2023年北京第二次普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷03(解析版)

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2023年北京第二次普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟试卷03考生须知1.考生要认真填写考场号和座位序号.2.本试卷共8页，分为两个部分，第一部分为选择题，共60分；第二部分为非选择题，共40分.3．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分必须用铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答.4．考试结束后，考生应将试卷、答题卡放在桌面上，待监考员收回.第一部分（选择题60分）一、选择题（共20小题，每小题3分，共60分．在每题四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．已知集合A＝{﹣2，1，2，3}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∩（∁RB）＝（　　）A．{1，2}B．{﹣2，3}C．{﹣2，1，2}D．{﹣2，2，3}【答案】D解：∵A＝{﹣2，1，2，3}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，∴∁RB＝{x|x≤﹣1或x≥2}，A∩（∁RB）＝{﹣2，2，3}．故选：D．2．若α：x2＝4，β：x＝2，则α是β的（　　）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【答案】B解：α：x2＝4，即x＝±2，β：x＝2，故α是β的必要非充分条件．故选：B．3．的值为（　　）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：sin300°＝sin（360°﹣60°）＝﹣sin60°＝﹣，故选：D．

14．若a＞b，则下列结论正确的是（　　）A．ac2＞bc2B．a2＞b2C．|a|＞|b|D．a+c＞b+c【答案】D解：A选项，当c＝0时，ac2＝bc2，所以A选项错误．B选项，当a＝1，b＝﹣1时，a2＝b2，所以B选项错误．C选项，当a＝1，b＝﹣1时，|a|＝|b|，所以C选项错误．D选项，由于a＞b，所以a+c＞b+c，所以D选项正确．故选：D．5．设x，y∈（0，+∞），且x+4y＝1，则的最小值为（　　）A．6B．7C．8D．9【答案】D解：因为，当且仅当，即x＝2y，即时取得等号，故选：D．6．设a＝30.7，b＝log0.81.6，c＝log0.70.8，则a，b，c的大小关系为（　　）A．a＜b＜cB．c＜a＜bC．b＜c＜aD．c＜b＜a【答案】C解：a＝30.7＞1，b＝log0.81.6＜0，c＝log0.70.8∈（0，1），故b＜c＜a．故选：C．7．命题∀x∈R，ex﹣x﹣1≥0的否定是（　　）A．∃x0∈R，ex0﹣x0﹣1＜0B．∀x∈R，ex﹣x﹣1≥0C．∃x0∈R，ex0﹣x0﹣1≤0D．∀x∈R，ex﹣x﹣1≤0【答案】A解：∀x∈R，ex﹣x﹣1≥0的否定是∃x0∈R，ex0﹣x0﹣1＜0．故选：A．8．化简所得的结果是（　　）

2A．B．C．D．【答案】C解：∵＝+＝．故选：C．9．已知函数，则（　　）A．f（x）是偶函数且是增函数B．f（x）是偶函数且是减函数C．f（x）是奇函数且是增函数D．f（x）是奇函数且是减函数【答案】C解：根据题意，函数，其定义域为R，f（﹣x）＝1﹣＝1﹣，则有f（﹣x）+f（x）＝0，故函数f（x）为奇函数；设x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝（1﹣）﹣（1﹣）＝﹣＝2×，由于x1＜x2，则﹣＜0，则有f（x1）﹣f（x2）＜0，函数f（x）为增函数．故选：C．10．已知m，n，l为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（　　）A．α∥β，l⊥α⇒l⊥βB．l⊥β，α⊥β⇒l∥αC．m⊥α，m⊥n⇒n∥αD．α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n【答案】A解：若l⊥β，α⊥β，则l∥α或l⊂α，故B错误；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错误；若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m与n可能平行与可能异面，故D错误；若α∥β，l⊥α根据线面垂直的判定方法，易得l⊥β，故A正确；故选：A．

