天津市四校联考2020-2021学年高二下学期期末考试数学Word版含解析

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2020-2021学年天津市四校联考高二（下）期末数学试卷一、选择题（共9小题，每小题5分，共45分）.1．已知全集U＝{﹣2，﹣1，0，1}，集合A＝{x|x2+x﹣2＝0}，B＝{0，1}，则A∪（∁UB）＝（　　）A．{﹣2，﹣1，0}B．{﹣2，﹣1，1}C．{﹣2，0，1}D．{﹣2，﹣1，0，1}2．设x∈R，则“x2﹣5x+6＞0”是“x﹣4＞0”的（　　）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如表所示，由最小二乘法求得回归方程为＝0.85x+2.1，则表中看不清的数据为（　　）x0134y3.34.85.7A．2.2B．1.8C．1.6D．1.44．函数f（x）＝ex﹣cosx的部分图象大致为（　　）A．B．C．D．5．为庆祝建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进学生对党史知识的了解，某学校开展党史知识竞赛活动，以班级为单位参加比赛．高二1班在5道党史题（2道选择题和3道填空题）依次不放回地随机抽取2道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第2次抽到填空题”，则P（B|A）＝（　　）A．B．C．D．6．为落实中央“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”

1的精神，某学校鼓励学生参加体育兴趣小组，有5名学生报名足球、篮球、乒乓球3个兴趣小组，要求每名学生只能报名一个兴趣小组，每个兴趣小组至少有一名且最多有两名学生报名，其中学生甲只能报名乒乓球兴趣小组，则不同的报名方法数为（　　）A．60种B．50种C．30种D．24种7．曲线f（x）＝xex在x＝2处的切线l与坐标轴围成的三角形的面积是（　　）A．B．C．D．8．如图，计划在一块空地上种植面积为2400m2的草坪，草坪的四周留有人行通道，设计要求草坪外侧南北的人行通道宽2m，东西的人行通道宽3m，如何设计草坪的边长才能使人行通道占地面积最小，最小面积是（　　）A．550m2B．538m2C．528m2D．504m29．已知函数f（x）＝xlnx且0＜x1＜x2，则下列结论中正确的是（　　）①x1f（x2）＞x2f（x1）；②x2+f（x2）＞x1+f（x1）；③＞0；④当lnx＞﹣1时，x1f（x1）+x2f（x2）＞2x2f（x1）．A．①②③B．②④C．①③④D．①④二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将正确的答案填写到答题纸上．试题中包含2个空的，答对1个空的得3分，全部答对的得5分．10．命题p：∀n∈N，n2＞2n，则￢p是　　．11．在（x+）9的展开式中，x3的系数是　　.（用数字作答）12．天文学家通过长期对某一天体的观测收集到大量数据，发现这些数据变量X近似服从正态分布N（9，σ²），若P（X＜10）＝0.91，则P（8≤X≤9）+P（X＞10）＝　　．13．有甲，乙，丙三个箱子，甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有2个红球、3个白球，丙箱中有4个红球．现从三个箱子中任选一箱，从中任意摸出一球，则摸到红球的概率是　　．14．已知a＞b＞0，且ab＝，则的最小值是　　，此时b＝　　．15．已知函数f（x）＝x3﹣ax+sinx，当a＝6时，函数f（x）的极值点的个数是　　；若函数f（x）在R

2上是增函数，则实数a的取值范围是　　．三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．教育部决定自2020年起，在部分高校开展基础学科招生改革试点（也称强基计划）．强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，强基计划的校考由试点高校自主命题．已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目，且每门科目是否通过相互独立．若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率分别为，，，该考生报考乙大学，每门科目通过的概率均为．（Ⅰ）设A为事件“该考生报考乙大学在笔试环节至少通过二门科目”，求事件A发生的概率；（Ⅱ）设X为该考生通过甲大学的笔试环节科目数，求随机变量X的分布列和数学期望．17．已知函数f（x）＝x2+bx+c（b，c∈R）．（Ⅰ）若f（x）＜0的解集是{x|﹣1＜x＜2}，求不等式bx2+cx+8≥0的解集；（Ⅱ）设p：﹣1＜x＜2，q：2﹣a≤x≤1+a，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若b＝a﹣1，c＝a﹣2，解关于x的不等式f（x）＞0．18．已知函数f（x）＝ax2﹣（a+1）x+lnx（a∈R）．（Ⅰ）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（4，f（4））处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）在x＝2处取得极值，求函数f（x）在[1，3]上的最大值与最小值．19．我国探月工程嫦娥五号探测器于2020年12月1日23时11分降落在月球正面预选着陆区着陆，在顺利完成月面自动采样之后，成功将携带样品的上升器送入到预定环月轨道，这是我国首次实现月球无人采样和地外天体起飞，对我国航天事业具有重大而深远的影响．某学校为了了解高中生的航空航天知识情况，设计了一份调查问卷，从该学校高中生中随机抽选100名学生进行调查，调查样本中男生、女生各50名，如图是根据样本调查结果绘制的等高条形图（阴影区域表示“得分超过85分的部分”）．得分不超过85分的人数得分超过85分的人数合计女生男生合计（Ⅰ）请将上面列联表填写完整．（Ⅱ）依据α＝0.05的独立性检验，能否认为该学校高中生了解航空航天知识程度与性别有关联？（Ⅲ

