四川省泸县第五中学2022-2023学年高一下学期6月期末数学Word版含解析.docx

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2022-2023学年四川省泸州市泸县五中高一（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知集合깤ǡǡǡͳ，깤ሼሼͳ，则깤()A.ǡǡͳB.ǡͳC.ǡͳD.ǡǡͳ2.已知复数满足깤ͳ其中为虚数单位，则깤()A.B.C.D.3.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图和图所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为()A.，B.，C.，D.，4.某学校在校学生有人，为了增强学生的体质，学校举行了跑步和登山比赛，每人都参加且只参加其中一项比赛，高一、高二、高三年级参加跑步的人数分别为，，，且：：깤：：，全校参加登山的人数占总人数的为了了解学生对本次比赛的满意程度，按分层抽样的方法从中抽取一个容量为的样本进行调查，则应从高二年级参加跑步的学生中抽取()A.人B.人C.人D.人5.为▱c两条对角线的交点，깤，c깤，则깤()A.B.C.D.6.已知，，是三个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列命题中正确的是()A.若㔷，㔷，则B.若，，则C.若㔷，㔷，则D.若，，则 7.已知在c中，깤，c깤，c깤，则c깤()A.B.C.D.8.已知某圆锥的内切球ͳ球与圆锥侧面、底面均相切的体积为，则该圆锥的表面积的最小值为()A.B.C.D.二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.若깤，깤，깤，则关于事件与的关系正确的是A.事件与互斥B.事件与不互斥C.事件与相互独立D.事件与不相互独立10.在c中，若ͳ：ͳ：ͳ깤：：，下列结论中正确的有()A.：：c깤：：B.c是钝角三角形C.c的最大内角是最小内角的倍D.若깤，则c外接圆的半径为11.如图，点位于以为直径的半圆上ͳ含端点，，c是边长为的等边三角形，则c的取值可能是()A.B.C.D.12.如图，平面四边形c是由正方形tc和直角三角形ct组成的直角梯形，깤，ct깤，现将c沿斜边c翻折成cͳ不在平面c内，若为c的中点，则在c翻折过程中，下列结论正确的是() A.与c不可能垂直B.三棱锥ct体积的最大值为C.若，c，t，都在同一球面上，则该球的表面积是D.直线与t所成角的取值范围为ͳǡ三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.一组数据ሼǡሼǡǡሼ的平均值为，方差为，记ሼǡሼǡሼǡǡሼ的平均值为，方差为，则깤_________．14.向量깤ͳǡ在向量깤ͳǡ方向上的投影向量的模为______．15.已知非零向量，的夹角为，깤，㔷ͳ，则깤______．16.奋进新时代，扬帆新航程在南海海域的某次海上阅兵上，一大批国产先进舰船和军用飞机接受了党和人民的检阅歼舰载飞机从辽宁舰航空母舰上起飞，以千米小时的速度在同一水平高度向正东方向飞行，在阅兵舰“长沙号”导弹驱逐舰上第一次观察到歼舰载飞机在北偏西方向，分钟后第二次观察到歼舰载飞机在北偏东方向，仰角为，则歼飞机飞行高度为______千米ͳ结果保留根号．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.ͳ本小题分复数满足깤，为纯虚数，若复数在复平面内所对应的点在第一象限．ͳ求复数；ͳ复数，，所对应的向量为，，，已知ͳ㔷ͳ，求的值．18.ͳ本小题分年月日，第十三届全国人民代表大会第五次会议在北京人民大会堂开幕，会议报告指出，年，国内生产总值和居民人均可支配收入明显增长．某地为了解居民可支配收入情况，随机抽取人，经统计，这人去年可支配收入ͳ单位：万元均在区间ǡͳ内，按ǡ，ǡ， ǡ，ǡ，ǡ，ͳ分成组，频率分布直方图如图所示，若上述居民可支配收入数据的第百分位数为．