天津市滨海新区泰达一中2020-2021学年高二下学期期末考试数学Word版含解析

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2020-2021学年天津市滨海新区泰达一中高二（下）期末数学试卷一、单选题（每小题3分，共36分）.1．已知集合M＝{x|x2＞1}，N＝{x|y＝}，则M∪N＝（　　）A．（1，+∞）B．（﹣∞﹣1）∪[1，+∞）C．[1，+∞）D．（﹣1，1]2．“lnm＜lnn”是“m2＜n2”的（　　）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．下列函数中，值域为[0，+∞）的是（　　）A．y＝2xB．y＝xC．y＝lnxD．y＝x34．设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝2x+2x+b（b为常数），则f（﹣1）＝（　　）A．﹣3B．﹣1C．1D．35．已知a＝0.31.5，b＝log1.50.3，c＝1.50.3，则（　　）A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．a＜c＜bD．b＜c＜a6．甲袋里有5只白球，7只红球，乙袋里有4只白球，2只红球，从两个袋中任取一袋，然后从所取到的袋中任取一球，则取到的球是白球的概率为（　　）A．B．C．D．7．某高中期中考试需要考查九个学科（语文、数学、英语、生物、物理、化学、政治、历史、地理），已知语文考试必须安排在首场，且物理考试与英语考试不能相邻，则这九个学科不同的考试顺序共有（　　）种A．AB．AAC．AAD．AA8．已知函数f（x）＝（2x+2﹣x）ln|x|的图象大致为（　　）A．B．

1C．D．9．曲线f（x）＝（x﹣1）x（x+1）﹣在x＝1处的切线方程为（　　）A．y＝3x+2B．y＝3x﹣4C．y＝﹣3x+2D．y＝﹣x10．函数f（x）＝ex﹣x2﹣2x极值点的个数为（　　）A．0B．1C．2D．311．关于函数f（x）＝x2﹣ln|x|﹣1有下述四个结论：①f（x）是偶函数；②f（x）在区间（0，1）单调递增；③f（x）有4个零点；④f（x）的最小值为﹣．其中所有正确结论的编号是（　　）A．①③④B．②④C．①④D．①③12．已知a∈R．设函数f（x）＝若关于x的不等式f（x）≥0在R上恒成立，则a的取值范围为（　　）A．[0，1]B．[0，2]C．[0，e]D．[1，e]二、单空题（本大题共6小题，每题4分，共24分）13．若函数f（x）是幂函数，且满足f（4）＝3f（2），则f（2）的值等于　　．14．函数f（x）＝的定义域为　　．15．已知函数，则f（﹣2020）＝　　．16．已知集合A＝{﹣1，}，B＝{x|mx﹣1＝0}，若A∩B＝B，则所有实数m组成的集合是　　．17．已知x，y均为正实数，且满足，则x+y的最小值为　　．18．已知函数f（x）是偶函数，当x＞0时，f（x）＝，关于x的方程f2（x）+af（x）﹣b2

2＝0有且仅有6个不同的实根，则实数a的范围是　　．三、解答题（本大题共4小题，共60分）19．甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为．（Ⅰ）记甲击中目标的次数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望Eξ；（Ⅱ）求乙至多击中目标2次的概率；（Ⅲ）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率．20．已知函数f（x）＝（x2﹣2ax+3）．（1）若函数f（x）的定义域为（﹣∞，1）∪（3，+∞），求实数a的值；（2）若函数f（x）的定义域为R，值域为（﹣∞，﹣1]，求实数a的值；（3）若函数f（x）在（﹣∞，1]上为增函数，求实数a的取值范围．21．（17分）已知函数f（x）＝ax3﹣（a+2）x2+6x+1．（1）试讨论函数f（x）的单调区间；（2）当a＝1时，求函数f（x）的极值；（3）若函数f（x）在x＝1处取得极大值，求实数a的取值范围．22．（17分）已知函数f（x）＝aex﹣lnx﹣1．（1）当a＝1时，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）设g（x）＝，若g（x）≥1恒成立，求实数a的取值范围；（3）若f（x）有两个零点，求实数a的取值范围．

