四川省四川外语学院重庆第二外国语学校2023-2024学年高三上学期期中数学 Word版含解析.docx

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重庆二外高2024级高三第二次质量检测数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.2i−52−i的虚部为（）A.i5B.−15iC.−15D.15【答案】C【解析】【分析】根据复数的运算法则，化简复数为−125−15i，结合复数的概念，即可求解.【详解】由复数的运算法则，可得2i−52−i=2i−52+i2−i2+i=−125−15i，所以复数的虚部为−15.故选：C.2.已知集合A=x∣log33x−2<1,B={x∣x<1}，则A∩B=（）A.23,1B.−∞,1C.−∞,53D.1,53【答案】A【解析】【分析】根据集合的运算和对数不等式的解法求解即可.【详解】不等式log33x−2<1=log33，即0<3x−2<3,230,q:x>1，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（）A.{a∣a<1}B.a∣a≤1C.{a∣a>1}D.a∣a≥1【答案】C【解析】【分析】先化简条件，利用充分不必要条件列出不等关系，求解即可.【详解】p:x>a，因为p是q充分不必要条件，所以a>1. 故选：C.4.剪纸和折纸都是中华民族的传统艺术，在折纸界流传着“折不过8”的说法，为了验证这一说法，有人进行了实验，用一张边长为4km的正方形纸，最多对折了13次.记第一次对折后的纸张厚度为a1，第2次对折后的纸张厚度为a2⋯⋯，以此类推，设纸张未折之前的厚度为a毫米，则a13=（）A.212aB.412aC.213aD.413a【答案】C【解析】【分析】由等比数列的通项公式求解．【详解】由题意数列{an}是等比数列，公比是2，且a1=2a，∴a13=2a×212=213a，故选：C．5.已知fx=log2x,x>0x−2+2,x≤0则ff0=（）A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】【分析】根据题意得到f0=4，再根据ff0=f4求解即可.【详解】因为f0=0−2+2=4，所以ff0=f4=log24=2.故选：C6.已知二次函数fx=ax2+2x+cx∈R的值域为2,+∞，则1a+9c的最小值为（）A3B.4C.5D.6【答案】B【解析】【分析】根据二次函数的性质可得1a=c−2，进而根据基本不等式即可求解最值.【详解】∵fx的对称轴为：x=−1a,且a>0，∴f−1a=1a−2a+c=−1a+c=2，∴1a=c−2，由于a>0，所以c−2>0∴1a+9c=c−2+9c=c+9c−2≥29−2=4当且仅当c=9c，即c=3时，1a+9c最小值为4. 故选：B7.已知3a=4,4b=5,ac=b，则a,b,c的大小关系为（）A.c>a>bB.b>a>cC.a>c>bD.a>b>c【答案】D【解析】【分析】把指数式改写为对数式，应用换底公式后作差a−b，结合基本不等式可比较出a−b与0的大小，得出a,b关系，再结合对数的性质可比较c与a,b的大小，从而得出结论．【详解】∵3a=4，4b=5，ac=b∴a=log34=ln4ln3，b=log45=ln5ln4，c=logab，a>1，b>1∴a−b=ln4ln3−ln5ln4=ln42−ln3ln5ln3ln4,∵ln3⋅ln5<(ln3+ln52)2=(ln152)2<(ln162)2=(ln4)2，∴a−b>0，即a>b，∵b>1，c=logab<1，∴a>b>c故选：D．8.设函数f(x)=ex−e−x2+sinx，不等式fa−xex+f(lnx+x+1)≤0对x>0恒成立，则实数a的最大值为（）A.e−1B.1C.e−2D.0【答案】D【解析】【分析】先由定义证f(x)为奇函数，结合均值不等式可证f′(x)≥1+cosx≥0，得f(x)在R上单调递增，故结合奇偶性与单调性，恒成立转化为a≤xex−lnx−x−1对x>0恒成立．令g(x)=xex−lnx−x−1，用导数法求g(x)最小值，即有a≤gxmin.【详解】因为f(−x)=e−x−ex2−sinx，所以−f(x)=f(−x)，所以f(x)为R上的奇函数．因为f′(x)=ex+e−x2+cosx≥2ex⋅e−x2+cosx=1+cosx≥0，所以f(x)在R上单调递增．不等式fa−xex+f(lnx+x+1)≤0可转化为f(lnx+x+1)≤fxex−a，所以lnx+x+1≤xex−a，即a≤xex−lnx−x−1对x>0恒成立．