311．学校组织知识竞赛，某班8名学生的成绩（单位：分）分别是65，60，75，78，86，84，90，94，则这8名学生成绩的75%分位数是（　　）A．88分B．86分C．85分D．90分【答案】A解：8名学生的成绩从小到大排列为：60，65，75，78，84，86，90，94，因为8×75%＝6，所以75%分位数为第6个数和第7个数的平均数，即（分）．故选：A．12．已知在△ABC中，AB＝5，BC＝4，，则cosA＝（　　）A．B．C．D．【答案】B解：由余弦定理可得AC2＝AB2+BC2﹣2AB⋅BC⋅cosB，即，解得AC＝3，所以AB2＝AC2+BC2，所以△ABC为直角三角形，则在Rt△ABC中，．故选：B．13．sin70°sin10°+cos10°cos70°＝（　　）A．B．C．D．【答案】A解：sin70°sin10°+cos10°cos70°＝cos（70°﹣10°）＝cos60°＝．故选：A．14．幂函数的大致图象是（　　）A．B．

4C．D．【答案】A解：由可知x≥0故C，D错误；由幂函数性质可知，y随着自变量x的增大函数值增大，故B错误．故选：A．15．不等式2x2+5x﹣12＜0的解集为（　　）A．B．C．D．【答案】B．解:由2x2+5x﹣12＜0可得（2x﹣3）（x+4）＜0，解得，因此，原不等式的解集为．故选：B．16．已知平面向量，若与垂直，则实数t＝（　　）A．2B．﹣1C．1D．﹣2【答案】D解：由题意得，即，故12+32+（﹣1+6）t＝0，即10+5t＝0，解得t＝﹣2．故选：D．17．某公司有职工340人，其中男职工180人，用分层抽样的方法从该公司全体职工中抽取一个容量为68的样本，则此样本中男职工人数为（　　）A．40B．36C．34D．32【答案】B解：一个单位共有职工340人，其中男职工180人，则样本中男职工人数为人．

5故选：B．18．从2名男生和3名女生中任选2人参加党史知识演讲比赛，则至少有一名男生被选中的概率是（　　）A．0.7B．0.6C．0.4D．0.3【答案】A解：设男生为A1,A2,，女生为B1,B2,B3,基本事件总数为（A1,A2）,（A1,B1）,（A1,B2）,（A1,B3）,（A2,B1）,（A2,B2）,（A2,B3）,（B1,B2）,（B1,B3）,（B2,B3）10种，事件A＝“至少一名男生被选中”包含的基本事件总数m＝7，∴．故选：A．19．记函数的最小正周期为T．若，为f（x）的零点，则ω的最小值为（　　）A．2B．3C．4D．6【答案】C解：∵，∴Tω＝2π，∵，，∴，∵是零点，∴，∴w＝6k﹣2，当k＝1时，ω的最小值为4，故选：C．20．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PD与B1C所成的角为（　　）A．B．C．D．【答案】D

6解：如图，连接A1P，A1D，由正方体的结构特征可知，A1D∥B1C，∴∠A1DP为直线PD与B1C所成的角，∵DD1⊥平面A1B1C1D1，A1P⊂平面A1B1C1D1，∴D1D⊥A1P，又P为B1D1的中点，∴A1P⊥B1D1，又B1D1∩D1D＝D1∴A1P⊥面BDD1B1，所以在Rt△PDA1中，AD1＝2A1P，则∠A1DP＝，即直线PB与AD1所成的角为．故选：D．第二部分（非选择题共40分）二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分）21．函数f（x）＝+x的值域是　．【答案】[，+∞）．解：设y＝f（x）＝+x，令t＝≥0，∴x＝，∴y＝t+＝，t≥0，∴函数y在t∈[0，+∞）上单调递增，∴y≥y|t＝0＝，∴f（x）的值域是[，+∞）．故答案为：[，+∞）．22．已知，则sin2θ的值是　　．

7【答案】．解：由题得，则，两边同时平方可得，故．故答案为：．23．在△ABC中，点D在BC边上，BD＝2DC．若，则sinC＝　　．【答案】．解：在△ABD中，由正弦定理得①，在△ADC中，由正弦定理得②，∴①÷②得，∴，∴．故答案为：．24．对如图所示的几何体描述正确的是　　（写出所有正确结论的序号）．①这是一个六面体；②这是一个四棱台；③这是一个四棱柱；④此几何体可由三棱柱截去一个小三棱柱而得到；⑤此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱而得到．

