天津市和平区2020-2021学年高二下学期期末考试数学Word版含解析

《天津市和平区2020-2021学年高二下学期期末考试数学Word版含解析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

天津市和平区2020-2021学年高二下学期期末考试数学试卷一、单选题1.下列运算正确的是（   ）A. (−1x)'=−1x2              B. (x3+1)'=3x2+1              C. (log2x)'=1xln2              D. (cosx)'=sinx2.现从3名男医生和4名女医生中抽取两人加入“援鄂医疗队”，用A表示事件“抽到的两名医生性别相同”，B表示事件“抽到的两名医生都是女医生”，则P(B|A)=（  ）A. 13                                          B. 47                                          C. 23                                          D. 343.已知某种商品的广告费支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据：x24568y3040506070根据上表可得回归方程y=bx+a，计算得b=7，则当投入10万元广告费时，销售额的预报值为（  ）A. 75万元                               B. 85万元                               C. 99万元                               D. 105万元4.若(x+2x2)n展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式的常数项是（   ）A. 360                                       B. 180                                       C. 90                                       D. 455.中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．如图，是利用算筹表示数1~9的一种方法．例如：3可表示为“≡”，26可表示为“=⊥”．现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1~9这9数字表示两位数的个数为（  ）A. 13                                         B. 14                                         C. 15                                         D. 166.设函数f(x)=2sin(x+π3)(x∈R)，下列结论中错误的是（   ）A. f(x)的一个周期为2π                                        B. f(x)的最大值为2C. f(x)在区间(π6，2π3)上单调递减                       D. f(x+π3)的一个零点为x=π6

17.已知函数f(x)=12ax2+2ax+lnx在区间(0,+∞)上为增函数，则实数a的取值范围是（  ）A. [0,1]                              B. [0,+∞)                              C. (−1,+∞)                              D. (−1,1)8.如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（　　）A. 96                                        B. 84                                         C. 60                                        D. 489.已知函数f(x)={lnx,x≥11e(x+2)(x−a),x<1（a为常数，e为自然对数的底数）的图象在点A(e,1)处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点，则实数a的取值范围是（   ）A. −3−220,ω>0，−π<φ<0)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式为f(x)=________.15.用1，2，3，4，5，6组成六位数(没有重复数字)，要求任何两个相邻数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是________.

2三、解答题16.已知α,β为锐角，tanα=43，cos(α+β)=−55。（1）求cos2α的值。（2）求tan(α−β)的值。17.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数.（1）求ξ的分布列；（2）求ξ的数学期望；（3）求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率.18.已知f(x)=x3+ax2+bx+c在x=1与x=−23时都取得极值．（1）求a,b的值；（2）若f(−1)=32，求f(x)的单调区间和极值。19.已知函数f(x)=23tan(x2+π4)cos2(x2+π4)−sin(x+π)，（1）求函数f(x)的定义域和最小正周期；（2）若将函数f(x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，然后再向右平移φ(φ>0)个单位长度，所得函数的图象关于y轴对称，求φ的最小值.20.设f(x)=x−aex(a∈R)，x∈R，（1）求f(x)的单调区间：（2）已知函数y=f(x)有两个零点x1，x2，且x1

3答案解析部分天津市和平区2020-2021学年高二下学期数学期末考试试卷一、单选题1.下列运算正确的是（   ）A. (−1x)'=−1x2              B. (x3+1)'=3x2+1              C. (log2x)'=1xln2              D. (cosx)'=sinx【答案】C【考点】导数的运算，导数的加法与减法法则，导数的乘法与除法法则【解析】【解答】对于A，(−1x)'=−(−1x2)=1x2，A不正确；对于B，(x3+1)'=3x2，B不正确；对于C，(log2x)'=1xln2，C符合题意；对于D，(cosx)'=−sinx，D不正确.故答案为：C.【分析】利用已知条件结合导数的运算法则和求导公式，进而找出运算正确的选项。2.现从3名男医生和4名女医生中抽取两人加入“援鄂医疗队”，用A表示事件“抽到的两名医生性别相同”，B表示事件“抽到的两名医生都是女医生”，则P(B|A)=（  ）A. 13                                          B. 47                                          C. 23                                          D. 34【答案】C【考点】条件概率与独立事件【解析】【解答】解：由题意知，P(A)=C32+C42C72=37，P(AB)=C42C72=27，所以P(B|A)=P(AB)P(A)=2737=23。故答案为：C.【分析】利用已知条件结合条件概率公式，从而求出P(B|A)的值。3.已知某种商品的广告费支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据：x24568