3）现从得分超过85分的同学中采用分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽选3人参加下一轮调查，记X为选出参加下一轮调查的女生的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．如表是K²独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值．k00.10.050.010.0050.001P（K2≥k0）2.7063.8416.6357.87910.828参考公式：K2＝，其中n＝a+b+c+d．20．（16分）已知函数f（x）＝x﹣ex+1．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）＝﹣f（x）﹣1，x＞0时，（x﹣k）g′（x）+x+1＞0，求整数k的最大值；（Ⅲ）求证：n∈N*时，＞ln（n+1）．

4参考答案一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填涂到答题卡上．1．已知全集U＝{﹣2，﹣1，0，1}，集合A＝{x|x2+x﹣2＝0}，B＝{0，1}，则A∪（∁UB）＝（　　）A．{﹣2，﹣1，0}B．{﹣2，﹣1，1}C．{﹣2，0，1}D．{﹣2，﹣1，0，1}【分析】可求出集合A，然后进行补集和并集的运算即可．解：U＝{﹣2，﹣1，0，1}，A＝{1，﹣2}，B＝{0，1}，∴∁UB＝{﹣2，﹣1}，A∪（∁UB）＝{﹣2，﹣1，1}．故选：B．2．设x∈R，则“x2﹣5x+6＞0”是“x﹣4＞0”的（　　）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】分别求解一元二次不等式与一元一次不等式，然后结合充分必要条件的判定得答案．解：由x2﹣5x+6＞0，解得x＜2或x＞3，由x﹣4＞0，得x＞4，即由x2﹣5x+6＞0不能得到x﹣4＞0，反之，由x﹣4＞0，能够得到x2﹣5x+6＞0．即“x2﹣5x+6＞0”是“x﹣4＞0”的必要不充分条件．故选：B．3．对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如表所示，由最小二乘法求得回归方程为＝0.85x+2.1，则表中看不清的数据为（　　）x0134y3.34.85.7A．2.2B．1.8C．1.6D．1.4【分析】先求出样本中心，再利用线性回归方程必过样本中心，求解即可．解：由题意可知，，，则样本中心在回归方程为＝0.85x+2.1上，

5所以，解得m＝1.4．故选：D．4．函数f（x）＝ex﹣cosx的部分图象大致为（　　）A．B．C．D．【分析】根据题意，由排除法分析，结合函数的解析式分析可得当x＞0时，f（x）＝ex﹣cosx＞0，排除AC，又由f（﹣）＝＞0，排除B；即可得答案．解：根据题意，f（x）＝ex﹣cosx，当x＞0时，ex＞1而cosx≤1，则有f（x）＝ex﹣cosx＞0，即在y轴右侧，函数图象在x轴上方，排除A、C，又由f（﹣）＝﹣cos（﹣）＝﹣0＞0，排除B；故选：D．5．为庆祝建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进学生对党史知识的了解，某学校开展党史知识竞赛活动，以班级为单位参加比赛．高二1班在5道党史题（2道选择题和3道填空题）依次不放回地随机抽取2道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第2次抽到填空题”，则P（B|A）＝（　　）A．B．C．D．【分析】利用条件概率的含义结合古典概型的概率公式求解即可．解：因为共有2道选择题和3道填空题，依次不放回地随机抽取2道题作答，第1次抽到选择题，故剩下1道选择题和3到填空题，所以P（B|A）＝．故选：A．6．为落实中央“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”

