《等差数列的概念及其通项公式(2)》示范公开课教学课件【高中数学北师大】

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第一章数列等差数列的概念及其通项公式(2)

11.理解等差数列的概念，会求两个数的等差中项；2.理解数列的函数特性，掌握等差数列的增减性，并能运用等差数列的性质解决问题；3.通过等差数列的性质的探究性应用，培养学生的逻辑推理、数学运算等素养.会求两个数的等差中项．会运用等差数列的性质解决问题．

2前面我们学习了等差数列，能说出等差数列的概念及通项公式吗？概念：对于一个数列，如果从第2项起，每一项与它的前一项的差都是同一个常数，那么称这样的数列为等差数列，称这个常数为等差数列的公差，通常用字母d表示.*通项公式：首项为，公差为的等差数列的通项公式为.

3我们知道，数列是一种特殊的函数，观察等差数列的通项公式，你发现与的关系与以前所学过的什么函数有关？在通项公式中，谁是常量，谁是变量？变量之间有什么变化关系？和是常量，和是变量.随的变化而变化，且每一个的值对应一个.所以是关于的函数．

4我们知道，数列是一种特殊的函数，观察等差数列的通项公式，你发现与的关系与以前所学过的什么函数有关？（1）当公差时，是常数函数，此时数列是常数列（因此，公差为的等差数列是常数列）；（2）当公差时，是自变量取整数的一次函数.定义在正整数集（或其子集）上的函数.

5你能画出等差数列的图象吗？的图象与一次函数的图象有什么关系？从函数的角度看，公差的几何意义是什么？等差数列的图象是一次函数图象的一个子集，是图象上一些间隔的点．公差是对应直线的斜率.的取值对图象的增减性是否有影响？有，分，，三种情况.

6你能画出等差数列的图象吗？等差数列的图象是斜率为，截距为的直线上，自变量取正整数的点组成的集合.nO1234ana1dnO1234ana1dnO1234ana1d＞0d＜0d=0

7等差数列的增减性当时，数列为递增数列；当时，数列为递减数列；当时，数列为常数列.

8在如下的两个数中插入一个什么数，能让这三个数变成等差数列？（1）2，，6；（2）；（3）.4数列（3）中，中间这个数与前后两个数之间有什么关系？设中间这个数是，则，整理得．

9定义如果在与之间插入一个数，使，，成等差数列，那么叫作与的等差中项.如果是与的等差中项，那么，所以．条件：如果，，成等差数列.结论：那么叫做与的等差中项.满足的关系式：2.在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项和后一项的等差中项.

10你能表达等差数列中任意连续三项之间的数量关系吗？设等差数列中任意连续三项为，则，即.如果一个数列中，中间的每一项都是它的前一项与后一项的等差中项，那么这个数列一定是等差数列．

11判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)数列的通项公式为，则数列的公差与函数的图象的斜率相等．()(2)等差数列的单调性与公差有关．()(3)若三个数满足，则一定是等差数列．()(4)任意两个实数都有等差中项．()

12已知（1，1），（3，5）是等差数列图象上的两点.（1）求数列的通项公式；（2）画出数列的图象；（3）判断数列的增减性.解：（1）因为（1，1），（3，5）是等差数列图象上的两点，所以，.由=，解得，于是.由图象上的两点可以得到数列的哪两项？，.如何求通项公式？，代入通项公式求即可.

13已知（1，1），（3，5）是等差数列图象上的两点.（1）求数列的通项公式；（2）画出数列的图象；（3）判断数列的增减性.（2）数列的图象是直线上一些等间隔的点，如图.数列的图象有什么特征？一次函数图象上一些间隔的点.nO123451234567an（3）由（1）或图象可知，所以数列是递增数列.

14一个木制梯形架的上、下两底边分别为33cm，75cm，把梯形的两腰各6等分，用平行木条连接各对应分点，构成梯形架的各级.试计算梯形架间各级的宽度.解：记梯形架自上而下各级宽度所构成的数列为，则由梯形中位线的性质，易知相邻三项均成等差数列，即数列成等差数列.依题意，有33cm，75cm.现要求，，…，，即中间5级的宽度.依等差数列的定义，有(cm)，各级的宽度构成的数列是特殊的数列吗？是等差数列如何计算？根据等差数列的定义计算即可.

15一个木制梯形架的上、下两底边分别为33cm，75cm，把梯形的两腰各6等分，用平行木条连接各对应分点，构成梯形架的各级.试计算梯形架间各级的宽度.所以=33+7=40(cm)，=40+7=47(cm)，=47+7=54(cm)，=54+7=61(cm)，=61+7=68(cm).因此，梯形架中间各级的宽度自上而下依次是40cm，47cm，54cm，61cm，68cm.各级的宽度构成的数列是特殊的数列吗？是等差数列如何计算？根据等差数列的定义计算即可.

16还有其它方法能求出梯形的中位线长度吗？中位线长度为上、下两底边长的等差中项，即的值.解：根据等差中项的性质可得(cm).

17已知数列是等差数列，求证：.解：设数列的公差为，则，，，，所以，，因为，所以.

18已知数列是等差数列，求证：.你能归纳和表达出例题中等差数列的性质吗？当等差数列中两项角标和相等时，这两项的和相等.等差中项的性质可以用上述性质解释吗？当时，.在等差数列中，已知，则________.16

19已知点(1，5)，(2，3)是等差数列图象上的两点，则数列为()A．递增数列B．递减数列C．常数列D．无法确定解：等差数列的图象所在直线的斜率k<0，则直线呈下降趋势，故数列单调递减.B

20若5，x，y，z，21成等差数列，则x＋y＋z的值是()A．26B．29C．39D．52解：因为5，x，y，z，21成等差数列，所以y既是5和21的等差中项也是x和z的等差中项，所以5＋21＝2y，∴y＝13，∴x＋z＝2y＝26∴x＋y＋z＝39.C

21已知(2，1)，(4，5)是等差数列{an}图象上的两点．(1)求这个数列的通项公式；(2)判断(n，17)是否是{an}图象上的点，若是，求出n的值，若不是，说明理由；(3)判断这个数列的增减性，并求其最小正数项．解：(1)设等差数列{an}的通项公式为an＝dn＋b，由(2，1)，(4，5)是等差数列图象上的两点，可得解得所以an＝2n3.

22已知(2，1)，(4，5)是等差数列{an}图象上的两点．(1)求这个数列的通项公式；(2)判断(n，17)是否是{an}图象上的点，若是，求出n的值，若不是，说明理由；(3)判断这个数列的增减性，并求其最小正数项．(3)由d＝2>0，知数列{an}为递增数列．令2n3>0，得n>，即n≥2.所以数列{an}的最小正数项为a2＝1.解：(2)(n，17)是{an}图象上的点．由2n3＝17，得n＝10∈N*，所以(10，17)是{an}图象上的点．

23结构框图等差中项运算性质等差数列的常用性质如果在与之间插入一个数，使，，成等差数列，那么叫作与的等差中项.条件：如果，，成等差数列.结论：那么叫做与的等差中项.满足的关系式：2.一般地，如果{an}是等差数列，而且正整数s，t，p，q满足s＋t＝p＋q，则as＋at＝ap＋aq．特别地，如果2s＝p＋q，则2as＝ap＋aq．

24教材第15页练习第2，3，4，5题．

25谢谢大家！敬请各位老师提出宝贵意见！

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