4y3040506070根据上表可得回归方程y=bx+a，计算得b=7，则当投入10万元广告费时，销售额的预报值为（  ）A. 75万元                               B. 85万元                               C. 99万元                               D. 105万元【答案】B【考点】线性回归方程，回归分析的初步应用【解析】【解答】由题意得x=15(2+4+5+6+8)=5,y=15(30+40+50+60+70)=50，∴样本中心为(5,50)，∵回归直线y=7x+a过样本中心(5,50)，∴50=7×5+a，解得a=15，∴回归直线方程为y=7x+15，当x=10时，y=7×10+15=85，故当投入10万元广告费时，销售额的预报值为85万元。故答案为：B．【分析】利用已知条件结合平均数公式，从而求出中心点的坐标，再利用线性回归方程恒过中心点，再结合代入法和已知条件，从而求出回归直线方程，再利用代入法求出当投入10万元广告费时的销售额的预报值。4.若(x+2x2)n展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式的常数项是（   ）A. 360                                       B. 180                                       C. 90                                       D. 45【答案】B【考点】二项式定理，二项式系数的性质【解析】【解答】展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中第6项为中间项，所以总共11项，故n＝10，通项公式为Tr+1=C10r(x)10−r(2x2)r=2rC10rx5−5r2当5−5r2=0，即r=2时为常数，此时T3=22C102=180所以展开式的常数项是180

5故答案为：B【分析】首先由已知条件结合二项式项数的性质即可求出n的值，由此即可求出二项展开式的通项公式结合已知条件代入数值计算出结果即可。5.中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．如图，是利用算筹表示数1~9的一种方法．例如：3可表示为“≡”，26可表示为“=⊥”．现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1~9这9数字表示两位数的个数为（  ）A. 13                                         B. 14                                         C. 15                                         D. 16【答案】D【考点】分类加法计数原理【解析】【解答】根据题意，现有6根算筹，可以表示的数字组合为1、5，1、9，2、4，2、8，6、4，6、8，3、3，3、7，7、7；数字组合1、5，1、9，2、4，2、8，6、4，6、8，3、7中，每组可以表示2个两位数，则可以表示2×7=14个两位数；数字组合3、3，7、7，每组可以表示1个两位数，则可以表示2×1=2个两位数；则一共可以表示14+2=16个两位数。故答案为：D．【分析】利用已知条件结合分类加法计数原理，从而求出可以用1~9这9数字表示两位数的个数。6.设函数f(x)=2sin(x+π3)(x∈R)，下列结论中错误的是（   ）A. f(x)的一个周期为2π                                        B. f(x)的最大值为2C. f(x)在区间(π6，2π3)上单调递减                       D. f(x+π3)的一个零点为x=π6【答案】D【考点】函数单调性的判断与证明，函数的最值及其几何意义，三角函数的周期性及其求法，函数的零点【解析】【解答】∵f(x)=2sin(x+π3)(x∈R)，∴f(x)的一个周期为T=2π1=2π，A符合题意；f(x)的最大值为2，B符合题意；

6令π2+2kπ≤x+π3≤3π2+2kπ,k∈Z，解得π6+2kπ≤x≤7π6+2kπ,k∈Z，∴f(x)的单调递减区间为[π6+2kπ,7π6+2kπ],k∈Z，∵(π6，2π3)⊆[π6+2kπ,7π6+2kπ],k∈Z，∴f(x)在区间(π6，2π3)上单调递减，C符合题意；∵f(x+π3)=2sin(x+2π3)，且2sin(π6+2π3)=2sin5π6≠0，D不符合题意.故答案为：D.【分析】利用已知条件结合正弦型函数最小正周期公式，从而求出正弦型函数的最小正周期；再利用正弦型函数的图像求出正弦型函数的最大值；利用已知条件结合正弦型函数的图像判断出正弦型函数在给定区间的单调性；再利用函数零点的求解方法，从而求出函数的零点，进而选出结论错误的选项。7.已知函数f(x)=12ax2+2ax+lnx在区间(0,+∞)上为增函数，则实数a的取值范围是（  ）A. [0,1]                              B. [0,+∞)                              C. (−1,+∞)                              D. (−1,1)【答案】B【考点】函数恒成立问题，利用导数研究函数的单调性【解析】【解答】因为f(x)=12ax2+2ax+lnx,所以f'(x)=ax+2a+1x,因为函数f(x)=12ax2+2ax+lnx在区间(0,+∞)上为增函数,所以ax+2a+1x≥0,即a≥−1x2+2x在区间(0,+∞)上恒成立,因为y=x2+2x=(x+1)2−1在(0,+∞)上递增,所以x2+2x>0,所以−1x2+2x<0,所以a≥0。故答案为：B.【分析】利用求导的方法判断函数的单调性，再利用函数f(x)=12ax2+2ax+lnx在区间(0,+∞)上为增函数，从而结合不等式恒成立问题求解方法，从而求出实数a的取值范围。8.如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（　　）

