浙江省东阳市外国语学校、东阳中学2022-2023学年高一下学期3月月考数学Word版含解析.docx

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东阳外国语高一三月检测卷数学试题一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知一个扇形的圆心角为，所对的弧长为，则该扇形的面积为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据公式求扇形的半径，然后利用扇形的面积公式即可求出答案.【详解】由得，所以该扇形的面积为.故选：D.2.已知向量，且，则的值为（）A.1B.C.D.3【答案】C【解析】【分析】由向量垂直的坐标表示得出的关系，求得，再把求值式转化为关于的二次齐次式求值．【详解】因为，所以，所以，．故选：C．3.中，，，，则边上的高为（）A.B.C.D. 【答案】C【解析】【分析】先根据余弦定理求出，然后利用等面积法即可求出边上的高.【详解】在中，设，，，则，，，且，，，，，,,设边上的高为，在中利用等面积法，则,,.故选:C4.已知为锐角且，则的值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用同角的三角函数的基本关系式和两角差的正弦可求的值.【详解】为锐角，故，而，故，又.故选：C.5.在中，，设点P，Q满足.若，则（） A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】设，根据平面向量的线性运算，得到，，再结合，化简整理即可求解.【详解】设，则，，，，由，得，即.故选：.6.如图，在平面四边形ABCD中，△BCD是边长为7的等边三角形，，则△ABC的面积为（　　）A.5B.7C.10D.20【答案】C【解析】【分析】先利用余弦定理求得AB的长度，再去求的值，进而可求得△ABC的面积.【详解】由，可得，解之得或（舍）则，又，则则 则△ABC的面积为故选：C7.设函数的最小正周期为，且在内恰有3个零点，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据周期求出，结合的范围及，得到，把看做一个整体，研究在的零点，结合的零点个数，最终列出关于的不等式组，求得的取值范围【详解】因为，所以.由，得.当时，，又，则.因为在上的零点为，，，，且在内恰有3个零点，所以或解得.故选：D. 8.已知是内的一点，若的面积分别记为，则.这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】延长CO，BO，AO分别交边AB，AC，BC于点P，M，N，利用同底的两个三角形面积比推得即可求解作答.【详解】是的垂心，延长CO，BO，AO分别交边AB，AC，BC于点P，M，N，如图，则，，因此，，同理， 于是得，又，即，由“奔驰定理”有，则，而与不共线，有，，即，所以.故选：A二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错或不选的得0分）9.下列结论中正确的是（）A.B.若角是第三象限角，则C.若角的终边过点D.【答案】ABD【解析】【分析】利用角度值与弧度制的互化可判断A；利用三角函数的象限符号可判断B；利用三角函数的定义可判断C；利用同角三角函数的基本关系可判断D.【详解】对于A，，故A正确；对于B，由三角函数象限符号可知，若是第三象限角，则，故B正确；对于C，角的终边过点，则，故C错误；对于D，，故D正确.故选：ABD.10.在中，角所对边分别为的面积为根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（） A.B.C.D.【答案】CD【解析】【分析】对A，根据为等腰三角形判断即可对B，由三边确定判断即可对C，根据面积公式判断即可对D，根据面积公式与余弦定理分析可得有两个解即可【详解】对A，易得为等腰三角形，故，，故仅一个解；对B，因为三边均确定，且满足任意两边大于第三边，故有唯一解；对C，由面积公式可得，故，故有两解；对D，由可得，故，故，即，结合，有，故可得有两组解.故选：CD11.（多选题）正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，以为顶点的多边形为正五边形且，下列关系中正确的是（）A.B. C.D.【答案】AC【解析】【分析】结合平面向量的线性运算对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】在如图所示的正五角星中，以为顶点的多边形为正五边形，且．在A中，，故A正确；在B中，，故B错误；在C中，，故C正确；在D中，，若，则，不合题意，故D错误．故选：AC12.已知向量满足，则下列说法正确的是（）A.B.若，则C.，有恒成立D.若，则【答案】ABC【解析】【分析】将化为可判断A；将化为可判断B；将平方，根据二次函数的最值可判断C；计算可判断D.【详解】解：对于A,因为，所以， 即，故，故A正确；对于B，可化为，即.若，则，即，故B正确；对于C，，故，故C正确；对于D，若，则，该式子的值随着的变化而变化，故D错误.故选：ABC.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.