3参考答案一、单选题（每小题3分，共36分）.1．已知集合M＝{x|x2＞1}，N＝{x|y＝}，则M∪N＝（　　）A．（1，+∞）B．（﹣∞﹣1）∪[1，+∞）C．[1，+∞）D．（﹣1，1]【分析】可求出集合M，N，然后进行并集的运算即可．解：∵M＝{x|x＜﹣1或x＞1}，N＝{x|x≥1}，∴M∪N＝（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）．故选：B．2．“lnm＜lnn”是“m2＜n2”的（　　）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】判断条件和结论，互推关系即可解：lnm＜lnn，则0＜m＜n，故m2＜n2，反之，m2＜n2，得|m|＜|n|，故前者是后者的充分不必要条件，故选：A．3．下列函数中，值域为[0，+∞）的是（　　）A．y＝2xB．y＝xC．y＝lnxD．y＝x3【分析】由题意利用基本初等函数的定义域和值域，得出结论．解：由于y＝2x的定义域为R，值域为（0，+∞），故A不满足条件；由于y＝＝，它的定义域为[0，+∞），值域为[0，+∞），故B满足条件；由于y＝lnx的定义域为（0，+∞），值域为R，故C不满足条件；由于y＝x3的定义域为R，值域为R，故D不满足条件，故选：B．4．设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝2x+2x+b（b为常数），则f（﹣1）＝（　　）A．﹣3B．﹣1C．1D．3【分析】首先由奇函数性质f（0）＝0求出f（x）的解析式，然后利用定义f（﹣x）＝﹣f（x）求f（﹣

41）的值．解：因为f（x）为定义在R上的奇函数，所以f（0）＝20+2×0+b＝0，解得b＝﹣1，所以当x≥0时，f（x）＝2x+2x﹣1，又因为f（x）为定义在R上的奇函数，所以f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣（21+2×1﹣1）＝﹣3，故选：A．5．已知a＝0.31.5，b＝log1.50.3，c＝1.50.3，则（　　）A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．a＜c＜bD．b＜c＜a【分析】利用有理指数幂与对数的运算性质分别比较a，b，c与0和1的大小得答案．解：∵0＜a＝0.31.5＜0.30＝1，b＝log1.50.3＜log1.51＝0，c＝1.50.3＞1.50＝1，∴b＜a＜c．故选：B．6．甲袋里有5只白球，7只红球，乙袋里有4只白球，2只红球，从两个袋中任取一袋，然后从所取到的袋中任取一球，则取到的球是白球的概率为（　　）A．B．C．D．【分析】把取出白球分为甲袋中取出白球和乙袋中取出白球两类进行计算．解：取出甲袋且取出白球的概率为：；取出乙袋且取出白球的概率为；所以取出白球的概率为．故选：C．7．某高中期中考试需要考查九个学科（语文、数学、英语、生物、物理、化学、政治、历史、地理），已知语文考试必须安排在首场，且物理考试与英语考试不能相邻，则这九个学科不同的考试顺序共有（　　）种A．AB．AAC．AAD．AA【分析】由题意利用两个基本原理，排列组合的知识，求出这九个学科不同的考试顺序的种数．

5解：语文考试必须安排在首场，方法，除了物理、英语外，还有6科，这6科任意排，方法种，这6科中间有7个空，从这7个空中，插入物理、英语这2科，方法有种，则这九个学科不同的考试顺序共有••种，故选：C．8．已知函数f（x）＝（2x+2﹣x）ln|x|的图象大致为（　　）A．B．C．D．【分析】判断函数的奇偶性和零点个数，以及利用极限思想进行求解即可．解：f（﹣x）＝（2﹣x+2x）ln|﹣x|＝（2x+2﹣x）ln|x|＝f（x），则f（x）是偶函数，排除D，由f（x）＝0得ln|x|＝0得|x|＝1，即x＝1或x＝﹣1，即f（x）有两个零点，排除C，当x→+∞，f（x）→+∞，排除A，故选：B．9．曲线f（x）＝（x﹣1）x（x+1）﹣在x＝1处的切线方程为（　　）A．y＝3x+2B．y＝3x﹣4C．y＝﹣3x+2D．y＝﹣x【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x＝1处的导数，再求出f（1），利用直线方程的点斜式得答案．解：由f（x）＝（x﹣1）x（x+1）﹣＝，得f′（x）＝，∴f′（1）＝3，又f（1）＝﹣1，∴曲线f（x）在x＝1处的切线方程为y+1＝3（x﹣1），

