重庆市第八中学2020-2021学年高一下学期期末数学Word版含解析.docx

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重庆市第八中学2020-2021学年高一下学期期末数学试题一、单选题1．直线的倾斜角是（       ）A．B．C．D．2．复数（为虚数单位）的虚部为（       ）A．B．C．D．3．在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则角为（       ）A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°4．已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（       ）A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则5．直线与圆交于、两点，则（       ）A．2B．C．6D．6．已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的交点情况是（       ）A．无论，，如何，总有唯一交点B．存在，，使之有无穷多个交点C．无论，，如何，总是无交点D．存在，，使之无交点7．如图，在正三棱柱中，，则直线与所成角的余弦值为（       ）A．B．C．D．8．已知点为直线上的一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为 ，，则四边形面积的最小值为（       ）A．B．C．D．二、多选题9．复数的共轭复数记为，则下列运算结果一定是实数的是（       ）A．B．C．D．10．如果，，那么直线经过（       ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限11．在菱形中，，，，分别为，的中点，则（       ）A．B．C．在方向上的投影向量的模为2D．12．在正方体中，点在线段上运动，下列说法正确的是（       ）A．平面平面B．平面C．异面直线与所成角的取值范围是D．三棱锥的体积不变三、填空题13．若直线与垂直，则实数______．14．已知圆与圆相交于，两点，则直线的方程为______．15．已知复数，满足，，若（为虚数单位），则______．16．已知圆锥的母线长为2，轴截面是过该圆锥顶点的所有截面中面积最大的一个，则该圆锥的表面积的最大值为______．四、解答题17．设向量，，．（1）若向量，求．（2）若向量与向量的夹角为，求．18．的内角，，的对边分别为，，，．（1）求角的大小；（2）若，求的面积的最大值． 19．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，、分别是、中点．（1）求证：平面；（2）求与面所成角的正弦值．20．如图，现有两辆汽车同时从地出发，沿各自路径匀速前往地，汽车甲路线为，汽车乙路线，两车在地汇合后共同前往下一个目的地．已知km，km，km，甲的行驶速度为km/h，乙的行驶速度为km/h．（1）求乙到达地这一时刻的甲、乙两车之间的距离；（2）已知两车车上都配有通话器，通话器的有效通话距离不超过km，从乙到达地这一时刻算起，甲乙无法通话的时间为多长？21．如图，已知在三棱柱中，四边形为正方形，，，、分别是、的中点，点是线段上的动点． （1）证明：；（2）若，若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．22．已知圆心在第一象限，半径为的圆与轴相切，且与轴正半轴交于，两点（在左侧），（为坐标原点）．（1）求圆的标准方程；（2）过点任作一条直线与圆相交于，两点．①证明：为定值；②求的最小值． 参考答案：1．D先求得直线的斜率，由此求得倾斜角.【详解】依题意，直线的斜率为，对应的倾斜角为.故选：D【点睛】本小题主要考查直线倾斜角，属于基础题.2．C复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简复数为的形式，可得虚部．【详解】所以复数的虚部为：．故选：C．3．A利用正弦定理可求.【详解】由正弦定理可得即，故，而，故，故为锐角，故，故选：A.4．D根据点、线、面的位置关系的判定定理和性质定理动态考虑ABC中的各条件后可判断ABC的正误，根据线面垂直的性质可判断D的正误.【详解】对于A，若，，则或，故A错；对于B，若，，则或与相交或，故B错误；对于C，若，，则或，故C错；对于D，由线面垂直的性质可得：若，，则，故D正确.故选：D.5．B算出圆心到直线的距离后可求弦的长.【详解】圆的标准方程为：，故，且圆的半径为，圆心到直线的距离为，故， 故选：B.6．A根据在直线可得，从而可得有唯一交点，从而可得正确的选项.【详解】因为与是直线（为常数）上两个不同的点，所以即，故既在直线上，也在直线上.因为与是两个不同的点，故、不重合，故无论，，如何，总有唯一交点.故选：A.7．D设的中点分别为，连接，可证或其补角为异面直线与所成的角，令，则计算可得，，从而可求异面直线所成角的余弦值.