《等差数列的概念及其通项公式》示范公开课教案【高中数学北师大】

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第一章数列2.1　等差数列的概念及其通项公式◆教学目标1.理解等差数列的概念．2.掌握等差数列的通项公式，会利用通项公式求特定的项．3..掌握等差中项的概念．4.通过等差数列概念的学习培养学生的数学抽象素养．5.借助于等差数列的通项公式提升学生的数学运算素养◆教学重难点◆教学重点：等差数列概念的理解、通项公式的应用．教学难点：等差数列通项公式的推导及等差数列的判定．◆教学过程一、新课导入情境：北京天坛圜丘坛为雕砌的三层露天圆台，第一层台面中央嵌一块圆形石板，叫“天心石”，四周围绕有九重石块，从内到外各圈的石板数依次为：9,18,27,36,45,54,63,72,81，观察这个数列，你有什么发现？思考：观察下面的数列，它们有什么共同特征？（1）S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装上对应的尺码分别是38，40，42，44，46，48；

1（2）测量某地垂直地面方向上海拔500米以下的大气温度，得到从距离地面20米起每升高100米处的大气温度（单位）依次为25，24，23，22，21；（3）某电影院一个放影厅共有6排座位，各排座位数为：30，32，34，36，38，40，答：数列（1）的函数图像上升,数列（2）的函数图像下降,数列（3）的函数图像值不变化.二、新知探究定义概念对于一个数列，如果从第2项起，每一项与前一项的差都是同一个常数，那么我们称这样的数列为等差数列，称这个常数为等差数列的公差，通常用字母d表示.an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*)问题1：数列{an}的各项为：n,2n,3n,4n，…，数列{an}是等差数列吗？答：不是，2n−n=n,3n−2n=n,4n−3n=n,数列每一项与其前一项的差都是n，不是常数，所以不是等差数列．问题2：若一个数列从第二项起每一项与它前一项的差都是常数，这个数列一定是等差数列吗？答：不一定，当一个数列从第二项起每一项与它前一项的差都是同一个常数时，这个数列才是等差数列．如数列：1,2,3,5,7,9，就不是等差数列．问题3：当公差d=0时，{a_n}是什么数列？答：显然a1=a2=a3=⋯=an．此时{an}为常数列，所以常数列也是等差数列．设计意图：从学生的认知出发，通过具体问题的思考和分析，归纳总结，抽象出等差数列的概念。发展学生数学抽象和数学建模的核心素养。思考：你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？答：设一个等差数列an的首项为a1,公差为d,根据等差数列的定义，可得an+1−an=d所以a2−a1=d,a3−a2=d,a4−a3=d,…于是a2=a1+d,            a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2d,

2              a4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d,……归纳可得an=a1+(n−1)d   (n≥2)当n=1时，上式为an=a1+(n−1)d=a1，这就是说,上式当时也成立。因此，首项为a1，公差为d的等差数列an的通项公式为an=a1+(n−1)d .思考：还有其它推导方法吗？如何操作？答：　还可以用累加法，过程如下：∵a2－a1＝d，a3－a2＝d，a4－a3＝d，…an－an－1＝d(n≥2)，将上述(n－1)个式子相加得an－a1＝(n－1)d(n≥2)，∴an＝a1＋(n－1)d(n≥2)，当n＝1时，a1＝a1＋(1－1)d，符合上式，∴an＝a1＋(n－1)d(n∈N*)．定义概念从函数角度来看等差数列：若数列an是等差数列，首项为a1，公差为d，则an=f(n)=a1+(n−1)d=nd+(a1−d)，所以，当d≠0时，an是关于n的一次函数，一次项系数就是等差数列的公差.点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上；这些点的横坐标每增加1，函数值增加d.若d>0，数列{an}为递增数列，若d<0，数列{an}为递减数列，

3若d=0，数列{an}为常数列.三、应用举例例1判断下列无穷数列的增减性.(1)an=3−n(2)an=n2−1解:(1)设an=3−n,那么an+1−an=(2−n)−(3−n)=−1,所以数列an是等差数列.(2)an=n2−1,那么an+1−an=[(n+1)2−1]−(n2−1)=2n+1>0,所以数列an不是等差数列.归纳总结：判断数列是否是等差数列的方法------定义法：根据等差数列的定义，对于数列an，若an+1−an=d 是常数，则数列an是等差数列。例2.（1）已知等差数列an的通项公式为an=5−2n，求an公差和首项；（2）求等差数列8,5,2…的第20项。解：（1）当n≥2时，由an的通项公式为an=5−2n，可得an−1=5−2n−1=7−2n.于是d=an−an−1=(5−2n)-(7−2n)=− 2.把代入通项公式an=5−2n，可得a1=3

4（2）由已知条件，得d=5−8=−3把a1=8,d=−3代入an=a1+(n−1)d,得an=8−3(n−1)=11−3n ,把n=20代入上式，得a20=11−3×20=−49 ,所以，这个数列的第20项是−49 例3已知在等差数列{an}中，a5=−20,a20=−35，试求出数列的通项公式.解设{an}的通项公式是an=a1+(n−1)d  由已知得：a5=a1+4d=−20a20=a1+19d=−35解这个方程组得a51=−16d=−1故数列{an}的通项公式为an=−16+(n−1)(−1)=−15−n  .归纳总结：(1)已知an，a1，n，d中的任意三个量，可以求出第四个量．(2)由等差数列的通项公式可以求出该数列中的任意项，也可以判断某一个数是不是该数列中的项．(3)根据等差数列的两个已知条件建立关于“基本量”a1和d的方程组，求出a1和d，从而确定通项公式，求出待求项．设计意图：通过3个例题，加深学生对等差数列及其通项公式的理解和运用，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养.四、课堂练习1.等差数列{an}中，已知a2＝2，a5＝8，则a9＝(　　)A．8　B．12　　　C．16　　　D．24D

5．1，，，…，2．判断397是不是等差数列5，9，13，…的项，如果是，是第几项？参考答案：1.C　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则由a2＝2，a5＝8，得解得a1＝0，d＝2，所以a9＝a1＋8d＝16.故选C.2.由a1＝5，d＝9－5＝4，得这个数列的通项公式为an＝5＋(n－1)×4＝4n+1.由题意，令397＝4n+1，得n＝99，即397是这个数列的第99项．四、课堂小结1．等差数列的通项公式为an=a1+(n−1)d  ，2．已知an，a1，n，d中的任意三个量，可以求出第四个量．3．等差数列的判定关键是看an+1−an(或an−an−1(n≥2))是否为一个与n无关的常数．4．an=a1+(n−1)d ⇒an=nd+(a1−d) ，所以，当d≠0时，an是关于n的一次函数，一次项系数就是等差数列的公差..六、布置作业教材第19页习题1、5.