《向量的基本关系》示范公开课教案【高中数学必修第二册北师大】.docx

《《向量的基本关系》示范公开课教案【高中数学必修第二册北师大】.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

第二章平面向量及其应用2.1.2向量的基本关系◆教学目标1．能从物理学和几何背景中抽象概括出向量的概念；2．通过对向量的基本关系的探究，体会用类比的思想研究问题；3．经历概念的形成过程，感受舍去物理属性，得到数学研究对象的数学抽象，感受数学和物理学科的内在联系．◆教学重难点教学重点：向量的基本关系．教学难点：向量的基本关系的探究和理解过程．◆教学过程一、新课导入情景：猫与老鼠一只老鼠和一只猫相距16米，老鼠以每秒4米的速度从B点向正东奔跑，猫以每秒7米的速度从A点向正东追．问题1：猫能否追上老鼠？答案：能追上，因为它们的方向相同，猫的速率大于老鼠的速率．追问：若猫的速度记为v1，老鼠的速度记为v2，那么v1和v2有什么关系？答案：v1和v2为共线向量．设计意图：通过生活中的实例，让学生感知、了解，进而自主生出向量之间的关系新概念．提高学生用数学抽象的思维方式思考并解决问题的能力．8 二、新知探究问题2：物理中“两个物体运动速度相等”是两个矢量间的相等关系，是指它们的方向相同、大小相等．观察方格图，在数学上如果是两个向量，你能“定义”这种相等关系吗?根据是什么？答案：能，根据两个向量的大小和方向．追问1：若两个有向线段方向相同、长度相等，则它们表示的向量相等吗?若相等，那么代表相等向量的有向线段与起点位置有关吗?请举例说明．答案：相等向量是指它们的大小相等且方向相同，向量a与b相等，记作a＝b．若两条有向线段方向相同、长度相等，则它们表示的向量是相等的．代表相等向量的有向线段与起点位置无关．例如图中：=EF,PQ=MN．追问2：方格图中，向量a与，CD与，a与CD相等吗?从方向上看，它们之间形成了怎样的特殊关系?答案：向量a与方向相同但大小不等，CD与方向相反且大小不等，a与CD方向相反但大小相等．所以从方向上看，它们之间形成了方向相同或相反的特殊关系，且它们所在的直线平行或共线．追问3：如果任作一条与向量a所在直线平行的直线l，并在l上任取一点O，以点O为起点作有向线段OR，OS，分别等于向量a，，可行吗?如果可行，请据此说明“两个向量平行或共线”与“两条线段平行或共线”的区别与联系．答案：可行．“两个向量平行或共线”只需这两个向量方向相同或相反，可以在也可以不在同一条直线上；而“两条线段平行或共线”指平行则不共线，共线则不平行．问题3：我们发现图中向量a与CD是特殊的共线向量，特殊之处是什么?能否起个名字并定义它?8 答案：向量a与CD的方向相反且大小相等，类比“实数中符号相反且绝对值相等的两个数叫作相反数”，我们把这两个向量叫作相反向量．追问1：作为向量集合中的特殊向量零向量，它与其他向量共线吗?它有相反向量吗?答案：由零向量的定义可知，它的长度为零，任何一个方向都可以作为它的方向，所以零向量与任一向量a共线，即0//a．零向量的相反向量仍是零向量．问题4：方格图中，向量a与b，a与GH是相等向量吗?是共线向量吗?它们所在的直线有何关系?答案：既不是相等向量也不是共线向量．它们所在的直线都相交，但所成角不同．归纳新知：相等向量：相等向量是指它们的大小相等且方向相同，向量a与b相等，记作a＝b．共线向量：若两个非零向量a与b方向相同或相反，则这两个向量为共线向量或平行向量，也称这两个向量共线或平行．记作a//b．由于任何方向都可以作为零向量的方向，规定零向量与任一向量a共线．相反向量：若两个向量的大小相等、方向相反，则称它们是互为相反的向量．相反向量是共线向量．若其中一个向量为a，则它的相反向量记作−a．由于任何方向都可以作为零向量的方向，规定零向量的相反向量仍是零向量．向量的夹角：已知两个非零向量a与b，如图：作OA=a，OB=b，则θ=∠AOB(0°⩽θ⩽180°)称为向量a与b的夹角．