3）数列既是“数列”，又是“数列”，所以②-①得：，，④-③得：，又③-①得：， ④-②得：，所以成等差数列，设公差为，成等差数列，设公差，因此，所以对恒成立，即成等差数列，设公差为d，在（1）（2）中分别取，得：，解得，，所以.【点睛】本题考查新定义数列问题，涉及到等比数列，等差数列通项及求和公式，考查学生的逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.21.已知椭圆：的长轴长为4，过的焦点且垂直长轴的弦长为1，A是椭圆的右顶点，直线过点交椭圆于C，D两点，交y轴于点P，，，记，，的面积分别为S，，.（1）求椭圆C的标准方程；（2）求证：为定值；（3）若，当时，求实数范围.【答案】（1）（2）证明见解析（3） 【解析】【分析】（1）根据长轴长与通径长求出，，进而得到椭圆方程；（2）设出直线方程，先利用向量关系表达出，联立椭圆方程，根据韦达定理，表达出两根之和与两根之积，代入后求解出答案；（3）利用面积关系，表达出，求出的范围，利用单调性求出实数范围.【小问1详解】将代入椭圆方程，解得：，由已知得:，即，所以，椭圆标准方程为.【小问2详解】设，，不妨设，因为直线与y轴有交点，故斜率一定存在，由已知可设直线：，则由得：.同理：.由得：，即于是，，得..【小问3详解】 .因为，所以又因为，，于是，由得由（2）知：，，所以，其中，由对勾函数可知：单调递增，因此，，所以实数范围是.【点睛】利用韦达定理解决圆锥曲线问题是非常重要的方法，要先设出直线方程，与圆锥曲线联立得到一元二次方程，通常情况下设直线方程，要尽可能的与圆锥曲线联立后尽可能的运算简单，通常情况下直线过轴上的定点时，要消去，而当直线过y轴上的定点时，要消去y，注意直线斜率不存在的情况，可能要单独考虑.