7A. 96                                        B. 84                                         C. 60                                        D. 48【答案】B【考点】等可能事件的概率【解析】【解答】解：分三类：种两种花有A42种种法；种三种花有2A43种种法；种四种花有A44种种法．共有A42+2A43+A44=84．故选B【分析】这道题比起前几年出的高考题要简单些，只要分类清楚没有问题，分为三类：分别种两种花、三种花、四种花，分这三类来列出结果．9.已知函数f(x)={lnx,x≥11e(x+2)(x−a),x<1（a为常数，e为自然对数的底数）的图象在点A(e,1)处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点，则实数a的取值范围是（   ）A. −3−22

8∵切线与f(x)=lnx，x⩾1，在A(e,1)点有一个交点，∴只需要满足③式x2+(1−a)x−2a=0在x<1内有两个不相同的实数根即可，则只需Δ>0和抛物线对称轴小于1，且当x=1时x2+(1−a)x−2a>0，才能保证在x<1内有两个不相同的实数根，则{Δ>01+(1−a)−2a>0−(1−a)2<1，即{a2+6a+1>01+1−a−2a>0a−1<2，解得：{(−∞,−3−22)∪(−3+22,+∞)a<23a<3，∴所以实数a的取值范围为a<−3−22或−3+220和抛物线对称轴小于1，且当x=1时x2+(1−a)x−2a>0，才能保证在x<1内有两个不相同的实数根，从而求出实数a的取值范围。 二、填空题10.求值cos330°=________.【答案】32【考点】运用诱导公式化简求值

9【解析】【解答】cos330°=cos(360°−30°)=cos30°=32，故填32.【分析】利用诱导公式可得cos330°=cos30°，从而得到求解的值.11.随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2)，已知P(ξ<0)=0.3，则P(ξ<2)=________.【答案】0.7【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，概率的应用【解析】【解答】随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2)，∴曲线关于x=1对称，∴P(ξ<0)=P(ξ>2)=0.3，∴P(ξ<2)=1−0.3=0.7。点睛：关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法①熟记P(μ－σ

10【分析】利用已知条件结合赋值法求出各项的系数和a的值，再利用二项式系数和公式，从而求出b的值，进而求出ab的值。14.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0，−π<φ<0)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式为f(x)=________.【答案】2sin(2x−π3)【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式【解析】【解答】由图可知最大值为2，故A=2，由图可知34T=5π12−(−π3)，所以T=π，又因为T=2πω，所以ω=2，故f(x)=2sin(2x+φ)，又因为函数经过点(5π12,2)，即2=2sin(2×5π12+φ)，所以1=sin(5π6+φ)，又因为−π<φ<0，所以φ=−π3，所以f(x)=2sin(2x−π3)。故答案为：2sin(2x−π3)。【分析】利用正弦型函数的最高点的纵坐标求出A的值，再利用正弦型函数的最小正周期公式求出ω的值，再结合正弦函数五点对应法，从而结合φ的取值范围求出φ的值，进而利用正弦型函数的部分图象求出正弦型函数的解析式。15.用1，2，3，4，5，6组成六位数(没有重复数字)，要求任何两个相邻数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是________.【答案】40【考点】分步乘法计数原理，排列、组合及简单计数问题【解析】【解答】第一步：先将3，5排列有A22种，

