《直线与平面垂直(2)》示范公开课教案【高中数学必修第二册北师大】.docx

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第六章立体几何初步6.5.1直线与平面垂直(2)◆教学目标1.理解和掌握直线与平面垂直的判定定理并能简单应用；2.通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直判定的定理，进一步培养学生的空间观念；3.通过对线面垂直的判定定理的证明，培养学生逻辑推理素养．◆教学重难点◆教学重点：直线与平面垂直的判定定理．教学难点：直线与平面垂直的判定定理的应用．◆教学过程一、新课导入回顾：如何判定一条直线与一个平面平行？答案：方法一，定义法：线面无交点；方法二，线面平行的判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.其中，定义法在实际使用时并不方便，故常用判定定理.而判定定理即是用“线线平行”来推出“线面平行”．追问1：类似的，应该如何判定一条直线与一个平面垂直呢？答案：可以用定义法：直线与平面内所有直线垂直．同线面平行的判定类似，定义法是用“线线垂直”来推出“线面垂直”，但是显然，定义法并不方便，因为这里需要证明无数组“线线垂直”.那么我们能用有限组“线线垂直”来推出“线面垂直”吗？ 设计意图：通过复习线面平行的判定，来引出对线面垂直判定的探究，方便知识的迁移，也引导学生用“降维”的思路思考问题．二、新知探究问题1：如果一条直线垂直于平面内的一条直线，能否判断这条直线和这个平面垂直？追问1：如图，长方体中，直线B′C⊥CD，直线B′C与底面ABCD垂直吗？答案：不垂直．问题1答案：不能．问题2：如果一条直线垂直于平面内的两条直线，能否判断这条直线和这个平面垂直？分析：同一平面内两条直线的位置关系可能是平行或相交，需分情况讨论．答案：①当两条直线平行时：如图，长方体中，直线B′C⊥AB，B′C⊥CD，直线B′C与底面ABCD并不垂直；②当两条直线相交时：如图，长方体中，直线C′C⊥BC，C′C⊥CD，直线C′C与底面ABCD垂直．思考：结合问题1和问题2，大家能猜想出如何判定直线与平面垂直吗？ 答案：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.证明过程较为复杂，这里不做要求．线面平行的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直．符号语言：若a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，a∩b=A，则l⊥α．注意：此定理共三个条件，在应用时缺一不可，即：①两线面内，“a⊂α，b⊂α”；②线线垂直，“l⊥a，l⊥b”；③两线相交，“a∩b=A”．作用：在空间中，常用此定理来由“线线垂直”来证明“线面垂直”．【概念巩固】1.如果一条直线和一个平面内的无数条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直吗？答案：不垂直，无数条直线并不能保证有两条相交直线，判定定理不成立．2.如果一条直线和一个平面内的任意两条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直吗？答案：垂直，任意两条直线肯定能保证有两条相交直线，判定定理成立.思考：（1）若三条共点的直线两两垂直，那么其中的任意一条直线与另外两条直线确定的平面是什么关系？（2）过平面外一点可以作几条直线与已知平面垂直？答案：（1）不妨设直线a，b，c两两垂直，相交于点P，直线b，c确定平面α．∵c⊂α，b⊂α，a⊥c，a⊥b，c∩b=P，∴a⊥α．（2）假设过平面外的一点可以作两条直线与已知平面垂直，则根据线面垂直的性质定理，这两条直线平行，不可能相交于一点，故假设错误．故答案为有且只有一条．问题3：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面吗？分析：根据问题把文字语言改写成符号语言并画出相应的图形：已知：如图，l1l2，l1⊥α.求证：l2⊥α. 证明：要证明l2⊥α，只需证明l2与平面α内两条相交直线垂直.在平面α内作两条相交直线a，b.∴l1⊥α，∴l1⊥a，l1⊥b.又∵l1l2，∴l2⊥a，l2⊥b.又∵a⊂α，b⊂α，a，b是两条相交直线，∴l2⊥α.