6的精神，某学校鼓励学生参加体育兴趣小组，有5名学生报名足球、篮球、乒乓球3个兴趣小组，要求每名学生只能报名一个兴趣小组，每个兴趣小组至少有一名且最多有两名学生报名，其中学生甲只能报名乒乓球兴趣小组，则不同的报名方法数为（　　）A．60种B．50种C．30种D．24种【分析】根据题意，分2步进行分析：①将5名学生分为1﹣2﹣2的三组，②学生甲所在的组报名乒乓球兴趣小组，剩下2组报名参加其他2个组，由分步计数原理计算可得答案．解：根据题意，分2步进行分析：①将5名学生分为1﹣2﹣2的三组，有＝15种分组方法，②学生甲所在的组报名乒乓球兴趣小组，剩下2组报名参加其他2个组，有A22＝2种安排方法，则有15×2＝30种报名方法，故选：C．7．曲线f（x）＝xex在x＝2处的切线l与坐标轴围成的三角形的面积是（　　）A．B．C．D．【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x＝2处的切线方程，分别求出切线在两坐标轴上的截距，代入三角形面积公式得答案．解：由f（x）＝xex，得f′（x）＝ex+xex，∴f′（2）＝3e2，又f（2）＝2e2，∴曲线f（x）＝xex在x＝2处的切线l的方程为y﹣2e2＝3e2（x﹣2），即y＝3e2x﹣4e2．取x＝0，得y＝﹣4e2，取y＝0，得x＝，∴曲线f（x）＝xex在x＝2处的切线l与坐标轴围成的三角形的面积是S＝．故选：A．8．如图，计划在一块空地上种植面积为2400m2的草坪，草坪的四周留有人行通道，设计要求草坪外侧南北的人行通道宽2m，东西的人行通道宽3m，如何设计草坪的边长才能使人行通道占地面积最小，最小面积是（　　）A．550m2B．538m2C．528m2D．504m2

7【分析】根据已知条件，可得人行道面积S＝，再结合均值不等式，即可求解．解：设草坪南北方向长为x米，则草坪东西方向长为，人行道占地面积为S平方米，∵要求草坪外侧南北的人行通道宽2m，东西的人行通道宽3m，∴S＝＝，当且仅当，即x＝40时，等号成立，S取得最小值504．故选：D．9．已知函数f（x）＝xlnx且0＜x1＜x2，则下列结论中正确的是（　　）①x1f（x2）＞x2f（x1）；②x2+f（x2）＞x1+f（x1）；③＞0；④当lnx＞﹣1时，x1f（x1）+x2f（x2）＞2x2f（x1）．A．①②③B．②④C．①③④D．①④【分析】根据条件分别构造不同的函数，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行判断即可．解：对于①，令g（x）＝＝lnx，则g（x）在（0，+∞）上单调递增，由0＜x1＜x2，可得g（x1）＜g（x2），即＜，即x1f（x2）＞x2f（x1），故①正确；对于②，令h（x）＝f（x）+x＝xlnx+x，h′（x）＝lnx+2，由h′（x）＞0可得x＞e﹣2，由h′（x）＜0可得0＜x＜e﹣2，所以h（x）在（0，e﹣2）上单调递减，在（e﹣2，+∞）上单调递增，当0＜x1＜x2＜e﹣2时，h（x1）＞h（x2），即x1+f（x1）＞x2+f（x2），故②错误；对于③，令m（x）＝f（x）﹣x＝xlnx﹣x，m′（x）＝lnx，在（0，1）上，m′（x）＜0，m（x）单调递减，在（1，+∞）上，m′（x）＞0，m（x）单调递增，故当0＜x1＜x2＜1时，m（x1）＞m（x2），即f（x1）﹣x1＞f（x2）﹣x2，所以f（x2）﹣f（x1）＜x2﹣x1，所以＜0，故③错误；对于④，因为lnx＞﹣1时，f′（x）＝lnx+1＞0，所以f（x）单调递增，

