《等差数列的概念及其通项公式(1)》示范公开课教学课件【高中数学北师大】

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第一章数列等差数列的概念及其通项公式(1)

11.通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义；2.能用定义判断一个数列是否为等差数列，会利用等差数列的通项公式解决相关问题；3.通过等差数列概念的学习以及通项公式的推导，培养学生数学抽象、逻辑推理等素养.等差数列的概念与等差数列的通项公式．等差数列的通项公式的推导．

2观察下面3个数列，你能发现什么共同特征？（1）一个剧场设置了20排座位，从第1排起各排的座位数组成数列：38，40，42，44，46，…，76.①这个剧场座位安排有何规律？（2）全国统一鞋号中，鞋的各种尺码（表示以mm为单位的鞋底的长度）由大至小可排列为250，245，240，235，230，225，220，215，210，②这种尺码的排列有何规律？（3）蓝白两种颜色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，前4个图案中白色地面砖的块数依次为多少？第1个第2个第3个第4个

338，40，42，44，46，…，76.一个剧场设置了20排座位，从第1排起各排的座位数组成数列：38，40，42，44，46，…，76.①这个剧场座位安排有何规律？从第2项起，每一项与它的前一项的差都是2．数列①中的取值有何规律？这种取值规律可以通过运算式来体现吗？+2+2+2+2可以40-38=42-40=44-42=46-44=…=2.

4250，245，240，235，230，225，220，215，210.全国统一鞋号中，鞋的各种尺码（表示以mm为单位的鞋底的长度）由大至小可排列为250，245，240，235，230，225，220，215，210，②这种尺码的排列有何规律？从第2项起，每一项与它的前一项的差都是-5．数列②中的取值有何规律？这种取值规律可以通过运算式来体现吗？5555可以245-250=240-245=235-240=…=-5.5555

5蓝白两种颜色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，前4个图案中白色地面砖的块数依次为多少？从第2项起，每一项与它的前一项的差都是4．数列②中的取值有何规律？这种取值规律可以通过运算式来体现吗？可以10-6=14-10=18-14=4.白色地面砖的块数依次为：6，10，14，18.③+4+4+4

6前面的三个数列有什么共同特征？(1)38，40，42，44，46，…，76.①(2)250，245，240，235，230，225，220，215，210.②(3)6，10，14，18.③从第2项起，每一项与它的前一项的差都是2．从第2项起，每一项与它的前一项的差都是-5．从第2项起，每一项与它的前一项的差都是4．对于一个数列，从第2项起，每一项与它的前一项的差都是同一个常数.

7定义对于一个数列，如果从第2项起，每一项与它的前一项的差都是同一个常数，那么称这样的数列为等差数列，称这个常数为等差数列的公差，通常用字母d表示.由此定义可知，对等差数列{an}，有a2-a1=a3-a2…=an-an-1=…=d.38，40，42，44，46，…，76.①250，245，240，235，230，225，220，215，210.②6，10，14，18.③前面三个数列的公差是多少？公差d=2公差d=-5公差d=4

8判断以下数列是否是等差数列？若是，指出公差；若不是，说明理由．（1）7，13，19，25，31；（2）2，4，7，11；（3）-1，-3，-5，-7．（1）因为13-7＝19-13＝25-9＝31-25＝6，所以这个数列是等差数列，公差为6；（2）因为4-2＝2，7-4＝3，7-4≠4-2，所以这个数列不是等差数列；（3）因为-3-(-1)＝-5-(-3)＝-7-(-5)＝-2，所以这个数列是等差数列，公差为-2．通过验证数列从第2项起，每一项减去它前一项所得的差是否是一个固定的常数:若是，则是等差数列；若否，则不是等差数列．如何判断一个数列是否是等差数列？

9若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，你能尝试根据定义推导其通项公式吗？根据等差数列的定义，可得an-an-1=d，所以a2-a1=d，a3-a2=d，a4-a3=d，…于是a2=a1+d，a3=a2+d=a1+2d，a4=a3+d=a1+3d，…归纳可得an=a1+(n-1)d，当n=1时，上式为a1=a1+(1-1)d，所以，上式对于n=1时也成立.因此，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d.

