《余弦定理》示范公开课教案【高中数学必修第二册北师大】.docx

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《余弦定理》教案◆教学目标1．在创设的问题情境中，发现余弦定理的内容，推证余弦定理，并运用余弦定理解简单的三角形；2．通过观察、推导、比较，由特殊到一般归纳出余弦定理，养成创新意识和具备观察与逻辑思维能力，体会用向量作为数形结合的工具，将几何问题转化为代数问题．◆教学重难点◆重点：探究和证明余弦定理的过程；理解掌握余弦定理的内容；初步应用余弦定理．难点：利用向量法证明余弦定理的思路．◆教学过程一、新课导入BCA想一想：如图，某隧道施工队为了开道一条山地隧道，需要测算隧道通过这座山的长度．工程技术人员先在地面上选一适当的位置A，量出A到山脚B，C边的距离，再利用经纬仪测出A对山脚BC(即线段BC)的张角，最后通过计算求出山脚的长度．想一想：这个实际问题可以转化为怎样的数学问题？答案：已知三角形的两边和其夹角，求三角形的另外一边．设计意图：创设情境，使学生体会解三角形在实际生活中的广泛应用．二、新知探究问题1：在Rt△ABC中，当∠C=90°时，有.若a，b边的长短不变，变换∠C的大小时，与有什么大小关系呢？追问1：如图在Rt△ABC中，∠C=90°，保证AC与BC的长度不变，旋转BC使得∠C<90°，此时与满足什么大小关系？答案：由图可得AB的长度变小，所以． 追问2：那么用上述方法试着探究当∠C>90°，与有什么大小关系？答案：如图作Rt△ABC，∠C=90°，保证AC与BC的长度不变，旋转BC使得∠C>90°，由于AB的长度变大，所以．cabHCBA问题2：在上一个问题中，我们已经知道，当∠C≠90°时，，那么与到底有什么样的关系呢?追问1：如图在任意△ABC中，当∠C为锐角时，过点A作AH⊥BC于H，那么如何用a，b与∠C来表示△AHB的三边长？答案：在Rt△AHC中，，，所以．追问2：请用上述关系式表达Rt△AHB的三边关系．答案：在Rt△AHB中，，即．所以当∠C为锐角时，△ABC的三边具有的关系．cabHCBA追问3：当∠C为钝角时，△ABC的三边具有什么样的关系？答案：推导步骤如下：第一步：如图作钝角△ABC中，∠C为钝角，过点B作BH⊥AC，交AC的延长线于点H．第二步：由图可得△ACB是两个直角三角形之差，在Rt△ABH中，；在Rt△BCH中，∠BCH=π-C，，．第三步：所以化为 因为，所以我们也可以得到．追问4：那么当∠C=90°时，这个等式成立吗？答案：成立．因为当∠C=90°时，cosC=0，此时该等式满足勾股定理．综上可得，在任意△ABC中，满足，我们轮换∠A，∠B，∠C的位置可以得到，，这就是三角形中边角关系的重要定理：余弦定理：三角形任意一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的两倍．问题3：你能用向量的方法证明余弦定理吗？答案：在任意△ABC中，．即．追问1：试着建立直角坐标系，用坐标法进行证明．(a,0)(bcosC,bsinC)yxabcCBA答案：如图作任意△ABC，以C为原点建立平面直角坐标系．第一步：由图可得C(0，0)，A(bcosC，bsinC)，B(a，0)；第二步：利用两点间距离公式得，即．问题4：余弦定理可以解哪些类型的三角形？答案：根据， 我们不难发现，余弦定理可以解已知三角形的两边及其夹角，求第三边的题型．追问1：如果只知道三边长，是否能求出三角形的内角？答案：通过公式变形，我们可以得到，，，所以余弦定理还可以解决已知三边长，求三角形的内角的问题．追问2：所以如何根据三边定量判断三角形形状？答案：在△ABC中，我们记最长的边为c，若，△ABC是锐角三角形；若，△ABC是直角三角形；若，△ABC为钝角三角形．想一想：前面的四个问题推导出了什么结果？（1）余弦定理及其推论；（2）余弦定理的作用；（3）余弦定理的结构特点．总结：，，余弦定理：三角形任意一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的两倍，即余弦定理是勾股定理的推广．利用余弦定理，可以由三角形的三条边，求出它三个角的大小．，，．设计意图： 在突破定理证明难点时，通过新旧知识的连接点设问，搭建知识的脚手架，让学生展开联想，力求寻找合理的知识方法，进行自主性的活动与尝试，进一步拓展学生的知识链.比如解三角形处理的是三角形的边长、角度等度量问题，属于代数范畴，而三角形的边、角是几何概念，因此自然会联想到解析法，即把几何中的基本元素——点，赋予代数含义——坐标，从而使数和几何元素实现了互相转化.另外一个既有代数属性，又有几何特征的知识——向量，特别是向量的数量积打通了三角形边角的数形联系，是数与形的完美结合，是化归与转化思想的体现，方法简洁而自然.