在△ABC中，若a＝2,b＋c＝7,，则b=_________________【答案】4【解析】【详解】在△ABC中，利用余弦定理，，化简得：8c－7b＋4＝0，与题目条件联立，可解得，【考点定位】本题考查的是解三角形，考查余弦定理的应用．利用题目所给的条件列出方程组求解14.已知平面向量满足，且，则在上投影向量为，则__________．【答案】【解析】【分析】根据向量的投影的概念及公式直接计算. 【详解】在上投影向量为，即，故.故答案为:.15.已知，则的最大值为____________【答案】【解析】【分析】由已知求得，可得，利用同角三角函数基本关系可得，利用二次函数性质即可求解.【详解】，，，即又，利用二次函数性质知，当时，故答案为：16.10世纪阿拉伯天文学家阿尔库希设计出一种方案，通过两个观察者异地同时观测同一颗小天体来测定小天体的高度．如图，有两个观察者在地球上A，B两地同时观测到一颗卫星S，仰角分别为∠SAM和∠SBM（MA，MB表示当地的水平线，即为地球表面的切线），设地球半径为R，的长度为，∠SAM＝30°，∠SBM＝45°，则卫星S到地面的高度为______． 【答案】【解析】【分析】根据已知条件，构造三角形，在三角形中根据正、余弦定理求解.【详解】如图，圆心为O点，设，由已知的长度为，即，∵∴是等边三角形，又，，，，则，中，有，，，，由正弦定理可得，，即， ∴在中，有，，，由余弦定理可得，则，所以，则卫星S到地面的高度为故答案为：.四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知函数，（1）求的最小正周期；（2）若，求的最值．【答案】（1）（2）最小值为，最大值为【解析】【分析】（1）化简的解析式，进而求得的最小正周期；（2）根据三角函数最值的求法，求得在区间上的最值.【小问1详解】，所以的最小正周期为.【小问2详解】由（1）得， 由，得，所以，所以当时，取得最小值；当时，取得最大值为.所以在区间上的最小值为，最大值为.18.已知，，．（1）求的值；（2）求向量与夹角的余弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题中条件，变化，即可求解；（2）求出及，设与的夹角为θ，利用公式即可.【小问1详解】由题知，因为，所以所以【小问2详解】由题，，则， ，所以，令与的夹角为θ，则，即向量与夹角的余弦值是．19.在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.已知在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，___________.（1）求角A；（2）若，，求的面积.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）从三个条件中任选一个，然后利用诱导公式､二倍角公式､正弦定理等知识转化求解即可.（2）根据第（1）问所求，利用余弦定理建立三边关系，求出bc的值，最后代入三角形面积公式求解即可.【小问1详解】（1）方案一：选条件①.根据正弦定理及得，整理得，即，易知，所以， 又，所以，又，（注意角的范围）故.方案二：选条件②.在中，，所以，结合二倍角公式，可得，所以，得.又，所以.方案三：选条件③.在中，，所以，所以，结合正弦定理可得，，得.又，所以.【小问2详解】根据余弦定理可得，，又，，，所以，得，所以.20.在中，角、、所对的边分别为、、，且满足.（1）求角的大小；（2）若，求的取值范围.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）结合向量运算、正弦定理求得，由此求得.（2）利用正弦定理将表示为三角函数的形式，结合三角函数值域的求法求得的取值范围、【小问1详解】在中，，∵，∴，即，由正弦定理得：，∴，∴，又，∴，∴.【小问2详解】由正弦定理得：，∴，，∴，∵，∴，即，∴，，∴， 即.21.已知两个不共线的向量满足.（1）若与垂直，求值；（2）当时，若存在两个不同的，使得成立，求正数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据求出，再展开求解.(2)根据，平方后化简，整理成，数形结合求解.【小问1详解】由条件知，又与垂直，所以，所以..所以，故.【小问2详解】由，得，即，所以，即，所以.由，得.因为存在两个不同的满足题意， 所以数形结合知.即，又，所以.即实数的取值范围为.22.如图，是单位圆（圆心为）上两动点，是劣弧（含端点）上的动点.记（均为实数（1）若到弦的距离是，（i）当点恰好运动到劣弧的中点时，求的值；（ii）求的取值范围；（2）若，记向量和向量的夹角为，求的最小值.【答案】（1）（i）；（ii）（2）【解析】【分析】（1）根据题意，又直线与圆的位置关系，得，（i）可由圆的几何性质得 ，从而按照数量积的定义求得结果；（ii）以为基底向量，所求向量用基底表示，进而转换为夹角余弦值求范围；（2）以为基底向量，平方处理基底向量线性运算的模问题，根据已知不等式求得夹角余弦值的范围，则所求两个线性运算向量的夹角可转换成基底向量夹角余弦值的函数关系，利用复合函数关系求得最值即可.【小问1详解】解：由到弦的距离是，可得，故（i）由圆的几何性质得，故（ii）记劣弧的中点为，且①②①+②得进一步得：，其中故的取值范围为：【小问2详解】解：记，由两边平方，得 ，又，∴∴故又和向量的夹角为，记，显然关于单调递增，