11第二步：再将4，6插空排列（满足奇偶性不同）有2A22种，第三步：将1，2捆绑插空排列有A51种，由分步计数原理可得A22⋅2A22⋅A51=40种。故答案为：40。【分析】利用已知条件结合排列数公式和分步乘法计数原理，从而求出任何两个相邻数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数。三、解答题16.已知α,β为锐角，tanα=43，cos(α+β)=−55。（1）求cos2α的值。（2）求tan(α−β)的值。【答案】（1）解：∵{tanα=43sin2α+cos2α=1α为锐角⇒{sinα=45cosα=35则cos2α=-725（2）解：由（1）可知，sin2α=2sinα⋅cosα=2425，tan2α=sin2αcos2α=-247α,β∈(0,π2)，所以α+β∈(0,π)即sin(α+β)=255，tan(α+β)=sin(α+β)cos(α+β)=-2tan(α−β)=tan[2α−(α+β)]=tan2α−tan(α+β)1+tan2α⋅tan(α+β)=−211【考点】同角三角函数间的基本关系，同角三角函数基本关系的运用【解析】【分析】（1）同三角函数关系，得到sinα,cosα，再用倍角公式。（2）配凑角，α−β=2α−(α+β)17.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数.（1）求ξ的分布列；（2）求ξ的数学期望；（3）求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率.【答案】（1）ξ可能取的值为0，1，2.P（ξ=k）=C2k·C43−kC63，k=0，1，2.所以，ξ的分布列为ξ012P153515

12（2）由（1），ξ的数学期望为Eξ=0×15+1×35+2×15=1；（3）由（1），“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率为P(ξ≤1)=P(ξ=0)+P(ξ=1)=45.【考点】互斥事件的概率加法公式，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差【解析】【分析】（1）利用已知条件求出随机变量ξ可能取的值，再利用组合数公式结合古典概型求概率公式，从而求出随机变量ξ的分布列。（2）利用随机变量ξ的分布列结合数学期望公式，从而求出随机变量ξ的数学期望。（3）利用已知条件结合互斥事件加法求概率公式，从而求出“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率。18.已知f(x)=x3+ax2+bx+c在x=1与x=−23时都取得极值．（1）求a,b的值；（2）若f(−1)=32，求f(x)的单调区间和极值。【答案】（1）解：f′（x）＝3x2＋2ax＋b＝0．由题设知x＝1，x＝－23为f′（x）＝0的解．∴－23a＝1－23，b3＝1×(−23)．∴a＝－12，b＝－2．经检验，这时x＝1与x＝－23都是极值点．（2）解：f（x）＝x3－12x2－2x＋c，由f（－1）＝－1－12＋2＋c＝32，得c＝1．∴f（x）＝x3－12x2－2x＋1．x(−∞,−23)−23(−23,1)1(1,+∞)f'(x)+0-0+f(x)递增极大值递减极小值递增∴f（x）的递增区间为(−∞,−23)和（1，＋∞），递减区间为(−23,1)．当x＝－23时，（x）有极大值f(−23)＝4927；当x＝1时，f（x）有极小值f（1）＝－12．【考点】利用导数研究函数的极值【解析】【分析】（1）因为函数在极值点处导数等于0，所以若f（x）在x=1与x=−23时，都取得极值，则f'(1)=0,f'(−23)=0,就可得到a，b的值；（2）先由f(−1)=32

13求出函数中的c值，再求导数，令导数大于0，解得x的范围是函数的增区间，令导数小于0，解得x的范围是函数的减区间，增区间与减区间的分界点为极值点，且当极值点左侧导数大于0，右侧导数小于0时取得极大值，当极值点左侧导数小于0，右侧导数大于0时取得极小值，再把x的值代入原函数求出极大值与极小值19.已知函数f(x)=23tan(x2+π4)cos2(x2+π4)−sin(x+π)，（1）求函数f(x)的定义域和最小正周期；（2）若将函数f(x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，然后再向右平移φ(φ>0)个单位长度，所得函数的图象关于y轴对称，求φ的最小值.【答案】（1）因为x2+π4≠π2+kπ(k∈Z)，即x≠π2+2kπ(k∈Z)，所以函数f(x)的定义域{x|x≠π2+2kπ(k∈Z)}f(x)=23tan(x2+π4)cos2(x2+π4)−sin(x+π)=23sin(x2+π4)cos(x2+π4)cos2(x2+π4)−sin(x+π)=23sin(x2+π4)cos(x2+π4)−sin(x+π)=3sin(x+π2)−sin(x+π)=3cosx+sinx=2sin(x+π3)T=2π1=2π所以函数f(x)的最小正周期2π，（2）因为将函数f(x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，所以y=2sin(2x+π3)，因为又向右平移φ(φ>0)个单位长度，所以y=2sin[2(x−φ)+π3]=2sin(2x−2φ+π3)，又因为平移后函数的图象关于y轴对称，所以−2φ+π3=π2+kπ(k∈Z)，即φ=−π12−kπ2(k∈Z)，所以当k=−1时，φ取得最小值，此时φ=5π12，所以φ取得最小值为5π12.