8由①可知，x1•f（x1）+x2•f（x2）﹣2x2f（x1）＞x1[f（x1）﹣f（x2）]+x2[f（x2）﹣f（x1）]＝（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，即x1f（x1）+x2f（x2）＞2x2f（x1），故④正确．故选：D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将正确的答案填写到答题纸上．试题中包含2个空的，答对1个空的得3分，全部答对的得5分．10．命题p：∀n∈N，n2＞2n，则￢p是　∃n∈N，n2≤2n　．【分析】利用含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，即可求解．解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，可知命题p：∀n∈N，n2＞2n的否定￢p是：∃n∈N，n2≤2n．故答案为：∃n∈N，n2≤2n．11．在（x+）9的展开式中，x3的系数是　126　.（用数字作答）【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得常数项．解：∵（x+）9的展开式中，通项公式为Tr+1＝•，令9﹣＝3，求得r＝4，可得x3的系数是＝84，故答案为：126．12．天文学家通过长期对某一天体的观测收集到大量数据，发现这些数据变量X近似服从正态分布N（9，σ²），若P（X＜10）＝0.91，则P（8≤X≤9）+P（X＞10）＝　0.5　．【分析】利用正态曲线的对称性求解即可．解：因为数据变量X近似服从正态分布N（9，σ²），故正态分布曲线的对称轴为X＝9，因为P（X＜10）＝0.91，所以P（X＞10）＝1﹣0.91＝0.09，P（8≤X≤9）＝P（9＜X＜10）＝0.5﹣P（X＞10）＝0.5﹣0.09，所以P（8≤X≤9）+P（X＞10）＝0.5﹣0.09+0.09＝0.5．故答案为：0.5．13．有甲，乙，丙三个箱子，甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有2个红球、3个白球，丙箱中有4个红球．现从三个箱子中任选一箱，从中任意摸出一球，则摸到红球的概率是　　．

9【分析】利用古典概型的概率公式以及分类计数原理进行分析求解即可．解：由题意，甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有2个红球、3个白球，丙箱中有4个红球，现从三个箱子中任选一箱，从中任意摸出一球，则摸到红球的概率为＝．故答案为：．14．已知a＞b＞0，且ab＝，则的最小值是　2　，此时b＝　　．【分析】化简，利用基本不等式性质可求得答案．解：由a＞b＞0，且ab＝，＝＝（2a+b）+≥2＝2，当且仅当2a+b＝时，等号成立，故的最小值为2，由2a+b＝，ab＝，解得b＝，或b＝，由a＞b＞0，b＝舍去，故答案为：．15．已知函数f（x）＝x3﹣ax+sinx，当a＝6时，函数f（x）的极值点的个数是　2　；若函数f（x）在R上是增函数，则实数a的取值范围是　（﹣∞，1]　．【分析】函数f（x）的极值点的个数即f′（x）变号零点个数，令f′（x）＝0，即6﹣3x2＝cosx，数形结合可得方程有2个解，进而得到函数f（x）的极值点的个数是2；函数f（x）在R上是增函数，即f′（x）⩾0在R上恒成立，即不等式a⩽3x2+cosx在R上恒成立，构造函数g（x）＝3x2+cosx，求函数g（x）的最值可求实数a的取值范围．解：f（x）＝x3﹣ax+sinx，当a＝6时，f（x）＝x3﹣6x+sinx，则f′（x）＝3x2﹣6+cosx，令f′（x）＝0，即6﹣3x2＝cosx，作出函数y＝6﹣3x2和y＝cosx的图象，

10数形结合可知方程6﹣3x2＝cosx有两个解，即方程f′（x）＝0有两个解，所以f′（x）＝3x2﹣6+cosx有两个零点，且都为变号零点，所以函数f（x）的极值点个数是2．若函数f（x）在R上是增函数，则f′（x）⩾0在R上恒成立，即f′（x）＝3x2﹣a+cosx⩾0⇔a⩽3x2+cosx，令g（x）＝3x2+cosx，则g′（x）＝6x﹣sinx，因为g′′（x）＝6﹣cosx＞0，所以g′（x）在R上单调递增，又g′（0）＝0，所以当x＜0时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，当x＞0时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，所以g（x）min＝g（0）＝1，所以a⩽1．即a的取值范围为（﹣∞，1]．故答案为：2；（﹣∞，1]．三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．教育部决定自2020年起，在部分高校开展基础学科招生改革试点（也称强基计划）．强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，强基计划的校考由试点高校自主命题．已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目，且每门科目是否通过相互独立．若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率分别为，，，该考生报考乙大学，每门科目通过的概率均为．（Ⅰ）设A为事件“该考生报考乙大学在笔试环节至少通过二门科目”，求事件A发生的概率；（Ⅱ）设X为该考生通过甲大学的笔试环节科目数，求随机变量X的分布列和数学期望．【分析】（I）根据已知条件，事件A