令g(x)=xex−lnx−x−1，则g(x)=elnxex−lnx−x−1=elnx+x−(lnx+x)−1，令ℎ(x)=ex−x−1，则ℎ′(x)=ex−1．当x>0时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增；当x<0时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)在(−∞,0)上单调递减．所以ℎ(x)min=ℎ(0)=e0−0−1=0，即ℎ(x)≥0， 所以g(x)≥0，且当lnx+x=0时，g(x)取最小值0，故a≤0，即实数a的最大值为0．故选：D.【点睛】1.通常函数不等式恒成立问题涉及奇偶性与单调性可先进行转化；2.含参不等式恒成立问题，一般通过构造函数解决.一般将参数分离出来，构造函数用导数法讨论不含参数部分的最值；或者包含参数一起构造函数，用导数法对参数分类讨论.当参数不能分离出来时，也可尝试将不等式左右变形成一致形式，即可将该形式构造成函数，通过导数法分析单调性，将问题等价成对应自变量的不等式.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通代数与几何的桥梁.若向量a,b满足a=b=2,a+b=23，则正确的是（）A.a⋅b=−2B.a与b的夹角为π3C.a−b0的最小正周期为π，则下列说法正确的有（）A.ω=2B.函数fx在0,π6上为增函数C.直线x=π3是函数y=fx图象一条对称轴 D.点5π12,−1是函数fx图象的一个对称中心【答案】BD【解析】【分析】将fx=2cos2ωx+3sin2ωx−2化为标准型，借助函数y=sinx的性质判断函数y=fx的性质.【详解】由题意得fx=2cos2ωx+3sin2ωx−2=cos2ωx+3sin2ωx−1=2sin2ωx+π6−1，因为ω>0，所以最小正周期为T=2π2ω=π，所以ω=1，故A错误；所以fx=2sin2x+π6−1当x∈0,π6时，2x+π6∈π6,π2，因为−π2,π2是函数y=sinx的单调递增区间，而π6,π2⊆−π2,π2，所以函数fx在0,π6上为增函数，故B正确；当x=π3时，sin2×π3+π6=sin5π6=12≠±1，所以直线x=π3不是函数y=fx图象一条对称轴，故C错误；当x=5π12时，sin2×5π12+π6=sinπ=0，所以点5π12,−1是函数fx图象的一个对称中心，故D正确.故选：BD11.如图，杨辉三角形中的对角线之和1，1，2，3，5，8，13，21，..构成的斐波那契数列经常在自然中神奇地出现，例如向日葵花序中央的管状花和种子从圆心向外，每一圈的数字就组成这个数列，等等.在量子力学中，粒子纠缠态、量子临界点研究也离不开这个数列.斐波那契数列an的第一项和第二项都是1，第三项起每一项都等于它前两项的和，则（）A.a2+a4+a6⋯+a2024=a2025B.a1+a3+a5⋯+a2023=a2024C.a12+a22+a32⋯+a20242=a2024⋅a2025 D.1a1a3+1a2a4+1a3a5+⋯+1a2021a2023=1a1a2−1a2022a2023【答案】BCD【解析】【分析】根据数列an满足a1=a2=1，an+2=an+an+1，n∈N∗，依次判断选项即可得到答案.【详解】由题知：数列an满足a1=a2=1，an+2=an+an+1，n∈N∗.对选项A，a2+a4+a6+⋯+a2024=a3−a1+a5−a3+a7−a5+⋯+a2025−a2023=a2025−a1=a2025−1，故A错误.对选项B，a1+a3+a5+⋯+a2023=a2+a4−a2+a6−a4+⋯+a2024−a2022=a2024，故B正确.对选项C，∵an+1=an+2−an∴an+12=an+1×an+2−an=an+1⋅an+2−an+1⋅an，∴a12+a22+a32+⋯+a20242=a12+a2a3−a2a1+a3a4−a3a2+⋯+a2024a2025−a2024a2023=a2024a2025，故C正确.对选项D，1anan+2=an+1an+1anan+2=an+2−ananan+1an+2=1anan+1−1an+1an+2∴1a1a3+1a2a4+1a3a5+⋯+1a2021a2023=1a1a2−1a2a3+1a2a3−1a3a4+1a3a4−1a4a5+⋯+1a2021a2022−1a2022a2023=1a1a2−1a2022a2023=1a1a2−1a2022a2023.故D正确.故选：BCD12.