2022-2023学年高二数学考点知识详解第一章空间向量与立体几何（提升测试解析版）

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2023年新高考复习讲练必备第一章空间向量与立体几何基础提升测试本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟。注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B)填涂在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2.作答选择题时，选出每小题答案后，用28铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上，3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一井交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知空间向量，，若，则（       ）A．B．C．1D．2【答案】A【解析】【分析】由空间向量平行的坐标公式求出即可.【详解】由，解得，则.故选：A.2．将正方形沿对角线折起，使得平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为（       ）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】根据空间直角坐标系，根据向量的夹角的余弦值来确定异面直线的夹角.【详解】取中点为，连接，所以，学科网（北京）股份有限公司

1又面面且交线为，面，所以面，面，则.设正方形的对角线长度为2，如图所示，建立空间直角坐标系，，所以，.所以异面直线与所成角的余弦值为.故选:A3．如图，平行六面体中，为的中点.若，则（       ）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】利用向量的加减法公式，对向量进行分解，进而求出，，的值.【详解】，故，，，即故选：.学科网（北京）股份有限公司

24．空间四点共面而不共线，那么这四点中（       ）A．必有三点共线B．至多有三点共线C．至少有三点共线D．不可能有三点共线【答案】B【解析】【分析】画出空间四点共面而不共线的两种情况，即可得出答案.【详解】如下图所示，A，C，D均不正确，只有B正确.故选：B.5．已知经过点的平面的法向量为，则点到平面的距离为（       ）A．B．2C．D．【答案】D【解析】【分析】求出的坐标，利用点到平面距离的向量求法计算作答.【详解】依题意，，所以点P到平面的距离为.故选：D6．四面体中，，则（       ）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】学科网（北京）股份有限公司

3根据空间向量数量积的运算律及定义计算可得；【详解】解：因为，，所以所以，所以，又，所以，所以，因为，所以；故选：C7．如图，平行六面体的底面是边长为1的正方形，且，，则线段的长为（       ）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】先以为基底表示空间向量，再利用数量积运算律求解.【详解】解：，，，，所以，故选：B8．在三棱锥中，所有棱的长均为，点在棱上，满足，点在棱学科网（北京）股份有限公司

4上运动，设直线与平面所成角为，则的最小值为（       ）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】取中点，在底面的射影为，则以为坐标原点可建立空间直角坐标系，设，，可得，利用线面角的向量求法，结合函数值域的求解方法可求得的取值范围，进而得到的最小值.【详解】取中点，连接；三棱锥各棱长均为，在底面内的投影为的中心，；以为坐标原点，正方向为轴，作的平行线作为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则，，，；轴平面，平面的一个法向量；设，，，，即，，；学科网（北京）股份有限公司

5当时，，；当时，；设，则；当时，，，；综上所述：的最小值为.故选：A.二．选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得09．已知为直线l的方向向量，，分别为平面，的法向量（，不重合），那么下列说法中，正确的有（       ）A．B．C．D．【答案】AB【解析】【分析】法向量垂直于平面，根据两法向量的位置关系分别进行判断即可.【详解】A选项，平面α，β不重合，所以平面α，β的法向量平行等价于平面α，β平行，故A正确；B选项，平面α，β不重合，所以平面α，β的法向量垂直等价于平面α，β垂直，故B正确；C选项，直线的方向向量平行于平面的法向量等价于直线垂直于平面，故C错误；D选项，直线的方向向量垂直于平面的法向量等价于直线平行于平面或直线在平面内，故D错误.故选：AB.10．如图，在长方体中，、、分别是棱、、上的点，且满足，，，则（       ）A．B．C．D．学科网（北京）股份有限公司

6【答案】AB【解析】【分析】利用空间向量基本定理逐项判断可得出合适的选项.【详解】对于A选项，，A对；对于B选项，，B对；对于C选项，由图可知、不共线，则，C错；对于D选项，，D错.故选：AB.11．已知空间中三点A（0，1，0），B（1，2，0），C（－1，3，1），则正确的有（       ）A．与是共线向量B．平面ABC的一个法向量是（1，－1，3）C．与夹角的余弦值是D．与方向相同的单位向量是（1，1，0）【答案】BC【解析】【分析】A选项直接写出与，按照共线向量即可判断；B选项直接计算法向量即可.C选项通过夹角公式计算即可；D选项由单位向量的求法进行判断；【详解】对A，，，因为，显然与不共线，A错误；对B，设平面的法向量，则，令，得，B正确.对C，，，C正确；对D，方向相同的单位向量，即，D错误；故选：BC12．已知三棱锥，，是边长为2的正三角形，E为中点，，则下列结论正确的是（       ）学科网（北京）股份有限公司