当θ=0°时，a与b同向；当θ=180°时，a与b反向；当θ=90° 时，a与b垂直，记作a⊥b．由于任何方向都可以作为零向量的方向，规定零向量可与任一向量垂直，即对于任意的向量a，都有0⊥a．设计意图：类比直线(段)的基本关系认识向量的基本关系，促进学生自主建构相等向量、共线向量(平行向量)、相反向量、向量的夹角的概念，引导学生参与概念的定义过程中，使概念成为学生观察、归纳、概括之后的自然产物．8 【概念辨析】思考辨析，判断正误(1)单位向量一定是相等向量．()(2)相等向量的起点必相同．()(3)若AB∥CD，则A，B，C，D一定共线．()(4)零向量与任一向量既平行又垂直．()答案：　(1)×，单位向量方向可能不同．(2)×，只要长度相等、方向相同就是相等向量，与向量起点的位置无关．(3)×，A，B，C，D可能共线也可能AB∥CD．(4)√．．三、应用举例（一）平行向量与相等向量例1　如图，D，E，F分别是正三角形ABC各边的中点．(1)写出图中所示与向量长度相等的向量．(2)写出图中所示与向量相等的向量．(3)分别写出图中所示与向量，共线的向量．解　(1)，，，，，，，；(2)，；8 (3)与共线的向量为：，，；与共线的向量为：，，．方法总结：判断一组向量是否相等，关键是看这组向量是否方向相同，长度相等，与起点和终点的位置无关．对于共线向量，则只要判断它们是否同向或反向即可．（一）向量的夹角例2　如图，O是正六边形ABCDEF的中心，分别求出与，与，与的夹角．解　由题意知△OAB，△OBC，△OCD，△OED，△OEF，△OFA均为等边三角形．∴与夹角∠DOB＝120°，与夹角∠DOE＝60°，与夹角等于与的夹角，∴与夹角是60°．方法总结：求向量的夹角要注意：①方向性；②向量夹角的范围为[0°，180°]．（二）用向量关系研究几何图形的性质8 例3　已知在四边形ABCD中，＝，且||＝||，与的夹角为120°，判断四边形ABCD的形状．解　∵在四边形ABCD中，＝，∴AB綊DC，∴四边形ABCD为平行四边形．∵与的夹角为120°，∴∠ADC＝60°，即∠B＝60°，又∵||＝||，∴△ABC为正三角形，∴||＝||，∴四边形ABCD为菱形．　方法总结：利用向量关系证明或判断线段平行或相等的方法(1)证明或判断线段相等，只需证明或判断相应向量的长度(模)相等．(2)证明线段平行，先证明相应的向量共线，再说明线段不重合．常用的两个结论：①若＝，且A，B，C，D四点不共线，则四边形ABCD为平行四边形；若四边形ABCD为平行四边形，则＝．②若∥，则A，B，C三点共线．四、课堂练习1．如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则两腰上的向量与的关系是(　　)A．＝B．||＝||C．＞D．<8 2．下列说法正确的是(　　)A．∥表示所在的直线平行于所在的直线B．长度相等的向量叫作相等向量C．零向量的长度等于0D．共线向量是在一条直线上的向量3．在等边三角形ABC中，与的夹角为________．参考答案　1．答案　B解析　||与||表示等腰梯形两腰的长度，故相等；2．答案　C解析　∥表示所在的直线平行于DC所在的直线，或所在的直线与所在的直线重合；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同；共线向量也称为平行向量，它们可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，所以A，B，D均错误，故选C；3．答案　120°解析　如图，根据向量夹角的概念与的夹角为∠ABC的补角即120°．五、课堂小结1．牢记2个概念(1)共线向量(平行向量)；(2)向量的夹角．2．掌握1个关系相等向量、相反向量都是共线向量；反之，不成立．3．辨清2个易错点8 (1)共线向量所在的直线可以平行或者重合；(2)求向量夹角时，要把两向量的起点移到同一点处．六、布置作业教材第77页练习题．8