若存在实常数k和b，使得函数Fx和Gx对其公共定义域上的任意实数x都满足：Fx≥kx+b和Gx≤kx+b恒成立，则称此直线y=kx+b为Fx和Gx的“隔离直线”，已知函数fx=x2x∈R，gx=1xx<0，ℎx=2elnx（e为自然对数的底数），则（）A.mx=fx−gx在x∈−132,0内单调递增；B.fx和gx之间存在“隔离直线”，且b的最小值为−4；C.fx和gx之间存在“隔离直线”，且k的取值范围是−4,1；D.fx和ℎx之间存在唯一的“隔离直线”y=2ex−e.【答案】ABD【解析】【分析】令mx=fx−gx，利用导数可确定mx单调性，得到A正确； 设fx，gx的隔离直线为y=kx+b，根据隔离直线定义可得不等式组x2−kx−b≥0kx2+bx−1≤0对任意x∈−∞,0恒成立；分别在k=0和k<0两种情况下讨论b满足的条件，进而求得k,b的范围，得到B正确，C错误；根据隔离直线过fx和ℎx的公共点，可假设隔离直线为y=kx−ke+e；分别讨论k=0、k<0和k>0时，是否满足fx≥kx−ke+ex>0恒成立，从而确定k=2e，再令Gx=2ex−e−ℎx，利用导数可证得Gx≥0恒成立，由此可确定隔离直线，则D正确.【详解】对于A，∵mx=fx−gx=x2−1x，∴m′x=2x+1x2，m″x=2−2x3=21−1x3，当x∈−132,0时，m″x>0，∴m′x单调递增，∴m′x>m−132=−232+34=−223+223=0，∴mx在x∈−132,0内单调递增，A正确；对于B,C，设fx，gx的隔离直线为y=kx+b，则x2≥kx+b1x≤kx+b对任意x∈−∞,0恒成立，即x2−kx−b≥0kx2+bx−1≤0对任意x∈−∞,0恒成立.由kx2+bx−1≤0对任意x∈−∞,0恒成立得：k≤0.⑴若k=0，则有b=0符合题意；⑵若k<0则有x2−kx−b≥0对任意x∈−∞,0恒成立，∵y=x2−kx−b的对称轴为x=k2<0，∴Δ1=k2+4b≤0，∴b≤0；又y=kx2+bx−1的对称轴为x=−b2k≤0，∴Δ2=b2+4k≤0；即k2≤−4bb2≤−4k，∴k4≤16b2≤−64k，∴−4≤k<0；同理可得：b4≤16k2≤−64b，∴−4≤b<0；综上所述：−4≤k≤0，−4≤b≤0，B正确，C错误；对于D，∵函数fx和ℎx的图象在x=e处有公共点，∴若存在fx和ℎx的隔离直线，那么该直线过这个公共点.设隔离直线的斜率为k，则隔离直线方程为y−e=kx−e，即y=kx−ke+e，则fx≥kx−ke+ex>0恒成立，若k=0，则x2−e≥0x>0不恒成立.若k<0，令ux=x2−kx+ke−ex>0，对称轴为x=k2<0 ∴ux=x2−kx+ke−e在0,e上单调递增，又ue=e−ke+ke−e=0，故k<0时，fx≥kx−ke+ex>0不恒成立.若k>0，ux对称轴为x=k2>0，若ux≥0恒成立，则Δ3=k2−4ke−e=k−2e2≤0，解得：k=2e.此时直线方程为：y=2ex−e，下面证明ℎx≤2ex−e，令Gx=2ex−e−ℎx=2ex−e−2elnx，则G′x=2ex−ex，当x=e时，G′x=0；当0e时，G′x>0；∴当x=e时，Gx取到极小值，也是最小值，即Gxmin=Ge=0，∴Gx=2ex−e−ℎx≥0，即ℎx≤2ex−e，∴函数fx和ℎx存在唯一的隔离直线y=2ex−e，D正确.故选：ABD.【点睛】本题考查导数中的新定义问题的求解；解题关键是能够充分理解隔离直线的定义，将问题转化为根据不等式恒成立求解参数范围或参数值、或不等式的证明问题；难点在于能够对直线斜率范围进行准确的分类讨论，属于难题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量a=t−2,3，b=1,−1，且a+2b//b，则a−b=______.【答案】42【解析】【分析】求出向量a+2b的坐标，利用共线向量的坐标表示可求出t的值，求出a−b的坐标，再利用向量的模长公式可求得a−b的值.【详解】因为向量a=t−2,3，b=1,−1，则a+2b=t−2,3+2,−2=t,1，因为a+2b//b，则−t=1，可得t=−1，所以，a=−3,3，则a−b=−3,3−1,−1=−4,4，因此，a−b=−42+42=42.故答案为：42.14.若对任意a＞0且a≠1，函数f(x)=ax+1+1的图象都过定点P，且点P在角θ的终边上，则tanθ＝__.【答案】-2【解析】【分析】利用指数函数的性质可得函数的图象经过定点的坐标，进而根据任意角的三角函数的定义即可求解. 【详解】令x＋1＝0，求得x＝－1，y＝2，可得函数f(x)=ax+1+1（a＞0，a≠1）的图象经过定点P(－1,2)，所以点P在角θ的终边上，则tanθ＝2−1＝－2.故答案为：－2.15.已知数列an满足a1=1,2an+1=an−3anan+1n∈N∗，则数列1an的前n项和Tn为______.