7A．B．异面直线与所成的角的余弦值为C．与平面所成的角的正弦值为D．三棱锥外接球的表面积为【答案】ACD【解析】【分析】对于A：取AC的中点F，连接PF,BF，证明出面，即可得到.对于B、C：先证明出，，.可以以P为原点，为xyz轴正方向建立空间直角坐标系.利用向量法求解；对于D：把三棱锥还以为正方体，则三棱锥的外接球即为正方体的外接球.即可求解.【详解】对于A：在三棱锥，，是边长为2的正三角形，取AC的中点F，连接PF,BF，则.又，所以面，所以.故A正确.对于B：因为，，,所以面，所以，.在三棱锥，，是边长为2的正三角形，所以三棱锥为正三棱锥，所以.所以.可以以P为原点，为xyz轴正方向建立空间直角坐标系.学科网（北京）股份有限公司

8则，，，，.所以,.设异面直线与所成的角为，则.即异面直线与所成的角的余弦值为.故B错误；对于C：，.设平面ABC的一个法向量为，则,不妨设x=1，则.设与平面所成的角为，则.即与平面所成的角的正弦值为.故C正确.对于D：把三棱锥还以为正方体，则三棱锥的外接球即为正方体的外接球.学科网（北京）股份有限公司

9设其半径为R，由正方体的外接球满足,所以.所以球的表面积为.故D正确.故选：ACD.三．填空题本题共4小题，每小题5分，共20分13．已知平面，写出平面的一个法向量______．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】设出法向量，利用数量积为0列出方程组，求出一个法向量即可.【详解】设法向量为，则有，令得：，所以故答案为：14．在空间直角坐标系O-xyz中，向量分别为异面直线方向向量，则异面直线所成角的余弦值为___________.【答案】【解析】【分析】直接利用向量的夹角公式即可求解.【详解】因为，所以.学科网（北京）股份有限公司

10因为异面直线所成角的范围为，所以异面直线所成角的余弦值为.故答案为：15．已知是平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为_________.【答案】##【解析】【分析】利用空间向量求点到平面的距离即可.【详解】由题可得，又是平面的一个法向量，∴则点P到平面的距离为.故答案为：.16．在棱长为2的正方体中，P为棱的中点，过点B作平面，则平面截正方体所得的截面面积为______．【答案】##【解析】【分析】如图，以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设平面分别交于，设，则利用垂直关系可求出的值，从而可确定出的位置，从而可求出截面面积【详解】如图，以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，所以，设平面分别交于，设，所以，因为，，所以，所以，学科网（北京）股份有限公司

11解得，所以，所以分别为的中点，所以平面截正方体所得的截面为所以，，所以，所以平面截正方体所得的截面面积为，故答案为：四．解答题：本题共6小题，17题10分，剩下每题12分。共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．如图所示，在平行六面体中，M、N分别是、BC的中点．设，，．(1)已知P是的中点，用、、表示、、；(2)已知P在线段上，且，用、、表示．学科网（北京）股份有限公司

12【答案】(1)，，(2)【解析】【分析】由空间向量的线性运算可得.(1)因为M、N、P分别是、BC、的中点所以，；；；(2)因为，所以所以．18．如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD且，，，，点M为棱PC的中点．(1)证明：；(2)求平面ABM与平面ABCD所成角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】学科网（北京）股份有限公司

13（1）解法一：建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积为0来证明两直线的垂直关系；解法二：作出辅助线，证明出AC⊥平面PCD，得到，再得到，得到所以DM⊥平面PAC，所以（2）解法一：建立空间直角坐标系，利用空间向量求解两平面的夹角的余弦值；解法二：作出辅助线，得到平面ABM与平面ABCD所成角的平面角，在直角三角形中求出三角函数值.(1)解法一：因为，所以．如图，以A为原点，分别以，为x轴，y轴的正方向，过点A作∥，则⊥平面，以为轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，4，0），P（0，4，2），因为点M为棱PC的中点，所以M（1，3，）．于是，所以．所以，即．解法二：如图，取AD中点N，连接CN，AC，学科网（北京）股份有限公司