14【考点】函数的定义域及其求法，三角函数的周期性及其求法，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，图形的对称性【解析】【分析】（1）利用正切型函数求定义域的方法，从而求出函数f(x)的定义域，再利用同角三角函数基本关系式结合二倍角的正弦公式和诱导公式，再结合辅助角公式化简函数为正弦型函数，再利用正弦型函数最小正周期公式，从而求出正弦型函数f(x)的最小正周期。（2)利用已知条件结合正弦型函数的图象变换，从而得出变换后的图像解析式，再利用图象的对称性结合已知条件，从而求出φ=−π12−kπ2(k∈Z)，所以当k=−1时，φ取得最小值，此时φ=5π12，进而求出φ的最小值。20.设f(x)=x−aex(a∈R)，x∈R，（1）求f(x)的单调区间：（2）已知函数y=f(x)有两个零点x1，x2，且x10在R上恒成立，所以f(x)的单调递增区间为(−∞,+∞)；②若a>0，令f'(x)=1−aex=0，则x=−lna，x∈(−∞,−lna)时，f'(x)>0，f(x)的单调递增；x∈(−lna,+∞)时，f'(x)<0，f(x)的单调递减；所以f(x)的单调递增区间为(−∞,−lna)，单调递减区间为(−lna,+∞)；综上：若a≤0，f(x)的单调递增区间为(−∞,+∞)；若a>0，f(x)的单调递增区间为(−∞,−lna)，单调递减区间为(−lna,+∞)（2）（i）由（1）知：函数y=f(x)有两个零点需满足{a>0f(−lna)>0，即{a>0−lna−1>0，所以00，由已知x1,x2满足a=g(x1),a=g(x2)，由a∈(0,1e)，及g(x)的单调性，可得x1∈(0,1),x2∈(1,+∞)，对于任意a1,a2∈(0,1e)，设a1>a2，g(ξ1)=g(ξ2)=a1，其中0<ξ1<1<ξ2；g(η1)=g(η2)=a2，其中0<η1<1<η2；因为g(x)在(0,1)上单调递增，由a1>a2，即g(ξ1)>g(η1)，可得

15ξ1>η1，同理可得ξ2<η2，又由ξ1>η1>0得ξ2ξ1<η2ξ1<η2η1，故x2x1随着a的减小而增大.【考点】函数的单调性及单调区间，函数恒成立问题，利用导数研究函数的单调性，函数零点的判定定理【解析】【分析】（1）利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的单调区间。（2）（i）由（1）知，函数y=f(x)有两个零点需满足{a>0f(−lna)>0，从而求出实数a的取值范围。（ii）因为f(x)=x−aex=0，则a=xex，令g(x)=xex，再利用求导的方法判断函数的单调性，所以函数g(x)在(−∞,1)上单调递增，在(1,+∞)单调递减，并且x∈(−∞,0]时，g(x)≤0，当x∈(0,+∞)时，g(x)>0，由已知x1,x2满足a=g(x1),a=g(x2)，由a∈(0,1e)及g(x)的单调性，可得x1∈(0,1),x2∈(1,+∞)，对于任意a1,a2∈(0,1e)，设a1>a2，g(ξ1)=g(ξ2)=a1，其中0<ξ1<1<ξ2；g(η1)=g(η2)=a2，其中0<η1<1<η2；再利用函数g(x)的单调性,再由a1>a2，即g(ξ1)>g(η1)，可得ξ1>η1，同理可得ξ2<η2，又由ξ1>η1>0得ξ2ξ1<η2ξ1<η2η1，从而证出x2x1随着a的减小而增大。