ͳ求，的值，并估计这位居民可支配收入的平均值ͳ同一组中的数据用该组区间的中点值作代表；ͳ用样本的频率估计概率，从该地居民中抽取甲、乙、丙人，若每次抽取的结果互不影响，求抽取的人中至少有两人去年可支配收入在ǡ内的概率．19.ͳ本小题分如图，在直三棱柱cc中，c깤，c깤깤，点t为边中点．ͳ证明：c平面ct；ͳ证明：c㔷平面c．20.ͳ本小题分已知函数ͳሼ깤cosሼሼݔሼsinሼ．ͳ若ሼͳǡ，求ͳሼ的单调递增区间；ͳ若ͳ깤，且，求的值．21.ͳ本小题分如图，四棱锥c的底面是正方形，㔷平面c，깤点t是的中点，作t㔷c， 交c于点．ͳ设平面与平面ct的交线为，试判断直线与直线的位置关系，并给出证明；ͳ求平面与平面ct所成的较小的二面角的余弦值；ͳ求直线与平面t所成角的正切值．22.ͳ本小题分如图，设c中角，，c所对的边分别为，，，为c边上的中线，已知깤且ݔ깤c，cos깤．ͳⅠ求中线的长度；ͳⅡ设点t、分别为边，c上的动点，线段t交于，且t的面积为c面积的一半，求t的最大值． 答案和解析1.【答案】【解析】解：깤ǡͳ，又깤ǡǡǡͳ，깤ǡǡͳ，故选：．先化简，再运算即可得解．本题考查集合的基本运算，属基础题．2.【答案】【解析】解：깤，깤ͳͳ깤，깤깤．故选：．根据已知条件，运用复数的运算法则，以及复数模的公式，即可求解．本题考查了复数代数形式的乘法运算，以及复数模的公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．3.【答案】【解析】【分析】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．【解答】解：由图得样本容量为ͳ깤깤，抽取的高中生人数为깤人，则近视人数为깤人，故选：．4.【答案】【解析】解：可知全校参加跑步的人数为깤，因为：：깤：：，깤， 所以깤깤，按分层抽样的方法从中抽取一个容量为的样本，故应从高二年级参加跑步的学生中抽取的人数为깤．故选：．根据已知条件，结合分层抽样的定义，即可求解．本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题．5.【答案】【解析】【分析】本题考查平面向量的线性运算，考查运算转化能力，属于基础题．根据平行四边形法则以及平行四边形的性质化简即可求解．【解答】解：由已知可得깤깤ͳ깤ͳc깤c깤．故选：．6.【答案】c【解析】【分析】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力．对于，垂直于同一平面的两平面有可能相交或平行；对于，平行于同一直线的两平面有可能相交；对于c，垂直于同一平面的两直线平行；对于，平行于同一平面的两直线相交、平行或异面．【解答】解：对于，垂直于同一平面的两平面相交或平行，故A错误；对于，平行于同一直线的两平面相交或平行，故B错误；对于c，垂直于同一平面的两直线平行，故C正确；对于，平行于同一平面的两直线相交、平行或异面，故D错误．故选：c． 7.【答案】cc【解析】解：ݔ깤깤깤，cc깤ccosͳ깤cݔ깤깤．故选：．先利用余弦定理求出ݔ，再根据向量的数量积定义即可求出．本题考查向量的数量积，余弦定理求角的应用，属于基础题．8.【答案】【解析】解：设圆锥的内切球半径为，则깤，解得깤，设圆锥顶点为，底面圆周上一点为，底面圆心为c，内切球球心为，内切球切母线于t，底面半径c깤ꀀ，c깤，则깤，又t깤，故AB깤tt깤ͳ깤，ͳ又깤tan깤깤，故깤깤，ͳ故该圆锥的表面积为깤깤，令깤ꀀ，ͳ则깤깤ͳͳ깤，当且仅当깤，即깤ǡ깤时取等号．故选：．先求得内切球半径깤，再画图设底面半径为，利用三角函数值代换表达出表面积的公式깤，再设깤ꀀ，根据基本不等式求最小值即可．本题考查球的体积，考查学生的运算能力，属于中档题．9.【答案】c【解析】解：ͳ깤，与能同时发生，不是互斥事件，故A错误，B正确；ͳ깤，得ͳ깤，ͳ깤，ͳ깤，ͳ깤ͳͳ，事件与相互独立，故C正确，D错误． 故选：c．由ͳ깤，得与能同时发生，不是互斥事件；由ͳ깤，得ͳ깤ͳͳ，得事件与相互独立．本题考查两事件的关系的判断，考查互斥事件、对立事件、相互独立事件等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.