10若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，你能尝试根据定义推导其通项公式吗？根据等差数列的定义，可得an-an-1=d，an-1-an-2=d，…a2-a1=d.把以上各式相加，得an-a1=(n-1)d.由此得到an=a1+(n-1)d.因此，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d.你还有其他方法可以得到等差数列通项公式吗？

11an=a1+(n-1)d若首项为a1，公差为d，则等差数列{an}的通项公式为两个基本量可确定等差数列：①首项a1②公差d通项公式中共有四个量：a1，d，n，an.an=am+(n-m)d知三求一

12你能分别写出数列①②③的通项公式吗？38，40，42，44，46，…，76.①250，245，240，235，230，225，220，215，210.②6，10，14，18.③an=2n+36an=-5n+255an=4n+2要写出通项公式需要知道哪些量？首项a1和公差d.

13判断下面数列是否为等差数列.（1）an=2n-1；（2）an=(-1)n.解：（1）由an=2n-1，得an+1=2(n+1)-1，于是an+1-an=[2(n+1)-1]-(2n-1)=2.由n的任意性知，这个数列是等差数列.（2）a2-a1=1-(-1)=2，a3-a2=-1-1=-2.因为a2-a1≠a3-a2，所以这个数列不是等差数列.如何判断一个数列是否为等差数列？通过验证数列从第2项起，每一项减去它前一项所得的差是否是一个固定的常数:若是，则是等差数列；若否，则不是等差数列．

14（1）求等差数列9，5，1，…的第10项；（2）已知等差数列{an}，an=4n-3，求a1和d.解：（1）由a1=9，d=5-9=-4，得a10=a1+(n-1)d=9+(10-1)×(-4)=-27.（2）由an=4n-3，得a1=4×1-3=1，且d=a2-a1=(4×2-3)-1=4.所以等差数列{an}的首项a1=1，公差d=4.如何求等差数列的第n项？将n的取值代入通项计算即可．已知通项如何求a1和d？令n=1求a1an＋1an=d

15已知在等差数列{an}中，a5=-20，a20=-35.试求出此数列的通项公式.解：设数列{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d，由已知得这是一个以a1和d为未知数的二元一次方程组.解这个方程组，得故数列{an}的通项公式为an=-16+(n-1)(-1)=-n-15.已知任意两项如何求等差数列的通项公式？列方程组求首项a1和公差d.根据数列中任意两项可求出通项公式.

16判断下列数列是否为等差数列，如果是，写出它的公差.(1)95，82，69，56，43，30；(2)2，2，2，2，2；(3)1，1.1，1.11，1.111，1.1111，1.11111；(4)1，-2，3，-4，5，-6；(5)1，，，，，，.是，公差是13.是，公差是0.不是不是是，公差是-.

17(1)求等差数列8，5，2…的第20项．(2)已知{an}是等差数列，且a2＝-5，a6＝a4＋6，求首项a1和公差d．解：(1)由已知条件得a1＝8，d＝5-8＝-3，n＝20，从而a20＝8＋(20-1)×(-3)＝-49．所以这个数列的第20项是-49.(2)解：设数列{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d，由已知得，解得a1＝-8，d＝3．

18-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？如果是，是第几项？解：由，得这个数列的通项公式为，令，解得由于，所以是这个等差数列中的项，是第项.问某数是否是指定数列中的项，可以先假设是第n项，通过通项公式反求n的值，若所解出的n值是正整数，则该数是数列的第n项，否则不是．

19课堂小结①判断一个数列是否为等差数列，可通过验证数列从第2项起，每一项减去它前一项所得的差是否是一个固定的常数：若是，则是等差数列；若否，则不是等差数列.②等差数列可以通过两个独立条件确定.这两个独立条件可以是两个基本量：首项与公差，也可以是数列中的任意两项.

20结构框图概念通项公式等差数列的概念及通项公式文字语言：对于一个数列，如果从第2项起，每一项与它的前一项的差都是同一个常数，那么称这样的数列为等差数列，称这个常数为等差数列的公差，通常用字母d表示.符号语言：an＋1an＝d（d为常数，n∈N*），或anan－1＝d（d为常数，n∈N*且n≥2）．an=a1+(n-1)d若首项为a1，公差为d，则等差数列{an}的通项公式为

21教材第13页练习第1，2，3题．

22谢谢大家！敬请各位老师提出宝贵意见！

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