6即y＝3x﹣4．故选：B．10．函数f（x）＝ex﹣x2﹣2x极值点的个数为（　　）A．0B．1C．2D．3【分析】求出f'（x），令f'（x）＝0，构造g（x）＝ex，h（x）＝2（x+1），将函数的极值点转化为函数g（x）与函数h（x）的图象的交点，利用数形结合法，分析判断即可．解：函数f（x）＝ex﹣x2﹣2x，则f'（x）＝ex﹣2x﹣2，令f'（x）＝0，即ex﹣2x﹣2＝0，故ex＝2（x+1），令g（x）＝ex，h（x）＝2（x+1），在同一坐标系内，作出两条函数的图象，如图所示，由图象可知，函数g（x）与函数h（x）的图象有两个交点，则方程ex＝2（x+1）有两个不同的根，故f'（x）＝0有两个不同的根，且两个根左右的单调性不同，由极值点的定义可知，函数f（x）有两个极值点．故选：C．11．关于函数f（x）＝x2﹣ln|x|﹣1有下述四个结论：①f（x）是偶函数；②f（x）在区间（0，1）单调递增；③f（x）有4个零点；④f（x）的最小值为﹣．其中所有正确结论的编号是（　　）A．①③④B．②④C．①④D．①③

7【分析】直接利用函数的性质，单调性和奇偶性的应用，函数的导数和函数的单调性的关系判断①②③④的结论．解：函数f（x）＝x2﹣ln|x|﹣1（x≠0），故函数满足f（﹣x）＝f（x）故函数f（x）为偶函数，故①正确；当x＞0时，f（x）＝，所以，所以在x＞0时，函数的单调递增区间为（1，+∞），函数的单调递减区间为（0，1），故②错误；根据函数的单调性，所以在x＞0时，函数与x轴有两个交点，根据函数的对称性，函数f（x）与x轴有4个交点，即函数f（x）有4个零点，故③正确；由于函数在x＝1时函数取得极小值，f（1）＝﹣，由于函数的对称性，故﹣为函数的最小值，故④正确；故选：A．12．已知a∈R．设函数f（x）＝若关于x的不等式f（x）≥0在R上恒成立，则a的取值范围为（　　）A．[0，1]B．[0，2]C．[0，e]D．[1，e]【分析】分2段代解析式后，分离参数a，再构造函数求最值可得．解：当x＝1时，f（1）＝1﹣2a+2a＝1＞0恒成立；当x＜1时，f（x）＝x2﹣2ax+2a≥0⇔2a≥恒成立，令g（x）＝＝﹣＝﹣＝﹣＝﹣（1﹣x+﹣2）≤﹣（2﹣2）＝0，∴2a≥g（x）max＝0，∴a≥0．当x＞1时，f（x）＝x﹣alnx≥0⇔a≤恒成立，令h（x）＝，则h′（x）＝＝，当x＞e时，h′（x）＞0，h（x）递增，当1＜x＜e时，h′（x）＜0，h（x）递减，∴x＝e时，h（x）取得最小值h（e）＝e，∴a≤h（x）＝e，综上a的取值范围是[0，e]．