14因为PD⊥平面ABCD，AC平面ABCD，所以因为，所以四边形ABCN为正方形，，所以且，所以，所以在△ACD中，，所以，又因为，PD，CD平面PCD，所以AC⊥平面PCD，因为DM平面PCD，所以在△PCD中，，M为PC中点，所以，因为，AC，PC平面PAC，所以DM⊥平面PAC，又因为PA平面PAC，所以(2)由（1）得．设是平面MAB的法向量，则，即取，得，则是平面MAB的一个法向量．又因为PD⊥平面ABCD，所以是平面ABCD的一个法向量．设平面ABM与平面ABCD所成的角为，则，所以平面ABM与平面ABCD所成角的余弦值为方法二：分别取AB，CD的中点E，F，连接EM，EF，FM，则，又由（1）知，同理可得，学科网（北京）股份有限公司

15所以，因为，AC，AD平面ABCD，所以MF⊥平面ABCD，又因为AB平面ABCD，所以，因为，，所以，又因为，EF，MF平面MEF，所以AB⊥平面MEF，因为ME平面MEF，所以又因为，所以∠MEF为二面角的平面角．在Rt△MEF中，，所以，所以平面ABM与平面ABCD所成角的余弦值为．19．四边形ABCD是平行四边形，，四边形ABEF是梯形，，且，，，平面平面．(1)求证：；(2)求直线EC与平面EFD所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）利用余弦定理求出，即可得到，由面面垂直的性质得到平面，即可得证；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得；(1)学科网（北京）股份有限公司

16证明：因为，，，由余弦定理，所以，则，所以，即，又平面平面，平面平面，平面所以平面，又平面，所以；(2)解：如图建立空间直角坐标系，则、、、，所以，，，设平面的法向量为，所以，令，则，设直线与平面所成角为，则，故直线与平面所成角的正弦值为；20．如图1，在等边中，点D，E分别为边AB，AC上的动点且满足，记.将△ADE沿DE翻折到△MDE的位置并使得平面MDE⊥平面DECB，连接MB，MC得到图2，点N为MC的中点．学科网（北京）股份有限公司

17(1)当EN∥平面MBD时，求λ的值；(2)试探究：随着λ值的变化，二面角BMDE的大小是否改变？如果改变，请说明理由；如果不改变，请求出二面角的正弦值大小．【答案】(1)(2)不改变，【解析】【分析】（1）首先取的中点为，连接，，再结合线面平行的性质即可得到（2）利用空间向量法求解即可.(1)取的中点为，连接，，因为，，所以NP∥BC，又DE∥BC，所以NP∥DE，即N，E，D，P四点共面，又EN∥平面BMD，EN⊂平面NEDP，平面NEDP∩平面MBD＝DP，学科网（北京）股份有限公司

18所以EN∥PD，即NEDP为平行四边形，所以NP＝DE，则DE＝BC，即λ＝.(2)取的中点，连接MO，则MO⊥DE，因为平面MDE⊥平面DECB，平面MDE∩平面DECB＝DE，且MO⊥DE，所以MO⊥平面DECB，如图建立空间直角坐标系，不妨设，则，，，所以，，设平面的法向量为，则，即，令，即.又平面的法向量，所以，即随着值的变化，二面角的大小不变．且.所以二面角的正弦值为.21．在四棱锥中，已知，，，，，，是上的点．学科网（北京）股份有限公司

19(1)求证：底面；(2)是否存在点使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出该点的位置；不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)存在，点为上靠近点的三等分点【解析】【分析】（1）首先证明面，再结合线面垂直的判断定理，证明面；（2）以为原点，建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用，即可求得的值.(1)在中：，，所以.在中：，，，由余弦定理有：，所以，所以①又因为②，由①②，，所以面，所以③.在中：，，，所以④，由③④，，所以面.(2)以为原点，以，，竖直向上分别为、、轴建立直角坐标系.则有，，，，，设，则，，，设为面的法向量，则有：，解得，设所求线面角为，则有，解得，所以.所以学科网（北京）股份有限公司

20点为上靠近点的三等分点，满足条件.22．如图①，在平行四边形中，，，，，分别为，的中点，现把平行四边形沿折起如图②所示．在图②中，连接，，若，试解答下列两个小题：(1)求证：平面平面；(2)求平面与平面所成的锐二面角的大小．【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】【分析】（1）取的中点，连接，，，证明平面即可得出平面与平面垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求出二面角大小即可.(1)取的中点，连接，，，如图，在平行四边形中，，，，、分别为、的中点，学科网（北京）股份有限公司

21，为边长为2的正三角形，则，，且，又，，又，平面，平面，平面平面.(2)以为原点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，则则，，设平面的法向量为，则，令，则，，即，设平面的法向量为，则易知，则，因为，所以，即平面与平面所成的锐二面角的大小为．学科网（北京）股份有限公司