上海市复旦大学附属中学2021-2022学年高三下学期3月月考数学试题 Word版含解析.docx

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上海市复旦大学附属中学2021-2022学年高三下3月月考数学试卷一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.向量在向量方向上的投影为___________.【答案】【解析】【分析】由向量投影公式直接求解即可得到结果.【详解】向量在方向上的投影为.故答案为：.2.设集合，，则_____．【答案】【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法与对数函数的定义域化简结合A,B，再由交集的定义可得结果【详解】集合，，所以．故答案为：.3.设数列前项的和为，若，且，则______.【答案】【解析】【分析】根据前项的和与通项的关系,即可求出.【详解】，,是以4为首项,公比为4的等比数列,.故答案为: 【点睛】本题考查数列递推关系求前项的和,要灵活应用与的关系,属于基础题.4.已知的二项展开式中的第9项是7920，则实数为__．【答案】【解析】【分析】根据二项式定理确定开式中第9项是，再由，即可求得实数的值.【详解】解：展开式中的第9项是，解得，又，所以．故答案为：.5.2018年上海春季高考有23所高校招生，如果某3位同学恰好被其中2所高校录取，那么不同的录取方法有______种【答案】1518【解析】【分析】解决这个问题得分三步完成，第一步把三个学生分成两组，第二步从23所学校中取两个学校，第三步，把学生分到两个学校中，再用乘法原理求解【详解】解：由题意知本题是一个分步计数问题，解决这个问题得分三步完成，第一步把三个学生分成两组，第二步从23所学校中取两个学校，第三步，把学生分到两个学校中，共有，故答案为1518．【点睛】本题考查分步计数问题，本题解题的关键是把完成题目分成三步，看清每一步所包含的结果数，本题是一个基础题．6.若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是_____．【答案】【解析】【分析】根据函数奇偶性的性质，然后判断函数的单调性，利用分类讨论思想进行求解即可． 【详解】解：因为定义在的奇函数在单调递减，且，所以在上单调递减，且，如下图为的大致图象：所以当或时，；当或时，，由得或，解得或，所以的取值范围是．故答案为：.7.设函数，其中.若函数在上恰有2个零点，则的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】当时,,当时,,,,则,进而求解即可【详解】由题,取零点时,,即,则当时,,,,所以满足,解得 故答案为：【点睛】本题考查已知零点求参数问题,考查运算能力8.设二元一次不等式组所表示的平面区域为，若函数（，且）的图像经过区域，则实数的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】作出平面区域,利用函数（，且）的图像特征,即可解决问题.【详解】作出二元一次不等式组所表示的平面区域,如下图所示:求得,由图可知,要满足条件必有,且图现在过两点的图像之间,当图像过点时,，当图像过点时,，的取值范围是.故答案为:【点睛】本题考查了用平面区域表示二元一次不等式组、指数函数的图像与性质,以及简单的转化思想和数形结合思想,属于中档题.9.已知函数，，，总 ，使得成立，则实数的取值范围是____________.【答案】【解析】【分析】先求出函数与的值域，然后再由，，使得成立，可知函数的值域是的值域的子集，即，进而建立不等关系求的取值范围即可.【详解】∵，∴∵，∴，∴∴要使，总，使得成立，则需满足：∴，解得或∴的取值范围是.【点睛】本题是一道综合性较强的题目，主要考察二次函数、三角函数在给定区间内的值域与建立不等关系求未知数的范围．在求函数的值域时注意利用数形结合方法进行分析．10.如图，双曲线的左右焦点分别为，直线过与双曲线的两渐近线分别交于．若是的中点，且，则此双曲线的渐近线方程为______． 【答案】【解析】【分析】根据题意可得，，从而可得，进而可求渐近线的斜率与方程.【详解】因为是的中点，是的中点，所以，因为，所以，因为两条渐近线关于轴对称，所以，又，所以，渐近线的斜率为，故渐近线方程为．故答案为:.11.已知是边长为的正三角形，平面上两动点、满足（且、、）．若，则的最大值为__________．【答案】【解析】【分析】分析出点、的位置，作出点所在的平面区域，取的中点，可得出 ，求出的最大值，即可得解.