【概念巩固】思考:判断正误并说明理由？（1）)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适用于任何三角形．（）（2）在△ABC中，若，则△ABC一定为钝角三角形．（）（3）在△ABC中，已知两边和其夹角时，△ABC不唯一．（）（4）在三角形中，勾股定理是余弦定理的一个特例．（）（5）在△ABC中，已知∠A=60°，b=2，c=1，则a=3．（）分析：判断上述问题的正误需要熟练掌握余弦定理的公式和应用，并且运用到实际问题中．答案:（1）正确，余弦定理适用于直角三角形，锐角三角形，钝角三角形，所以适用于一切三角形；（2）正确，由余弦定理可知，所以A为钝角，故△ABC为钝角三角形；（3）错误；已知三角形两边和其夹角时，余弦定理求第三边只有一个解，所以三角形唯一；（4）正确，余弦定理的公式可以推导出勾股定理；（5）正确．，故．三、应用举例例1.如图有两条直线AB和CD相交成80°角，交点是O．甲乙两人同时从点O分别沿OA，OC方向出发，速度分别是4km/h，45km/h．3h后两人相距多远？(精确到0.1km)分析：已知三角形两边和其夹角时，利用余弦定理直接求第三边． 解：经过3h，甲到达点P，,乙到达点Q，，在△OPQ中，依余弦定理，得．因此，3h后两人相距16.4km．例2.如图是古希腊数学家特埃特图斯(Theaetetus，约前417-前369)用来构造无理数2，3，5，…的图形，试计算图中线段BD的长度及∠DAB的大小(长度精确到0.1，角度精确到1°)．分析：已知三角形两边和其夹角时，利用余弦定理求第三边；已知三边求任意一个角的余弦值．解：在△BCD中，BC=1，CD=1，∠BCD=135°，．所以．在△ABD中，AB=1，，，所以． 例3.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知A是锐角，且．（1）若，求实数m的值；（2）若，求△ABC面积的最大值．分析：利用余弦定理边角的互化关系求解参数；余弦定理和基本不等式的结合可以快速地解决面积最值问题，前提是需要推导三角形面积用两边及其夹角的表达式．解：由于A是锐角，且，得，．（1）可变形为．依据余弦定理,可知，即．cbhCBA所以m=1.（2）第一步：用两边及其夹角来表示三角形的面积.如图所示，在△ABC中，h为AB边上的高，则，所以.第二步：因为，所以，即．故．即所求△ABC面积的最大值是．设计意图：数学的思维不是靠大量题目形成，而是通过一定的思辨、顿悟形成的.通过例题的讲解，使学生感觉到让学生懂得学习新知识的意义，学会运用新知识解决问题.方法总结：余弦定理的推论是解题的需要，即变形之后解决有关“已知三边长，解三角形”的问题更直接；也是认识的需要，即借助推论的表达式可以清楚地看到其中蕴含的边角的互化关系. 四、课堂练习1．以4、5、6为边长的三角形一定是________三角形．A.锐角B.直角C.钝角D.无法确定2．在△ABC中，A＋C＝2B，a＋c＝8，ac＝15，b=()．A.B.C.19D.43．在△ABC中，内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是多少？4．△ABC中，若∠A＝60°，b＝16，此三角形面积S=220，则a的值为()．A.7B.25C.55D.49参考答案：1．由题意可知长为6的边所对的内角最大，设这个最大角为α，则cosα＝＝>0，因此0°<α<90°.故选A．2．在△ABC中，因为A＋C＝2B，A＋B＋C＝180°，所以B＝60°.由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac－2accosB＝82－2×15－2×15×＝19.所以b＝．故选B．3．由题可得a2＋b2－c2＝2ab－6，由余弦定理得a2＋b2－c2＝ab， 所以ab＝6，所以S△ABC＝absin＝×6×＝．4．由题意，得S＝220＝bcsinA＝×16×c×，所以c＝55.由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝162＋552－2×16×55×＝2401，所以a＝49．故选D．五、课堂小结1.余弦定理的发现从直角入手，分别讨论了锐角和钝角的情况，体现了由特殊到一般的认识过程，运用了分类讨论的数学思想；2.用向量方法证明了余弦定理，体现了数学知识的应用以及数形结合数学思想的应用；3.余弦定理表述了三角形的边与对角的关系，勾股定理是它的一种特例。用这个定理可以解决已知三角形的两边及夹角求第三边和已知三角形的三边求内角的两类问题，还可以解决有关三角形面积或者周长的最值问题．六、布置作业教材第110页练习第1，2，3题．