【答案】c【解析】解：由ͳ：ͳ：ͳ깤：：，不妨设깤，깤，깤，ꀀ，解得깤，깤，깤，可得：：깤：：，由正弦定理可得：：c깤：：깤：：，故A正确；ͳͳͳͳͳͳ因为ݔ，깤깤cݔ깤깤，所以ݔ깤깤ͳ깤ݔ깤ݔc，由ݔ，ꀀݔcꀀ，可得c깤，故C正确；由上可知最大角c为锐角，故B错误；若깤，则깤，깤，又ݔ깤，可得깤cos깤，所以c的外接圆半径깤깤깤，故D正确．故选：c．由ͳ：ͳ：ͳ깤：：，不妨设깤，깤，깤，解得깤，깤，깤，然后逐一求解四个选项得答案．本题考查正、余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和数学运算能力，属于中档题．11.【答案】c【解析】解：如图，建立平面直角坐标系，设ͳݔǡ，ǡͳ，又ͳǡ，ͳǡ，cͳǡ，故깤ͳͳݔǡ，c깤ͳǡ， 则c깤ݔ깤ͳ，因为ǡͳ，所以，sinͳ，即可得ͳǡͳ．故选：c．建立平面直角坐标系，利用坐标计算平面向量的数量积即可．本题考查了利用坐标计算平面向量的数量积，考查了转化思想、运算能力，属于中档题．12.【答案】c【解析】解：对于选项：由㔷c，则㔷c，当㔷时，且，此时满足㔷平面c，因此㔷c，故A错误；对于，取c的中点，连接t，，则t깤깤깤c깤，且㔷c，因为ct깤ct，当平面c㔷平面c时，三棱锥ct体积的最大值，在ct中，ct깤ǡct깤，则t깤，此时ct깤ct깤깤，所以三棱锥ct体积的最大值为，故B正确；对于c，因为t깤깤깤c깤，所以，c，t，都在同一球面上，且球的半径为，所以该球的表面积是ͳ깤，故C正确；对于，作晦t，tt因为为c的中点，所有t깤，깤깤，所以晦깤깤晦，晦晦所以晦깤c깤，所以晦c깤，可以看成以c为轴线，以为平面角的圆锥的母线，所以c与夹角为，c与晦夹角为， 又不在平面c内，깤，깤，所以与晦所成角的取值范围ͳǡ，所以D正确，故选：c．对于选项：根据线面垂直的判断定理，由㔷c，当㔷时，㔷平面c，则㔷c；对于选项：取c的中点，连接t，，根据ct깤ct，则平面c㔷平面c时，三棱锥ct体积的最大值，从而可判断；对于c，根据t깤깤깤c，可得，c，t，都在同一球面上，且球的半径为c，从而可判断；对于选项：由可以看成以c为轴线，以为平面角的圆锥的母线，即可求得与t所成角的取值范围．本题考查线面平行与垂直的判定定理及异面直线所成的角，多面体的外接球问题，棱锥的体积问题，考查了折叠问题，考查转化思想，计算能力与空间想象能力，有一定的难度．13.【答案】【解析】【分析】本题考查了平均数与方差的求解，解题的关键是掌握平均数与方差的运算性质，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．利用平均数与方差的运算性质求出和的值，即可得到答案．【解答】解：因为一组数据ሼ，ሼ，，ሼ的平均值为，方差为，则ሼ，ሼ，ሼ，，ሼ的平均值为깤깤，方差为깤깤，所以깤．故答案为：．14.【答案】 【解析】解：所求向量的模为cosǡꀀ깤깤깤．故答案为：．由投影公式直接计算即可．本题考查投影的计算，考查运算求解能力，属于基础题．15.【答案】【解析】解：㔷ͳ，ͳ깤，깤，깤，깤，非零向量，的夹角为，깤깤깤．cos故答案为：．根据已知条件，结合向量垂直的性质，以及向量的夹角公式，即可求解．本题主要考查向量垂直的性质，以及向量的夹角公式，属于基础题．16.【答案】【解析】解：如图，c是阅兵舰，，是歼舰载飞机被观察的起始位置，t，是飞机在地面上的射影，由已知깤깤千米，t깤깤，c是正北方向，因此ct깤，c깤，c깤，tc깤깤，ct깤깤，tcc由正弦定理깤，可得깤sin，sintcsinctsin解得c깤，可得在直角三角形c中，깤cc깤깤．故答案为：．作出图形，用点，表示歼舰载飞机，用点c表示阅兵舰，然后由正弦定理求得c，再在直角三角形中求得． 本题考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想的应用，属于中档题．17.【答案】解：ͳ设깤ሼͳሼǡ，则깤ሼ깤，깤ሼሼ为纯虚数，则ሼ깤，又复数在复平面内对应的点在第一象限，则ሼꀀ，ꀀ，所以ሼ깤깤，所以复数깤．ͳ由题意，可得깤ͳǡ，깤ͳǡ，깤ͳǡ，则깤ͳǡ，깤ͳǡ；由ͳ㔷ͳ，得ͳͳ깤깤，解得깤．【解析】本题考查的是复数的运算，向量的坐标运算，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．