【详解】，，即，因为且、、，则、，所以，，所以，点在的边界及其内部，因为，则点在如下图所示的封闭区域内，该区域由、、三条线段以及三段分别以、、为圆心，半径为且圆心角为的圆弧围成的区域，其中四边形、、均为矩形，且，取的中点，则，，，所以，，连接并延长交于点，此时，因此，.故答案为：.【点睛】思路点睛：平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：一是“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．12.定义表示实数、中的较大的数，已知数列满足，， ，若，记数列的前项和为，则的值为_____．【答案】##【解析】【分析】分、两种情况讨论，结合递推公式分析可知数列是以为周期的周期数列，根据可求得的值，再利用数列的周期性可求得的值.【详解】当时，，，，所以，，，，，，，所以数列是以为周期的周期数列，因为，所以，解得，所以；当时，，，，所以，，，，，，，所以数列是以为周期的周期数列，因为，所以，解得，不合题意，舍去．故．故答案为：.【点睛】关键点点睛：解本题求时，由于下标值较大，因此可以考虑利用递推公式分析数列 的周期性或归纳出该数列的通项公式，这是解题的关键，再利用数列的求和方法求解即可.二、选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分）13.若是关于的实系数方程的一根，则等于（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】将代入方程，根据复数为零可得出关于实数、的方程组，可解出、的值，由此可得出的值.【详解】由题意可得，即，所以，解得，因此，.故选：A14.对于函数，我们可以发现有许多性质，如：等，下列关于的性质中一定成立的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据所给的函数解析式，对四个选项逐一判断即可选出正确答案.【详解】选项A：，当为偶数时，上式等于，当为奇数时，上式等于1，故本选项错误；选项B：，显然只有当为偶数时，才有，故本选项错误；选项C：，当为偶数时，上式等于，当为奇数时，上式等于1. 当为偶数时，上式等于，当为奇数时，上式等于1.故本选项正确；选项D：，当为偶数时，上式等于，当为奇数时，上式等于.，当为偶数时，上式等于，当为奇数时，上式等于.故本选项是错误的.故选：C【点睛】本题考查了分类讨论思想，考查了数学运算能力.15.在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”，根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增病例数据，一定符合该标志的是（）A.甲地：总体均值为3，中位数为4B.乙地：总体均值为2，总体方差为3C.丙地：总体均值为1，总体方差大于0D.丁地：中位数为2.5，总体方差为3【答案】B【解析】【分析】利用平均数、中位数、方差的计算公式以及含义，对四个选项逐一分析判断即可【详解】对于A，例如：10天病例数为总体均值为3，中位数为4但是某一天的病例超过了7，故选项A错误；对于B，设连续10天，每天新增疑似病例分别为：假设第一天超过了7人，设为8人，则，因为总体方差为3，所以说明连续10天，每天新增疑似病例不超过7人，故选项B正确；对于C，对于C，例如：10天病例数为：，总体均值为1，方差大于0，但是存在大于7人的数，故选项C错误；对于D，例如：10天病例数为中位数，平均数为，均值为，但是在大于7的数，故选项D错误． 故选：B．16.如图，棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为CC1的中点，点P，Q分别为面A1B1C1D1和线段B1C上动点，则△PEQ周长的最小值为（　　）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】通过对称转换，由三点共线求得三角形周长的最小值.【详解】在平面上，设E关于B1C的对称点为M，根据正方形的性质可知，关于B1C1的对称点为N，，连接MN，当MN与B1C1的交点为P，MN与B1C的交点为时，则MN是△PEQ周长的最小值，，,∴△PEQ周长的最小值为故选：B 三、解答题（本大题共5题，满分76分）17.如图，等腰，，点是的中点，绕所在的边逆时针旋转至．（1）求旋转所得旋转体的体积和表面积；（2）求直线与平面所成角的大小．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由题意旋转体的体积为圆锥体积的，利用公式计算即可；表面由两个直角三角形，一个底面圆和侧面组成，分别计算相加即可；（2）建立空间直角坐标系，利用法向量解决线面角即可.