8【答案】①③④⑤解：在①中，∵这个几何体有六个面，∴这是一个六面体，故①正确；在②中，∵这个几何体的侧棱延长后不能交于同一点，∴这不是一个四棱台，故②错误；在③中，如果把这个几何体的正面或背面作为底面就会发现这个一个四棱柱，故③正确；在④中，如图一所示，此几何体可由三棱柱截去一个小三棱柱而得到，故④正确；在⑤中，如图二所示，此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱而得到，故⑤正确．故答案为：①③④⑤．三、解答题（共4小题，每小题7分，共28分，每题写出必要的解题过程和步骤）25．（本小题满分7分）已知函数f（x）＝（a2﹣5a+7）⋅（a﹣1）x是指数函数．（1）求实数a的值；（2）已知g（x）＝f2（x）﹣2f（x）+3，x∈[﹣1，2]，求g（x）的值域．【答案】（1）a＝3；（2）[2，11]．解：（1）由题意可得，解得a＝3；（2）由（1）可得f（x）＝2x，因为x∈[﹣1，2]，令t＝f（x），，令h（t）＝t2﹣2t+3＝（t﹣1）2+2，则g（x）min＝h（1）＝2，g（x）max＝h（4）＝11，因此函数g（x）的值域为[2，11]．26．（本小题满分7分）

9已知函数，x∈R．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）求f（x）在区间上的最小值．【答案】（1）[﹣+4kπ，﹣+4kπ]，k∈Z；（2）﹣2．解：（1）由余弦函数的单调递增区间满足的条件可得﹣π+2kπ≤x+≤2kπ，k∈Z，解得﹣+4kπ≤x≤﹣+4kπ，k∈Z，所以函数的单调递增区间为[﹣+4kπ，﹣+4kπ]，k∈Z；（2）因为x∈，所以x+∈[﹣，]，所以当x+＝π时，即x＝π时，函数取到最小值，且最小值为4•（﹣）＝﹣2．27．（本小题满分7分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1，点D是AB的中点．求证：（1）AC1∥平面B1CD；（2）A1B⊥B1C．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．证明：（1）根据题意，连接AC1，与B1C交于点M，连接DM，四边形BCC1B1为平行四边形，则M为B1C的中点，D为AB的中点，则DM∥AC1，DM在平面B1CD中，则AC1∥平面B1CD；（2）根据题意，三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，则CC1⊥A1C1，又由AC⊥BC，则A1C1⊥BC，而BC∩CC1＝C，则有A1C1⊥面BCC1B1，必有A1C1⊥CB1，又由BC＝CC1，则四边形BCC1B1为正方形，则BC1⊥CB1，又由BC1∩A1C1＝C1，则有CB1⊥面BA1C1，则A1B⊥B1C．

10声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/4/258:20:25；用户：杨广兴；邮箱：13241961273；学号：4464696128．（本小题满分7分）为了研究其种微生物的生长规律，研究小组在实验室对该种微生物进行培育实验．前三天观测的该微生物的群落单位数量分别为8，14，26．根据实验数据，用y表示第t（a∈N*）天的群落单位数量，某研究员提出了两种函数模型：①y＝ax2+bx+c；②y＝p•qx+r，其中q＞0且q≠1．（1）根据实验数据，分别求出这两种函数模型的解析式；（2）若第4天和第5天观测的群落单位数量分别为50和98，请从两个函数模型中选出更合适的一个，并预计从第几天开始该微生物的群落单位数量超过500．【答案】（1）模型①，y＝3x2﹣3x+8；模型②，y＝3⋅2x+2．（2）从第8天开始该微生物的群落单位数量超过500．解：（1）对于函数模型①：把x＝1，2，3及相应y值代入，得，解得a＝3，b＝﹣3，c＝8，所以y＝3x2﹣3x+8；对于函数模型②：把x＝1，2，3及相应y值代入得：，解得p＝3，q＝2，r＝2，所以y＝3⋅2x+2．（2）对于模型①，当x＝4时，y＝44；当x＝5时，y＝68，故模型①不符合观测数据；对于模型②，当x＝4时，y＝50；当x＝5时，y＝98，符合观测数据，所以函数模型②更合适．要使3⋅2x+2＞500，则x≥8，即从第8天开始该微生物的群落单位数量超过500．

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