结论：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．三、应用举例例1下列说法正确的有.①垂直于同一条直线的两条直线平行；②如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直；③如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线与这个平面垂直；④若直线l与平面α不垂直，则平面α内一定没有直线与l垂直.解：②.在空间中，与一条直线同时垂直的两条直线可能相交，可能平行，也可能异面，故①不正确；由线面垂直的定义可知，②正确；这两条直线也可能平行，并不能保证相交，线面垂直的判定定理不成立，③不正确；如图，l与α不垂直，但a⊂α，l⊥a，故④不正确. 规律方法：（1）对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者说法是不正确的，它可以使直线与平面斜交；（2）判定定理中要注意必须是平面内两相交直线.例2如图所示，Rt△ABC所在平面外一点S，SA=SB=SC，点D为斜边AC的中点，求证：直线SD⊥平面ABC.解：连接BD，∵SA=SC，点D为AC的中点，∴SD⊥AC.在Rt△ABC中，∵点D为斜边AC的中点，∴BD=AD.在△SAD与△SBD中SA=SBSD=SDAD=BD∴△SAD≌△SBD（SSS），∴∠SDB=∠SDA=90°，∴SD⊥BD，又SD⊥AC，BD∩AC=C，BD、AC都在平面ABC中，∴SD⊥平面ABC.总结：应用判定定理证明线面垂直的步骤 例3如图，长杆l与地面α相交于点O，在杆子上距地面2m的点P处挂一根长2.5m的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面上的点A或点B(A，B，O三点不在同一条直线上.)如果A，B两点和点O的距离都是1.5m，那么长杆l和地面是否垂直？为什么？解：在△POA和△POB中，∵PO=2m，AO=BO=1.5m，PA=PB=2.5m，∴PO2+AO2=22+1.52=2.52=PA2，PO2+BO2=22+1.52=2.52=PB2.根据勾股定理的逆定理得PO⊥AO，PO⊥BO.又A，B，O三点不共线，∴PO⊥平面α，即长杆与地面垂直.设计意图：通过例题，熟悉线面垂直的判定定理的解题思路，并提醒学生注意判定定理的注意事项和解题步骤．四、课堂练习1.已知平面α，直线l，m且m∥α，则“l⊥m”是“l⊥α”的条件．2.如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中.求证：AC⊥平面BDD′B′. 3.如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任意一点，则下列关系中不正确的是（）.A.PA⊥BCB.BC⊥平面PACC.AC⊥PBD.PC⊥BC4.已知：在三棱锥V-ABC中，VA=VC，AB=BC，求证：VB⊥AC.参考答案：1.①讨论必要性.当l⊥α时，∵m∥α，∴l⊥m，必要性成立.②讨论充分性.当l⊥m时，∵m∥α，则l与α平行相交都有可能，充分性不成立. 故答案为：必要不充分.2.∵BB′⊥平面ABCD，∴BB′⊥AC．∵底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD．又BD∩BB′=B，BD⊂平面BDD′B′，BB′⊂平面BDD′B′，∴AC⊥平面BDD′B′．3.A选项，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC．B选项，∵AB是圆的直径，∴AC⊥BC．又AC∩PA=A，∴BC⊥平面PAC．C选项，无法证明，错误．D选项，∵BC⊥平面PAC，∴PC⊥BC．故选C选项．4.取AC中点D，连接VD、BD，∵VA=VC，∴VD⊥AC．同理可得BD⊥AC．又VD⋂BD=D，VD⊂平面VBD，BD⊂平面VBD，∴AC⊥平面VBD，∴VB⊥AC．五、课堂小结线面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直. 注意：此定理共三个条件，在应用时缺一不可，即：①两线面内，“a⊂α，b⊂α”；②线线垂直，“l⊥a，l⊥b”；③两线相交，“a∩b=A”.作用：在空间中，常用此定理来由“线线垂直”来证明“线面垂直”.六、布置作业教材第235页习题6-5A组第5题．