11可分为考生报考乙大学在笔试环节通过二门科目，或者考生报考乙大学在笔试环节通过三门科目，分别求出对应的概率，并求和，即可求解．（II）由题意可得，X的值可能为0，1，2，3，分别计算出其所对应的概率，再结合期望公式，即可求解．解：（I）事件A可分为考生报考乙大学在笔试环节通过二门科目，或者考生报考乙大学在笔试环节通过三门科目，∴．（II）由题意可得，X的值可能为0，1，2，3，P（X＝0）＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝，P（X＝3）＝，即X的分布列为∴＝．17．已知函数f（x）＝x2+bx+c（b，c∈R）．（Ⅰ）若f（x）＜0的解集是{x|﹣1＜x＜2}，求不等式bx2+cx+8≥0的解集；（Ⅱ）设p：﹣1＜x＜2，q：2﹣a≤x≤1+a，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若b＝a﹣1，c＝a﹣2，解关于x的不等式f（x）＞0．【分析】（Ⅰ）由题意，利用不等式对应方程的关系，结合根与系数的关系求得b、c的值，再代入不等式求出对应的解集；（Ⅱ）若p是q的充分不必要条件，则p⊊q，可求得a的取值范围；（Ⅲ）把b＝a﹣1，c＝a﹣2代入不等式f（x）＞0中，求含有字母系数的不等式的解集即可．解：（Ⅰ）由题意知：﹣1，2是方程x2+bx+c＝0的两根，由根与系数的关系，得，解得b＝﹣1，c＝﹣2，代入不等式bx2+cx+8≥0，可得：﹣x2﹣2x+8≥0，化简得（x+1）2≤9，

12解得﹣4≤x≤2，故所求不等式的解集为：[﹣4，2]．（Ⅱ）设p：﹣1＜x＜2，q：2﹣a≤x≤1+a，若p是q的充分不必要条件，则p⊊q，可得，解得a≥3，故实数a的取值范围为：[3，+∞）．（Ⅲ）若b＝a﹣1，c＝a﹣2，则不等式f（x）＞0化为x2+（a﹣1）x+a﹣2＞0，Δ＝（a﹣1）2﹣4×（a﹣2）＝（a﹣3）2≥0，当a＝3时，不等式化为x2+2x+1＞0，则不等式的解集为{x|x≠﹣1}，当a≠3时，两根为﹣1，2﹣a，当a＞3时，﹣1＞2﹣a，则不等式的解集为{x|x＞﹣1或x＜2﹣a}，当a＜3时，2﹣a＞﹣1，则不等式的解集为{x|x＞2﹣a或x＜﹣1}，综上得：a＝3时，不等式的解集为{x|x≠﹣1}，a＞3时，不等式的解集为{x|x＞﹣1或x＜2﹣a}，a＜3时，则不等式的解集为{x|x＞2﹣a或x＜﹣1}．18．已知函数f（x）＝ax2﹣（a+1）x+lnx（a∈R）．（Ⅰ）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（4，f（4））处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）在x＝2处取得极值，求函数f（x）在[1，3]上的最大值与最小值．【分析】（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝x2﹣2x+lnx，求导得f′（x）＝x﹣2+，由导数的几何意义可得k切＝f′（4），又f（4）＝2ln2，进而可得答案．（Ⅱ）求导得f′（x）＝，由于函数f（x）在x＝2处取得极值，则f′（2）＝0，解得a＝，分析f（x）的单调性，最值，即可得出答案．解：（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝x2﹣2x+lnx，f′（x）＝x﹣2+，所以k切＝f′（4）＝，又f（4）＝×42﹣2×4+ln4＝2ln2，

13所以曲线y＝f（x）在点（4，f（4））处的切线方程：y﹣2ln2＝（x﹣4），即9x﹣4y﹣36+8ln2＝0．（Ⅱ）f′（x）＝ax﹣（a+1）+＝＝，因为函数f（x）在x＝2处取得极值，所以f′（2）＝0，解得a＝，所以f（x）＝x2﹣x+lnx，f′（x）＝x﹣+＝＝，在（1，2）上f′（x）＜0，f（x）单调递减，在（2，3）上f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以f（x）极小值＝f（2）＝×22﹣×2+ln2＝﹣2+ln2，f（1）＝﹣，f（3）＝﹣+ln3，且f（1）＜f（3），所以f（x）的最大值为﹣+ln3，最小值为﹣2+ln2．19．我国探月工程嫦娥五号探测器于2020年12月1日23时11分降落在月球正面预选着陆区着陆，在顺利完成月面自动采样之后，成功将携带样品的上升器送入到预定环月轨道，这是我国首次实现月球无人采样和地外天体起飞，对我国航天事业具有重大而深远的影响．某学校为了了解高中生的航空航天知识情况，设计了一份调查问卷，从该学校高中生中随机抽选100名学生进行调查，调查样本中男生、女生各50名，如图是根据样本调查结果绘制的等高条形图（阴影区域表示“得分超过85分的部分”）．得分不超过85分的人数得分超过85分的人数合计女生男生合计（Ⅰ）请将上面列联表填写完整．（Ⅱ）依据α＝0.05的独立性检验，能否认为该学校高中生了解航空航天知识程度与性别有关联？（Ⅲ）现从得分超过85分的同学中采用分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽选3人参加下一轮调查，记X为选出参加下一轮调查的女生的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．如表是K²独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值．