【答案】2n+2−3n−4n∈N∗【解析】【分析】首先根据递推公式得到1an+3是以首项为4，公比为2的等比数列，从而得到1an=2n+1−3，再利用分组求和的方法求解Tn即可.【详解】因为2an+1=an−3anan+1，所以1an+1=3+2an，所以1an+1+3=21an+3，即1an+1+31an+3=2，又1a1+3=4，所以1an+3是以首项为4，公比为2的等比数列.所以1an+3=4⋅2n−1=2n+1，即1an=2n+1−3，所以Tn=22+23+⋯+2n+1−3n=41−2n1−2−3n=2n+2−4−3nn∈N∗.故答案为：2n+2−3n−4n∈N∗16.将方程sinxcosx+3sin2x=33的所有正数解从小到大组成数列xn，记an=cosxn+1−xn则a1+a2+⋯+a2023=______.【答案】−36【解析】【分析】首先根据sinxcosx+3sin2x=33得到sin2x−π3=−36，根据y=sin2x−π3的周期T=π，所以xn+2−xn=π，从而得到xn+2−xn+1=π−xn+1−xn，所以an+1+an=0，即可得到a1+a2+a3+a4+⋯+a2023=a1=cosx2−x1.再结合y=sin2x−π3的图象求解即可.【详解】因为sinxcosx+3sin2x=33，所以12sin2x+321−cos2x=33，所以sin2x−π3=−36，即y=sin2x−π3的最小正周期为：T=2π2=π.所以xn+2−xn=π，xn+2−xn+1+xn+1−xn=π，即xn+2−xn+1=π−xn+1−xn.所以an+1+an=cosxn+2−xn+1+cosxn+1−xn =cosπ−xn+1−xn+cosxn+1−xn=−cosxn+1−xn+cosxn+1−xn=0.a1+a2+a3+a4+⋯+a2023=a1+a2+a3+⋯+a2022+a2023=a1=cosx2−x1.y=sin2x−π3的图象如下所示：令2x−π3=kπ+π2⇒x=kπ2+512π⇒x1+x2=56π，即x2=56π−x1.∴a1=cosx2−x1=cos−2x1+56π=cos2x1−56π=cos2x1−π3−π2=sin2x1−π3=−36.故答案为：−36四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.在①2c=asinC+ccosA，②sinB+C=2−1+2sin2A2，③2cosπ2−A=sin2A，这三个条件中任选一个作为已知条件，然后解答问题.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，△ABC的面积为S，已知______.（1）求A；（2）若S=6,b=22，求a.【答案】（1）A=π4；（2）a=25【解析】【分析】（1）选①，由正弦定理化边为角后，利用两角和的正弦公式变形求解；选②由诱导公式和二倍角公式变形后，再同①求解；选③由诱导公式和二倍角公式变形后可得；（2）由面积公式求得b，再由余弦定理计算．【小问1详解】选①2c=asinC+ccosA，由正弦定理得2sinC=sinAsinC+sinCcosA，A是三角形内角，sinA≠0，则sinA+cosA=2，22sinA+22cosA=1，所以sin(A+π4)=1，又00，所以2−2n+1<2，即Tn<2，又TnEY，所以先回答A类问题.20.如图，已知四棱锥P−ABCD，底面ABCD是边长为4的菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分别是BC、PC的中点． （1）求证：平面AEF⊥平面PAD；（2）若PA=4，求锐二面角E−AF−C的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）155【解析】【分析】（1）通过证明AE⊥AD和PA⊥AE得AE⊥平面PAD，再利用面面垂直判定定理求解；（2）建立空间直角坐标系求两个平面的法向量代入二面角公式求解.【小问1详解】证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形，∵E为BC的中点，∴AE⊥BC，又∵BC//AD，∴AE⊥AD，∵PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，∵PA⊥AE，而PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，且PA∩AD=A，∴AE⊥平面PAD，又∵AE⊂平面AEF，平面AEF⊥平面PAD.