8故选：C．二、单空题（本大题共6小题，每题4分，共24分）13．若函数f（x）是幂函数，且满足f（4）＝3f（2），则f（2）的值等于　3　．【分析】由题意利用查幂函数的定义和性质，求得2a得值，可得要求式子的值．解：设幂函数f（x）＝xa，∵它满足f（4）＝3f（2），∴4a＝3×2a，求得2a＝3，则f（2）＝2a＝3，故答案为：3．14．函数f（x）＝的定义域为　（0，1）∪（1，2]　．【分析】根据函数的解析式，求出使函数有意义的x的范围，即为所求．解：对于函数f（x）＝，应有，即，求得0＜x＜1或1＜x≤2，故答案为：（0，1）∪（1，2]．15．已知函数，则f（﹣2020）＝　﹣1　．【分析】根据解析式推导出f（﹣2020）＝f（﹣2017）＝f（﹣2014）＝…＝f（﹣1）＝f（2），由此能求出结果．解：因为函数，故f（﹣2020）＝f（﹣2017）＝f（﹣2014）＝…＝f（﹣1）＝f（2）＝log3（2+1）﹣2＝﹣1，故答案为：﹣1．16．已知集合A＝{﹣1，}，B＝{x|mx﹣1＝0}，若A∩B＝B，则所有实数m组成的集合是　{﹣1，0，2}　．【分析】由已知得B⊂A，从而B＝∅，或B＝{﹣1}或B＝{}，由此能求出所有实数m组成的集合．解：∵A＝{﹣1，}，B＝{x|mx﹣1＝0}，A∩B＝B，∴B⊂A，∴B＝∅，或B＝{﹣1}或B＝{}，

9∴m＝0或m＝﹣1或m＝2，∴所有实数m组成的集合是{﹣1，0，2}．故答案为：{﹣1，0，2}．17．已知x，y均为正实数，且满足，则x+y的最小值为　6　．【分析】由可得xy＝x+y+3，然后结合基本不等式即可求解．解：由可得xy＝x+y+3．又因为，所以，，即（x+y）2﹣4（x+y）﹣12≥0，即（x+y﹣6）（x+y+2）≥0，所以x+y≤﹣2或x+y≥6．又因为x，y均为正实数，所以x+y≥6（当且仅当x＝y＝3时，等号成立），即x+y的最小值为6．故答案为：618．已知函数f（x）是偶函数，当x＞0时，f（x）＝，关于x的方程f2（x）+af（x）﹣b2＝0有且仅有6个不同的实根，则实数a的范围是　（0，1）　．【分析】根据题意作出f（x）的图象，令t＝f（x），则方程为t2+at﹣b2＝0，若方程f2（x）+af（x）﹣b2＝0有且仅有6个不同的实根，则方程t2+at﹣b2＝0有两个实数根，即可得出答案．解：根据题意作出f（x）的图象，令t＝f（x），则方程为t2+at﹣b2＝0，

10若方程f2（x）+af（x）﹣b2＝0有且仅有6个不同的实根，则方程t2+at﹣b2＝0有两个实数根，所以其中一个根为0，且另一根在区间（﹣，0），所以，解得0＜a＜1，所以a的取值范围（0，1）．故答案为：（0，1）．三、解答题（本大题共4小题，共60分）19．甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为．（Ⅰ）记甲击中目标的次数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望Eξ；（Ⅱ）求乙至多击中目标2次的概率；（Ⅲ）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率．【分析】（1）由题意得甲击中目标的次数ξ为0、1、2、3，根据独立重复试验公式得到变量对应的概率，当变量为0时表示没有击中目标，当变量为1时表示击中目标1次，当变量为2时表示击中目标2次，当变量为3时表示击中目标3次，写出分布列和期望．（2）乙至多击中目标2次的对立事件是乙能击中3次，由对立事件的概率公式得到要求的概率．（3）甲恰比乙多击中目标2次包含甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次和甲恰击中目标3次且乙恰击中目标1次，且这两种情况是互斥的，根据互斥事件的概率公式得到结果．解：（I）由题意得甲击中目标的次数ξ为0、1、2、3，根据独立重复试验公式得到变量对应的概率，当变量为0时表示没有击中目标，当变量为1时表示击中目标1次，当变量为2时表示击中目标2次，当变量为3时表示击中目标3次，∴P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，