14k00.10.050.010.0050.001P（K2≥k0）2.7063.8416.6357.87910.828参考公式：K2＝，其中n＝a+b+c+d．【分析】（I）由图中可得，女生中不超过85的人数：超过85分的人数＝7：3，男生中不超过85分的人数：超过85分的人数＝1：1，根据男女生人数均为50人，即可补充联表的数据．（II）根据已知条件，运用独立性检验公式，即可求解．（III）运用分层抽样的方法，可知抽取的8人中男生占5人，女生占3人，且X取值可能为0，1，2，3，分别求出其概率，再结合期望公式，即可求解．解：（I）根据图可得，女生中得分不超过85分的人数50×，女生得分超过85分的人数50﹣35＝15，男生中得分不超过85分的人数，男生得分超过85分的人数25，即可得表中的数据得分不超过85分的人数得分超过85分的人数合计女生351550男生252550合计6040100（II）∵K2＝＝＞3.841，又∵α＝0.05，∴该学校高中生了解航空航天知识程度与性别有关联．（III）由（I）可得，得奖人数中男生：女生＝5：3，从得分超过85分的同学中采用分层抽样的方法抽取8人，则男生占5人，女生占3人，则X取值可能为0，1，2，3，P（X＝0）＝，

15P（X＝1）＝，P（X＝2）＝，P（X＝3）＝，随机变量X的分布列为X0123PEX＝．20．（16分）已知函数f（x）＝x﹣ex+1．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）＝﹣f（x）﹣1，x＞0时，（x﹣k）g′（x）+x+1＞0，求整数k的最大值；（Ⅲ）求证：n∈N*时，＞ln（n+1）．【分析】（Ⅰ）求导得f′（x）＝1﹣ex，分析导数的正负，进而可得f（x）的单调区间．（Ⅱ）根据题意可得g（x）＝﹣x+ex﹣2，求导得g′（x）＝﹣1+ex，，则若x＞0时，（x﹣k）g′（x）+x+1＞0，转化为当x＞0时，k＜+x，令h（x）＝+x，只需k＜h（x）min，即可得出答案．（Ⅲ）设p（x）＝x﹣lnx﹣1，求导分析单调性，最值，得p（x）≥p（0）＝0，即x﹣1≥lnx，令x＝，得＞ln，进而可得答案．解：（Ⅰ）f′（x）＝1﹣ex，当x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x＞0时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．（Ⅱ）g（x）＝﹣f（x）﹣1＝﹣x+ex﹣2，g′（x）＝﹣1+ex，若x＞0时，（x﹣k）g′（x）+x+1＞0，则x＞0时，（x﹣k）（﹣1+ex）+x+1＞0，当x＞0时，k＜+x，

16令h（x）＝+x，h′（x）＝+1＝，令H（x）＝ex﹣x﹣2，H′（x）＝ex﹣1，当x＞0时，H′（x）＞0，H（x）单调递增，而H（1）＜0，H（2）＞0，所以H（x）在（0，+∞）内存在唯一的零点，设x0，则x0∈（1，2），当x∈（0，x0）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（x0，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，所以h（x）在（0，+∞）上的最小值h（x0）＝+x0＝1+x0∈（2，3），所以k＜+x恒成立，所以整数k的最大值为2．（Ⅲ）证明：设p（x）＝x﹣lnx﹣1，p′（x）＝1﹣＝，当x＞1时，p′（x）＞0，p（x）单调递增，当0＜x＜1时，p′（x）＜0，p（x）单调递减，所以p（x）min＝p（1）＝0，所以p（x）≥p（0）＝0，所以x﹣lnx﹣1≥0，所以x﹣1≥lnx，令x＝，得＞ln，所以1+++...+＞ln（n+1）．