2023-2024学年高二数学上学期期末模拟考试01（考试版）空间向量与立体几何等（新高考）.docx

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2023-2024学年高二上学期期末模拟考试01数学试卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．测试范围：空间向量与立体几何、直线与圆的方程、圆锥曲线、数列。5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.直线的倾斜角是（    ）A．B．C．D．2.已知，分别是平面的法向量，若，则（）A.B.C.1D.73．设等比数列的前项和为，若，且，，成等差数列，则（    ）A．7B．12C．15D．314．设，则“”是“直线与直线平行”的（    ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．如图，在四面体中，．点在上，且为中点，则等于（） A.B.C.D.6．已知圆：与圆：相内切，则与的公切线方程为（）A.B.C.D.7．已知数列满足，且，若，则正整数为（    ）A．13B．12C．11D．108．已知为椭圆C：的右焦点，P为C上的动点，过F且垂直于x轴的直线与C交于M，N两点，若等于的最小值的3倍，则C的离心率为（）A.B.C.D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知曲线：，：，则（）A.的长轴长为4B.的渐近线方程为C.与的焦点坐标相同D.与的离心率互为倒数10.已知等差数列的前项和为，若，则下列结论错误的是（    ） A．数列是递增数列B．C．当取得最大值时，D．11.如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为，AB的中点，则下列结论正确的是（）A.点B到直线的距离为B.直线CF到平面的距离为C.直线与平面所成角的余弦值为D.直线与直线所成角的余弦值为12.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，…设第层有个球，从上往下层球的总数为，则下列结论正确的是（）A.B.C.，D.第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知四棱锥的底面是平行四边形，若，则 ______．14.已知数列的前n项和为，若，则________．15.如图是一座抛物线型拱桥，拱桥是抛物线的一部分且以抛物线的轴为对称轴，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．当水位下降，水面宽为6米时，拱顶到水面的距离为______米．16.如图，我们把由半椭圆和半椭圆合成的曲线称作“果圆”．，，是相应半椭圆的焦点，则的周长为______，直线与“果圆”交于，两点，且中点为，点的轨迹方程为______．四、解答题：本题共6小题，共70分．第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（10分）已知的顶点坐标为，，.(1)求边上的高的长.(2)求的面积.18.（12分）已知数列是等差数列，是各项均为正数的等比数列，数列的前n项和为，且，，．（1）求数列，的通项公式；（2）令，求数列的前12项和．19.（12分）已知直线经过抛物线C：的焦点F，且与C交于A，B两点．（1）求C的方程； （2）求圆心在x轴上，且过A，B两点的圆的方程．20.（12分）已知数列的前n项和．（1）证明是等比数列，并求的通项公式；（2）在和之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前n项和．21.（12分）如图，在四棱锥中，底面，四边形是直角梯形，，，，点E在棱PB上．（1）证明：平面平面PBC；（2）当时，求二面角的余弦值．22.（12分）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，（），上顶点为A，，且到直线l：的距离为．（1）求C方程；（2）与l平行的一组直线与C相交时，证明：这些直线被C截得的线段的中点在同一条直线上；2023-2024学年上学期期末模拟考试01高二数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。12345678DBCABDBB 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9101112BDABCABDACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．14．15．16．①.②.四、解答题：本题共6小题，共70分．第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）【解析】（1）由题意，直线的方程为：，即.故点到直线的距离即为边上的高的长，  所以.（2）因为，所以的面积为：.18．（12分）【解析】（1）设数列的公差为d，数列的公比为，由题意可得，，即，所以，因为，所以， 所以，．（2）由（1）可得，所以的所有奇数项组成以1为首项，4为公差的等差数列；所有偶数项组成以2为首项，4为公比的等比数列．所以，．19．（12分）【解析】（1）依题意，抛物线C的焦点在直线上，则，解得，所以C的方程为．（2）由（1）知，抛物线C的准线方程为，设，，AB的中点为，由消去y得，则，有，，即，因此线段AB的中垂线方程为，即，令，得，设所求圆的圆心为E，则，又AB过C的焦点F，则有，设所求圆的半径为r，则，故所求圆的方程为．20．（12分）【解析】（1）因为，当时，，所以，当时，，又，解得， 所以是以2为首项，2为公比的等比数列，故（2）因为，所以，，，，所以，所以21．（12分）【解析】（1）因为底面，平面，所以．因为，，所以．所以，所以．又因为，平面PBC，平面PBC，所以平面PBC．又平面EAC，所以平面平面PBC．（2）解法一：以点C为原点，CB，CA，CP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，． 设点E的坐标为，因为，所以，即，，，所以．所以，．设平面ACE的一个法向量为，则．所以，取，则，．所以平面ACE的一个法向量为．又因为平面PAC，所以平面PAC的一个法向量为．设平面PAC与平面ACE的夹角为，则．所以，平面PAC与平面ACE夹角的余弦值为．解法二：取AB的中点G，连接CG，以点C为原点，CG，CD，CP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，． 设点E的坐标为，因为，所以，即，，，所以．所以，．设平面ACE的一个法向量为，则．所以，取，则，．所以，平面ACE的一个法向量为．又因为平面PAC，所以平面PAC的一个法向量为．设平面PAC与平面ACE的夹角为，则．所以，平面PAC与平面ACE夹角的余弦值为22．（12分）【解析】（1）设，，由题意得，解得，所以C的方程为． （2）证明：设这组平行线的方程为，与联立消去x，得，则，得．设直线被C截得的线段的中点为，则，其中，是方程的两个实数根．所以，消去m，得，所以这些直线被C截得的线段的中点均在直线上．（3）由（2）知，l与C相离，当直线与C相切时，，解得或．当时，直线与l的距离为，此时，当时，直线与l的距离为，此时，