11P（ξ＝3）＝＝，∴ξ的概率分布如下表：ξ0123PEξ＝O•+1•+2•+3•＝1.5，（或Eξ＝3•＝1.5）；（II）乙至多击中目标2次的对立事件是乙能击中3次，有对立事件的概率公式得到概率为1﹣＝；（III）设甲恰比乙多击中目标2次为事件A，甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次为事件B1，甲恰击中目标3次且乙恰击中目标1次为事件B2，则A＝B1+B2，B1，B2为互斥事件P（A）＝P（B1）+P（B2）＝•+•＝∴甲恰好比乙多击中目标2次的概率为．20．已知函数f（x）＝（x2﹣2ax+3）．（1）若函数f（x）的定义域为（﹣∞，1）∪（3，+∞），求实数a的值；（2）若函数f（x）的定义域为R，值域为（﹣∞，﹣1]，求实数a的值；（3）若函数f（x）在（﹣∞，1]上为增函数，求实数a的取值范围．【分析】由题目可知f（x）为对数型函数，因此真数位置上的部分大于零（1）由函数定义域可以求的真数位置二次函数的两根与系数的关系，从而求得参数a的值；（2）由函数的定义域可以得到真数位置二次函数的判别式与零的大小关系，根据值域求得参数a的值；（3）由函数的f（x）的单调性可以求得真数位置二次函数的单调性，以此求得参数a的取值范围．【解答】（1）令u（x）＝x2﹣2ax+3，由题意，对于函数u（x），其对称轴x＝，即a＝2．（2）由题意，对于函数u（x），△＝（﹣2a）2﹣4×1×3＜0，即，

12由函数f（x）的值域可得当x＝＝a时，有f（a）＝﹣1，解得a＝1或﹣1．（3）函数f（x）在（﹣∞，1]上为增函数，则u（x）在（﹣∞，1]上为减函数，所以对于函数u（x），有对称轴x＝a≥1，并且当x＝1时，有f（x）min＝f（1）＝1﹣2a+3＞0，即a＜2，所以a的取值范围是1≤a＜2．21．（17分）已知函数f（x）＝ax3﹣（a+2）x2+6x+1．（1）试讨论函数f（x）的单调区间；（2）当a＝1时，求函数f（x）的极值；（3）若函数f（x）在x＝1处取得极大值，求实数a的取值范围．【分析】（1）求导得f′（x）＝3（ax﹣2）（x﹣1），分三种情况：当a＝0时，当a＞0时，当a＜0时，分析f′（x）的正负，f（x）的单调性，即可得出答案．（2）当a＝1时，f（x）＝x3﹣x2+6x+1，求导得f′（x）＝3（x﹣2）（x﹣1），分析f（x）单调性，即可得出f（x）的极值．（3）由（1）可知，可得f（x）的极值，进而可得a的取值范围．解：（1）f′（x）＝3ax2﹣3（a+2）x+6＝3（ax﹣2）（x﹣1），当a＝0时，f′（x）＝﹣6（x﹣1），在（﹣∞，1）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，在（1，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当a≠0时，若a＞0，①＜1时，即a＞2时，在（﹣∞，），（1，+∞）上f′（x）＞0，f（x）单调递增，在（，1）上f′（x）＜0，f（x）单调递减，②＝1时，即a＝2时，在（﹣∞，+∞）上f′（x）≥0，f（x）单调递增，③＞1时，即0＜a＜2时，在（﹣∞，1），（，+∞）上f′（x）＞0，f（x）单调递增，在（1，）上f′（x）＜0，f（x）单调递减，若a＜0，