【小问1详解】由题意旋转体的体积为圆锥体积的， 所以；表面由两个直角三角形，一个底面圆和侧面组成，；【小问2详解】建立如图所示的空间直角坐标系则：，，，，则，，，设平面的法向量为，则，令，得，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的大小为．18.某跨国公司决定将某种智能产品大量投放中国市场，已知该产品年固定研发成本30万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该产品万台且全部售完，每万台的销售收入为万元， .（1）写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式（利润＝销售收入﹣成本）；（2）当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？并求出最大利润.【答案】（1）；（2）当年产量为30万台时，该公司获得利润最大，最大利润为2370万元.【解析】【分析】（1）根据利润销售收入成本，即可得解；（2）分和两种情况，分别根据二次函数的性质和基本不等式，求出对应的的最大值，再比较大小，即可得解．【详解】解：（1）年利润.（2）当时，，所以在上单调递增，所以；当时，，当且仅当，即时，等号成立，此时，因为，所以，，故当年产量为30万台时，该公司获得的利润最大，最大利润为2370万元.19.已知，将的图象向右平移个单位后，得到的图象，且的图象关于对称．（1）求； （2）若的角所对的边依次为，外接圆半径为，且，若点为边靠近的三等分点，试求的长度．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据三角恒等变换可得，由正弦型函数的图象变换可得，根据正弦型函数的对称性即可求解；（2）由可得，根据正弦定理可求，从而可求，在中利用余弦定理可求与，在中利用余弦定理即可求.【小问1详解】，，因为图象关于对称，所以，所以.又，所以；【小问2详解】，因为，所以或，所以或.因为，所以，在中，由正弦定理得，因为点为边靠近的三等分点，所以， 由余弦定理得，即，解得，所以，在中，由余弦定理得，所以．20.已知椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆上两点．（1）若直线过左焦点，求的周长；（2）若直线过点，求的取值范围；．（3）若点是椭圆与抛物线在第一象限的交点．是否存在点，使得线段的中点在拋物线上？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）8（2）（3）存在；【解析】【分析】（1）由标准方程知，然后写出的周长；（2）设两点坐标，分直线斜率不存在或存在（为0或不为0）进行讨论.（3）假存在，联立与即可求出点，然后根据中点公式以及点所在的位置，联立出方程组，解出即可.【小问1详解】由题意知，所以，的周长为；【小问2详解】设， 当直线斜率不存在时，直线方程为，代入中，得：，，当直线斜率为0时，，所以；当直线斜率不为0时，设，由得，所以，又，所以，综上，的取值范围是；【小问3详解】假设存在满足条件的点的坐标满足题意，由，得，所以或1，因为在第一象限，所以，由中点在拋物线上，故设中点，则利用中点公式得： 且在上，所以，所以，即，所以或（舍去），故中点，所以存在点．21.设集合是满足下列两个条件的无穷数列的集合：①；②存在常数，使得（1）已知，且，求的最小值（2）是否存在，且满足恒成立？若存在，请写出一个符合条件的数列；若不存在，请说明理由；（3）若且，求数列的通项公式.【答案】（1）的最小值为；（2）不存在符合条件的数列，理由见解析；（3），.【解析】【分析】(1)由数列的通项公式求数列的最大值和最小值由此可求的最小值；(2)由条件求出数列的通项公式，并检验其是否满足条件，(3)由条件求数列的通项，结合条件求出及数列的通项公式.【小问1详解】 因为，由已知，所以，，设，则，，，所以，，所以，所以，故，所以，，所以，所以的最小值为，【小问2详解】因为，所以，所以，设，令，则，所以，记，所，，所以，，所以，所以，所以又，所以或当，取为奇数，函数单调递增， 单调递减，其取值随的增大趋近与0，所以不存在使得满足，【小问3详解】因为，所以，设，令，则，所以，记，所，，所以，，所以，所以，所以因为，因为，所以，所以当为奇数时，单调递减，其取值随的增大趋近与0，若，则单调递增，与条件相矛盾， 若，所以，则单调递减，与矛盾，当，当为奇数时，若，则的取值随的增大趋近与0，与矛盾，又，所以，所以数列的通项公式为，，此时.【点睛】本题解决的关键由条件确定数列的通项公式.