四川外国语学院重庆第二外国语学校2022-2023学年高二上学期半期期中模拟数学Word版含解析.docx

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重庆第二外国语学校2022-2023学年高二上半期模拟数学试卷时间:120分钟满分:150分一、选择题:本题共8个小题,每小题5分,共40分.1.与平行的一个向量的坐标是()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】若向量与向量平行,则,逐一验证选项即可.【详解】解:若向量与向量平行,则,,则设向量,则与符号相同,与符号相反,所以可知A,B,D不成立,选项C:若,则,,,故C正确.故选:C.2.圆的圆心到直线的距离为()A.B.2C.D.【答案】A【解析】【分析】利用点到直线的距离公式可得答案.【详解】圆心坐标为,由点到直线的距离公式可知,故选:A.3.在平行六面体中,M为与的交点.,,,则下列向量中与相等的向量是() A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据空间向量线性运算的法则,对向量进行表示即可.【详解】平行六面体中,故选:A.4.,,若,则实数值为()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据空间向量垂直的坐标表示求解.【详解】,又,,解得.故选:A.5.若圆与圆外切,则()A.9B.19C.21D.﹣11【答案】A【解析】【分析】利用圆心距等于半径之和求解.【详解】由题意可知圆的圆心为,半径为,圆的半径为,半径为,则 ,解得.故选:A.【点睛】本题考查利用圆与圆的位置关系求参,较简单.解答圆与圆的位置关系时,要灵活运用圆心距与半径的和差关系.6.“”是“直线:与直线:平行”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】先求出“直线:与直线:平行”的充要条件,再判断即可.【详解】由直线:与直线:平行得,,解得.∴“”是“直线:与直线:平行”的充要条件.故选:C.7.直线经过点和以,为端点的线段相交,直线斜率的取值范围是()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据已知条件,结合直线的斜率公式,求出,再结合图象即可求解.【详解】∵,,图象如图所示: 由图可知,直线的斜率满足或,故直线的斜率的取值范围为.故选:D.8.已知,在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠A1AC=∠BAC=60°,平面A1ACC1⊥平面ABC,AA1=AC=AB,则异面直线AC1与A1B所成角的余弦值为()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】令M为AC的中点,以M为原点建立空间直角坐标系,利用向量法得出所求夹角的余弦值.【详解】令M为AC的中点,连接MB,MA1,由题意知△ABC是等边三角形,所以BM⊥AC,同理,A1M⊥AC,因为平面A1ACC1⊥平面ABC,平面A1ACC1∩平面ABC=AC,BM⊂平面ABC,所以BM⊥平面A1ACC1,因为A1M⊂平面A1ACC1,所以BM⊥A1M,所以AC,BM,A1M两两垂直,以M为原点,,,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.设AA1=AC=AB=2,则A(1,0,0),B(0,,0),A1(0,0,),C1(-2,0,),所以=(-3,0,),=(0,,-),所以cos〈,〉==-,故异面直线AC1与A1B所成角的余弦值为.故选:B 二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.9.下列关于空间向量的命题中,正确的有()A.若向量,与空间任意向量都不能构成基底,则∥;B.若非零向量,,满足,,则有∥;C.若,,是空间的一组基底,且,则,,,四点共面;D.若,,是空间的一组基底,则向量,,也是空间一组基底;【答案】ACD【解析】【分析】根据空间向量基本定理,能作为基底的向量一定是不共面的向量,由此分别分析判断即可【详解】对于A,若向量,与空间任意向量都不能构成基底,则可得向量,是共线向量,即∥,所以A正确,对于B,若非零向量,,满足,,则向量与不能确定,可能平行,所以B错误,对于C,若,,是空间的一组基底,且,则由空间向量基本定理可得,,,四点共面,所以C正确,对于D,因为,,是空间的一组基底,所以对于空间中的任意一个向量,存在唯一的实数组,使,所以向量,,也是空间一组基底,所以D正确,故选:ACD10.下列说法正确的是()A直线必过定点B.过点作圆的切线,切线方程为C.经过点,倾斜角为的直线方程为D.直线在x轴上的截距为,在y轴上的截距为1【答案】AB【解析】 【分析】根据直线系的方程求解顶点即可判断A;结合点在圆上求解切线判断B;分和讨论判断C;直接求解直线在坐标轴上的交点坐标即可判断D.