13＜1时，即a＜0时，在（﹣∞，），（1，+∞）上f′（x）＜0，f（x）单调递减，在（，1）上f′（x）＞0，f（x）单调递增．综上所述，当a＝0时，f（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，当a＞2时，f（x）在（﹣∞，），（1，+∞）上单调递增，在（，1）上f（x）单调递减，当a＝2时，f（x）在（﹣∞，+∞）上f（x）单调递增，当0＜a＜2时，f（x）在（﹣∞，1），（，+∞）上f（x）单调递增，在（1，）上单调递减，当a＜0时，f（x）在（﹣∞，），（1，+∞）上单调递减，在（，1）上f（x）单调递增．（2）当a＝1时，f（x）＝x3﹣x2+6x+1，f′（x）＝3x2﹣9x+6＝3（x2﹣3x+2）＝3（x﹣2）（x﹣1），在（﹣∞，1），（2，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，在（1，2）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，所以f（x）极大值＝f（1）＝，f（x）极小值＝f（2）＝3．（3）由题意可知，函数f（x）在x＝1处取得极大值，当a＝0时，f（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，所以x＝1处取得极大值，符合题意，当a＞2时，f（x）在（﹣∞，），（1，+∞）上单调递增，在（，1）上f（x）单调递减，所以x＝1处取得极小值，不符合题意；当a＝2时，f（x）在（﹣∞，+∞）上f（x）单调递增，没有极值，不合题意，当0＜a＜2时，f（x）在（﹣∞，1），（，+∞）上f（x）单调递增，在（1，）上单调递减，所以x＝1处取得极大值，符合题意，当a＜0时，f（x）在（﹣∞，），（1，+∞）上单调递减，在（，1）上f（x）单调递增．所以x＝1处取得极大值，符合题意，综上所述a的取值范围为（﹣∞，2）．22．（17分）已知函数f（x）＝aex﹣lnx﹣1．（1）当a＝1时，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）设g（x）＝，若g（x）≥1恒成立，求实数a的取值范围；（3）若f（x）有两个零点，求实数a的取值范围．

14【分析】（1）当a＝1时，f（x）＝ex﹣lnx﹣1，则f（1）＝e﹣1，求导得f′（x），由导数的几何意义可得k切＝f′（1）＝e﹣1，进而可得答案．（2）g（x）＝（x＞0），若g（x）≥1恒成立，则a≥（x＞0）恒成立，令h（x）＝，求导得h′（x），h（x）单调性，进而可得h（x）max，则a≥h（x）max，即可得出答案．（3）若f（x）有两个零点，a＝在（0，+∞）上有解，令p（x）＝，x∈（0，+∞），只需y＝a与p（x）有两个交点，即可得出答案．解：（1）当a＝1时，f（x）＝ex﹣lnx﹣1，f′（x）＝ex﹣，所以k切＝f′（1）＝e﹣1，f（1）＝e﹣1，所以曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣（e﹣1）＝（e﹣1）（x﹣1），即y＝（e﹣1）x．（2）g（x）＝＝＝（x＞0），若g（x）≥1恒成立，则≥1（x＞0）恒成立，所以a≥（x＞0）恒成立，令h（x）＝h′（x）＝＝，所以当x＞1时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当0＜x＜1时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，所以h（x）max＝h（1）＝，所以a≥，故a的取值范围为[，+∞）．（3）若f（x）有两个零点，则f（x）＝aex﹣lnx﹣1有两个零点，所以aex﹣lnx﹣1＝0在（0，+∞）上有解，所以a＝在（0，+∞）上有解，令p（x）＝，x∈（0，+∞），

15p′（x）＝＝，令v（x）＝1﹣xlnx﹣x，x＞0，v′（x）＝﹣lnx﹣x•﹣1＝﹣lnx﹣2，当0＜x＜e﹣2时，v′（x）＞0，v（x）单调递增，当x＞e﹣2时，v′（x）＜0，v（x）单调递减，所以v（x）max＝v（e﹣2）＝1﹣e﹣2lne﹣2﹣e﹣2＝1+e﹣2，且v（1）＝0，所以在（0，1）上，p′（x）＞0，p（x）单调递增，在（1，+∞）上，p′（x）＜0，p（x）单调递减，所以p（x）max＝p（1）＝，又在（e﹣1，+∞）上，p（x）＞0；在（0，e﹣1）上，p（x）＜0，所以a的取值范围为（0，）．