【小问2详解】由（1）知AE、AD、AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A−xyz， 则A0,0,0，B23,−2,0，C23,2,0，D0,4,0，P0,0,4，E23,0,0，F3,1,2，∴AE=23,0,0，AF=3,1,2，设平面AEF法向量为m=x1,y1,z1，则m→·AE→=0m→·AF→=0，因此23x1=03x1+y1+2z1=0，取z1=−1，则m=0,2,−1，连接BD，∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD．∵BD⊥AC，PA∩AC=A，PA、AC⊂平面AFC，∴BD⊥平面AFC，故BD为平面AFC的法向量．又BD=−23,6,0，∴cosm→,BD→=m→⋅BD→m→⋅BD→=2×65×48=155．∵二面角E−AF−C为锐二面角，∴所求二面角的余弦值为155．21.在平面直角坐标系中，椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为33，焦距为2．（1）求椭圆C的方程；（2）动直线l:y=mx−52交椭圆于A、B两点，D是椭圆C上一点，直线OD的斜率为n，且mn=12．T是线段OD延长线上一点，且DT=22115AB，⊙T的半径为DT，OP，OQ是⊙T的两条切线，切点分别为P，Q，求∠QOP的最大值．【答案】（1）x23+y22=1；（2）∠QOP最大值为π3. 【解析】【分析】（1）根据焦距易得c=1，再根据离心率为33可得椭圆方程;（2）将直线与椭圆联立得到方程组，利用弦长公式得到AB的表达式，再利用|DT|=22115|AB|，则可得到DT，即圆半径r的表达式，根据mn=12，则n=12m,则将直线OD的方程与椭圆方程联立，得到OD的表达式，利用sin∠QOP2=rr+|OD|,将上述表达式代入，利用换元法结合二次函数最值得到sin∠QOP2的最值，最终得到∠QOP的最大值.【小问1详解】由题意得2c=2，c=1，又∵e=ca=33，∴a=3，∴b=2，∴椭圆方程为：x23+y22=1.【小问2详解】设Ax1,y1，Bx2,y2，联立x23+y22=1y=mx−52，得8+12m2x2−125mx−9=0，Δ=720m2+368+12m2=1152m2+288>0，x1+x2=35m3m2+2，x1x=−912m2+8，|AB|=1+m2x1−x2=1+m2⋅Δ8+12m2=1+m2⋅1152m2+2888+12m2=1+m2⋅38m2+22+3m2r=22115|AB|=22115⋅1+m2⋅38m2+22+3m2，n=12m，∴直线OD的方程为：y=12mx，联立x23+y22=1y=12mx得x2=24m28m2+3，y2=68m2+3， |OD|=x2+y2=24m2+68m2+3，sin∠QOP2=rr+|OD|=11+|OD|r,ODr=24m2+68m2+32215⋅1+m2⋅8m2+22+3m2=5714⋅2+3m28m2+3⋅m2+1，令2+3m2=t，m2=13t−2，且t>2，1t∈0,12则ODr=15714⋅t(8t−7)(t+1)=15714⋅t8t2+t−7=15714⋅1−7t2+1t+8=15714⋅1−71t−1142+1575196≥15714⋅14157=1当且仅当1t=114，t=14，即2+3m2=14，m=±2时等号成立，sin∠QOP2≤12，因此∠QOP2≤π6，∴∠QOP的最大值为π3，综上所述，∴∠QOP的最大值为π3，此时m=±2.【点睛】本题第二问计算量与思维量较大，对于弦长公式要做到熟练运用，角度最值转化为在一定角度范围内的角的正弦值的最值，最终结合换元法，配方法等求解函数表达式的最值，从而得到角度的最值.22.已知函数fx=alnx+x2−a+2xa>0.（1）讨论函数fx的单调性；（2）设x1、x200，该函数的定义域为0,+∞，f′x=ax+2x−a+2=2x2−a+2x+ax=2x−ax−1x.因为a>0，由f′x=0得：x=a2或x=1.①当a2=1，即a=2时，f′x≥0对任意的x>0恒成立，且f′x不恒为零，此时，函数fx的增区间为0,+∞，无减区间；②当a2>1，即a>2时，由f′x>0得0a2；由f′(x)<0得10得01；由f′x<0得a22时，函数fx的增区间为0,1、a2,+∞，减区间为1,a2；当00，g′x=ax+x−1=x2−x+ax，因为gx有两个极值点x1、x200x1+x2=1>0x1x2=a>0，解得00；当2agx（或fx0（或fx−gx<0），进而构造辅助函数ℎx=fx−gx；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；