【详解】设的中点分别为，连接，故，，故或其补角为异面直线与所成的角.令，则在中，，故，同理.因为为所在棱的中点，故，而平面，故平面，而平面，故，而，故，故.故异面直线与所成的角的余弦值为.故选：D. 8．C连接，求出可求四边形面积的最小值.【详解】连接，则，又，故而四边形面积为，当且仅当时等号成立.故选：C.9．AC设，求出后逐项计算可得正确的选项.【详解】设，则，故，，不一定为实数，，为实数，，该数不一定是实数，故选：AC.10．ACD 把直线方程的一般式化为斜截式，从而可判断直线经过的象限.【详解】因为，故，故直线的斜截式方程为：，因为，，故，故直线经过第一象限、第三象限、第四象限，故选：ACD.11．ACD利用向量的线性运算可判断AB的正误，根据投影向量的定义计算后可判断C的正误，以为基底向量计算后可判断D的正误.【详解】对于A，，故，故A正确.对于B，，故，故B错误.对于C，在方向上的投影向量的模为，故C正确.对于D，，故D正确.故选：ACD.12．ABD建立空间直角坐标系，利用空间向量法一一计算可得；【详解】解：如图建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为，则，，，，，，因为点在线段上运动，设，，则，所以，，，所以， ，所以，，因为，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面，故A正确；显然可以作为平面的法向量，因为，所以，因为平面，所以平面，故B正确；因为且，所以四边形为平行四边形，所以，所以直线与所成角即为异面直线与所成角，显然当在的两端点时所成的角为，当在的中点时所成的角为，故异面直线与所成角的取值范围是，故C错误；因为，平面，平面，所以平面，所以到平面距离即为到平面的距离，故到平面的距离为一定值，设到平面的距离为，则为定值，故D正确；故选：ABD13．由两直线垂直，可得两直线的斜率乘积为，列方程可求出的值【详解】解：由题可知，两直线的斜存在，因为直线与垂直，所以，解得，故答案为：14．由两个圆的方程相减后可得直线的方程.【详解】因为圆与圆相交于，两点 故的方程为：，整理得到：.故答案为：.15．设，所对应的向量为，，依题意可得，再根据平面向量数量积的运算律得到，最后根据计算可得；【详解】解：设，所对应的向量为，，，，，因为，，，，，，所以，所以所以故答案为：16．由题设条件可得轴截面的顶角锐角或直角，设顶角为，则，则可计算表面积，从而可求表面积的最大值.【详解】因为轴截面是过该圆锥顶点的所有截面中面积最大的一个，故圆锥的顶角为锐角或直角，设顶角为，则，故圆锥的底面半径为，故圆锥的表面积为，因为，故，故答案为：.17．（1）；（2）或.（1）利用向量共线的坐标形式可求的值.（2）求出的坐标，利用夹角公式可求的值.【详解】（1）,因为，故，解得.（2）由（1）可得， 因为与向量的夹角为，故，解得或.18．（1）；（2）.（1）利用正弦定理化简边角关系后可求的大小.（2）根据余弦定理和基本不等式可得，从而可求面积的最大值.【详解】（1）因为，故，整理得到，因为为三角形内角，故，故，而为三角形内角，故.（2）因为，故，故，所以，故，当且仅当等号成立，故的面积的最大值为.19．（1）见解析；（2）.（1）取的中点为，连接，可证四边形为平行四边形，从而可证平面；（2）利用等积法可求到平面的距离，从而可求与面所成角的正弦值.【详解】（1）取的中点为，连接，因为分别为所在棱的中点，故，而，，故，故四边形为平行四边形，所以，而平面，平面，故平面.（2）设，连接，设到平面的距离为.因为底面，平面，故，同理，而，故.故，同理.因为，而，故平面，而平面，故，所以， 故，又，因为，故，故，设与面所成角为，则.20．（1）；（2）小时.（1）利用余弦定理可求乙到达地这一时刻的甲、乙两车之间的距离；（2）利用余弦定理计算甲乙之间的距离，再根据题设条件构建关于时间的不等式，从而可求甲乙无法通话的时间长.【详解】（1）乙从前往所需时间为小时，此时甲从前往的路程为.在中，由余弦定理可得，故乙到达地这一时刻的甲、乙两车之间的距离为.（2）设从乙到达地这一时刻算起，小时后乙在上的位置为，甲在上的位置为，如图所示：则，在中，由余弦定理可得，则，由题设令，解得或，但，故，故甲乙无法通话的时间为小时. 21．（1）证明见解析；（2）（1）取中点，连接，，证明，结合，推出平面，然后证明．（2）以，，为，，建系，求出平面的法向量平面的法向量，利用空间向量法求出平面与平面所成锐二面角的余弦值．【详解】（1）证明：取中点，连接，，，，，，，又，，，又，，平面，平面，又面，． （2）解：，，，，，，，又，面面，面，，以，，为，，建系，，，因为，所以为上靠近的一个三等分点，所以，所以，设面的法向量，由，令　得，，所以又面的法向量，设面与面所成角为，则所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为22．（1）；（2）①，证明见解析，② （1）首先，得到，，，再根据即可得到答案.（2）①首先根据（1）得到，，设，再分别计算即可；②根据得到，即可得到答案.【详解】（1）设，由题知：，，，所以，解得，所以圆.（2）由（1）知：，，.所以，，设，，同理，所以.②因为，所以.所以的最小值为.