【详解】解:对于A选项,,故直线过与的交点,所以,联立得,即直线必过定点,故正确;对于B选项,点在上,圆心为,所以切线的斜率为,所以切线方程为,即,故正确;对于C选项,经过点,倾斜角时,直线方程为,当时,直线方程为,故错误;对于D选项,令得,令得,所以直线在x轴上的截距为,在y轴上的截距为,故错误.故选:AB11.已知点是直线上的一点,过点P作圆的两条切线,切点分别为A,B,连接,,则()A.当四边形为正方形时,点P的坐标为B.的取值范围为C.当为等边三角形时,点P的坐标为D.直线过定点【答案】CD【解析】【分析】根据给定条件,用表示出切线长判断选项A,B,D;求出直线AB的方程判断D作答.【详解】依题意,,则,当点时,,因此,显然四边形不是正方形,A不正确;因当点时,,B不正确;当点时,,在中,,即有,又, 因此为等边三角形,此时直线斜率为1,有,由垂足的唯一性知,当为等边三角形时,点P的坐标为,C正确;设,显然点A,B在以OP为直径的圆上,又点A,B在圆上,于是得直线AB的方程为:,即,直线过定点,D正确.故选:CD12.如图所示,在矩形中,,E为上一动点,现将沿折起至,在平面内作,G为垂足.设,则下列说法正确的是()A.若平面,则B.若平面,则C.若平面平面,且,则D.若平面平面,且,则【答案】AC【解析】【分析】对四个选项一一验证:对于A:由平面得到,在中,解三角形即可求得;对于B:由平面得到,,在中解三角形即可求得; 对于C:作于H,可以证明平面,得到,在等腰直角三角形中,可以计算;对于D:作,垂足为H,可以判断出C,H,G三点共线,证明出,利用,可以求出t.【详解】对于A,若平面,则,在中,,则,是三角形的高,则所以A正确;对于B,若平面,则有,则,在中,,即,解得,所以B错误;对于C,若平面平面,作,垂足为H,因为平面平面,所以平面,从而,又,所以平面,从而,因为,所以在等腰直角三角形中,,所以在等腰直角三角形中,,所以C正确;对于D,若平面平面,平面平面,又,故平面,所以,作,垂足为H, 从而有平面,从而,从而有C,H,G三点共线,则,又,故,又,所以,故,因为,所以,所以D错误.故选:AC.【点睛】(1)立体几何中的翻折(展开)问题截图的关键是:翻折(展开)过程中的不变量;(2)一般位置关系的证明用判定定理.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.直线的倾斜角的大小是____________.【答案】##【解析】【分析】由直线的斜率与倾斜角的关系可得,再求倾斜角即可.【详解】设直线的倾斜角为,由直线的方程为:可得,又,所以,故答案为:.14.已知向量,,,且,,则=__________________. 【答案】【解析】【分析】由已知利用向量平行的条件列式求解,再由向量垂直的坐标运算求得,可得答案.【详解】,且,存在实数,使得,即,,解得,,又,且,,即,.故答案为:.15.在正方体中,棱与平面所成角的余弦值为__________.【答案】【解析】【分析】以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则设正方体的边长为1,分别求出直线的方向向量和平面的法向量,由线面角的公式代入即可得出答案.【详解】以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则设正方体的边长为1,,则,设平面,,则,所以,棱与平面所成角为,所以, 则.故答案为:.16.点P是直线上的动点,直线与圆分别相切于A,B两点,则当点P的坐标为___________时,切线段的长度最短;四边形面积的最小值为___________.【答案】①.②.##【解析】【分析】由,当最短时的长度最短,求出直线的方程与联立可得解得坐标;由四边形,当最短时最小,可得的最小值.【详解】由得圆心,半径圆,因为,所以当最短时的长度最短,由圆心做直线的垂线,垂足为,此时最短,所以直线的斜率为,方程为,由解得,即. 四边形,所以当最短时最小,由圆心到直线的距离为,所以的最小值为.故答案为:;.四、解答题:本题共6个小题,17题10分,其余各题均为12分,共70分.应写出文字说明,演算步骤或证明过程.17.在平面直角坐标系中,已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-3,0),B(2,1),C(-2,3).(1)求BC边所在直线的一般方程;(2)求BC边的垂直平分线DE所在直线的一般方程.【答案】(1)x+2y-4=0(2)2x-y+2=0【解析】【分析】(1)利用直线的两点式方程可得答案;(2)由中点坐标公式得到D的坐标,利用直线BC与直线DE垂直得DE的斜率,再利用直线点斜式方程可得答案.【小问1详解】因为直线BC经过B(2,1)和C(-2,3)两点,由两点式得BC的方程为=,即x+2y-4=0.【小问2详解】设BC边的中点D的坐标为(x,y), 则,,点D的坐标为(0,2),由(1)知,直线BC的斜率,则BC的垂直平分线DE的斜率,由点斜式得直线DE的方程为y-2=2(x-0),即2x-y+2=0.18.如图,在正方体中,E为的中点.(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ).【解析】【分析】(Ⅰ)证明出四边形为平行四边形,可得出,然后利用线面平行的判定定理可证得结论;也可利用空间向量计算证明;(Ⅱ)可以将平面扩展,将线面角转化,利用几何方法作出线面角,然后计算;也可以建立空间直角坐标系,利用空间向量计算求解.【详解】(Ⅰ)[方法一]:几何法如下图所示: 在正方体中,且,且,且,所以,四边形为平行四边形,则,平面,平面,平面;[方法二]:空间向量坐标法以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为,则、、、,,,设平面的法向量为,由,得,令,则,,则. 又∵向量,,又平面,平面;(Ⅱ)[方法一]:几何法延长到,使得,连接,交于,又∵,∴四边形为平行四边形,∴,又∵,∴,所以平面即平面,连接,作,垂足为,连接,∵平面,平面,∴,又∵,∴直线平面,又∵直线平面,∴平面平面,∴在平面中的射影在直线上,∴直线为直线在平面中的射影,∠为直线与平面所成的角,根据直线直线,可知∠为直线与平面所成的角.设正方体的棱长为2,则,,∴,∴,∴,即直线与平面所成角的正弦值为. [方法二]:向量法接续(I)的向量方法,求得平面平面的法向量,又∵,∴,∴直线与平面所成角的正弦值为.[方法三]:几何法+体积法如图,设的中点为F,延长,易证三线交于一点P.因,所以直线与平面所成的角,即直线与平面所成的角.设正方体的棱长为2,在中,易得,可得.由,得,整理得.所以.所以直线与平面所成角的正弦值为. [方法四]:纯体积法设正方体的棱长为2,点到平面的距离为h,在中,,,所以,易得.由,得,解得,设直线与平面所成的角为,所以.【整体点评】(Ⅰ)的方法一使用线面平行的判定定理证明,方法二使用空间向量坐标运算进行证明;(II)第一种方法中使用纯几何方法,适合于没有学习空间向量之前的方法,有利用培养学生的集合论证和空间想象能力,第二种方法使用空间向量方法,两小题前后连贯,利用计算论证和求解,定为最优解法;方法三在几何法的基础上综合使用体积方法,计算较为简洁;方法四不作任何辅助线,仅利用正余弦定理和体积公式进行计算,省却了辅助线和几何的论证,不失为一种优美的方法.19.直线与圆:相交于两点.(1)求弦长;(2)求过点且与圆相切的直线方程.【答案】(1)(2)或 【解析】【分析】(1)根据题意可得圆心坐标和半径,利用点到直线的距离公式求出圆心C到直线的距离,结合勾股定理求出弦长的一半,进而得出弦长;(2)切线的斜率不存在,易知方程为;当切线斜率存在,设切线为,利用点到直线的距离公式求出圆心C到直线的距离等于半径,列出方程,解出k,结合直线的点斜式方程求解即可.【小问1详解】由题意知,圆心,半径,所以圆心C到直线的距离为,所以,所以;【小问2详解】当切线的斜率不存在时,因为过点,其方程为,圆心到直线的距离为,满足题意;当切线斜率存在时,设切线为,即,圆心,半径,,解得.切线方程为,即.故切线方程为或.20.已知圆过点,且圆心在直线上.(1)求圆的标准方程;(2)过点且斜率为的直线与圆有两个不同的交点,若,其中为坐标原点,求直线的方程.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)设出圆的标准方程,将两点坐标代入圆的方程,圆心坐标代入直线方程,解出三个 参数,即可求出圆的方程;(2)根据条件设出直线的方程,消去得到关于的一元二次方程,将韦达定理的表达式代入,解出的值,分别判断是否满足,从而得出直线方程.【小问1详解】设所求圆的方程为,则由题可得:,解得:a=3b=2r2=13故所求圆C方程为.【小问2详解】由题设,可知直线的方程为.代入方程,整理得,设,则,,由题设可得,解得或,经检验不满足满足所以的方程为.21.如图,在四棱锥中,PA⊥平面ABCD,AD⊥CD,AD∥BC,PA=AD=CD=2,BC=3.E为PD的中点,点F在PC上,且. (1)求证:CD⊥平面PAD;(2)求二面角余弦值.【答案】(1)证明见解析;(2).【解析】【分析】(1)根据给定条件证明即可推理作答.(2)在平面内过A作,以点A为原点,射线AM,AD,AP分别为x,y,z轴非负轴建立坐标系,借助空间向量计算作答.【小问1详解】在四棱锥中,平面,而平面,则,因,,平面,所以平面.【小问2详解】在平面内过A作交BC于点M,由(1)知,两两垂直,以点A为原点,射线分别为轴非负轴建立空间直角坐标系,如图,依题意,,则,, 设平面的一个法向量,则,令,得,显然平面的一个法向量,于是得,二面角的平面角为锐角,所以二面角的余弦值.22.已知圆心在第一象限,半径为的圆与轴相切,且与轴正半轴交于,两点(在左侧),(为坐标原点).(1)求圆的标准方程;(2)过点任作一条直线与圆相交于,两点.①证明:为定值;②求的最小值.【答案】(1);(2)①,证明见解析,②【解析】【分析】(1)首先,得到,,,再根据即可得到答案.(2)①首先根据(1)得到,,设,再分别计算即可;②根据得到,即可得到答案.【详解】(1)设,由题知:,,,所以, 解得,所以圆.(2)由(1)知:,,所以,,设,,同理,所以.②因为,所以.所以的最小值为.

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