ͳ利用复数的模和纯虚数的定义求出ሼ，再进一步确定的值；ͳ利用向量垂直的充要条件，求出的值．18.【答案】解：ͳ由频率分布直方图，可得깤，则깤，居民收入数据的第百分位数为，ͳ깤，则깤，联立，解得깤，깤．估计这位居民可支配收入的平均值为：깤．ͳ根据题意，设事件，，c分别为甲，乙，丙在ǡ内，则ͳ깤ͳ깤ͳc깤，“抽取人中有人在ǡ内”깤ccc，且cǡcǡc互斥，根据概率的加法公式和事件独立性定义得：깤ͳccc깤ͳͳͳ깤；“抽取人中有人在ǡ内”깤c，根据概率的加法公式和事件独立性定义得： 깤ͳc깤ͳͳͳc깤깤，抽取的人中至少有两人去年可支配收入在ǡ内的概率为：깤깤깤．【解析】ͳ根据频率分布直方图的矩形面积和为，结合第百分位数的性质求出，，进而根据频率分布直方图的平均值算法求解即可；ͳ分抽取的人中有人和人去年可支配收入在ǡ内两种情况求解即可．本题考查频率、平均数、概率、频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.【答案】证明：ͳ在直三棱柱cc中，因为c깤깤，c깤，所以c깤c깤깤，连接c交c于点，连接t，因为，t分别为c，的中点，所以tc，又t平面ct，c平面ct，故BC平面ct；ͳ由ͳ可知，c和c是正方形cc的对角线，所以c㔷c，在直三棱柱cc中，则㔷平面c，又c平面c，则㔷c，又c㔷c，c깤，c，平面cc所以c㔷平面cc，又c平面cc，所以c㔷c，又cc깤c，c，c平面c，所以c㔷平面c．【解析】本题考查线面平行与线面垂直的判定定理的应用，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于基础题．ͳ连接c交c于点，连接t，利用中位线定理可得tc，由线面平行的判定定理证明即可；ͳ利用线面垂直的性质定理和判定定理分别证明㔷c，c㔷平面cc，从而c㔷c，又c㔷c，即可证明． 20.【答案】解：ͳͳሼ깤cosሼሼݔ깤ሼsinሼݔሼሼ깤ͳሼ，令൭ሼ൭，൭，则൭ሼ൭，൭，因为ሼͳǡ，所以ͳሼ的单调递增区间为ͳǡͳǡǡ．ͳ因为ͳ깤，所以sinͳ깤，因为，所以，所以cosͳ깤，所以깤sinͳͳ깤sinͳcoscosͳsin깤깤．【解析】ͳ化简可得ͳሼ깤ͳሼ，再根据正弦函数的单调性，即可得解；ͳ由ͳ的结果求得sinͳ깤，再根据깤ͳ，并结合两角差的正弦公式，即可求解．本题考查三角函数的综合，熟练掌握二倍角公式，辅助角公式，两角差的正弦公式，正弦函数的图象与性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．21.【答案】证明：ͳ连结交c交于，c是正方形，为的中点，又t是的中点，t，又平面ct，t平面ct，平面ct，又平面，平面平面ct깤，．解：ͳ㔷平面c，平面c，㔷，设正方形c的边长为，깤，的中线中깤，깤，中㔷，同理t깤，깤，t㔷，t깤깤，깤c깤，t为正三角形，中线体깤，且体㔷t，中㔷，，中㔷，同理体㔷，中体是二面角ct的一个平面角， 又在正三角形中中体깤，中体中体ͳͳͳcos中体깤깤깤，中体则平面与平面ct所成的较小的面角的余弦值为．解：ͳ同ͳ中㔷，得㔷c，又在正方形c中，㔷c，깤，平面，平面，c㔷平面，同理t㔷平面c同理㔷面tt是直线与平面t所成的角，在t和c中得tant깤cotc깤깤깤，c直线与平面t所成角的正切值为．【解析】ͳ根据线面平行的性质定理进行证明即可．ͳ先找出二面角的平面角，然后进行求解即可，ͳ根据线面角的定义进行求解即可，本题主要考查空间直线和平面位置关系的判断，以及空间角的求解，根据二面角和线面角的定义是解决本题的关键，是中档题．22.【答案】解：ͳⅠ由正弦定理及ݔ知，c깤ݔ깤，由余弦定理知，ݔ깤，所以깤，化简得깤，即깤，因为깤，所以깤，设c깤，因为是c的中点，所以깤ͳc，ݔݔ所以깤ͳcc깤ͳݔ깤，即깤，ݔ所以깤ͳc깤c깤ݔ깤，ݔݔ在c中，cos깤깤깤깤，ݔݔ化简可得ݔݔ깤， 解得ݔ깤或，由cosꀀ，知ݔ故，ꀀݔ以所，ꀀݔ깤，所以ݔ．깤깤깤ͳⅡ由ͳⅠ知，c面积깤깤깤，设t깤ሼ，깤，因为t的面积为c面积的一半，所以ሼ깤，即ሼ깤，设깤깤ͳc，由t，，三点共线，不妨设깤tͳ깤ሼͳc，깤ሼሼ由知，，解得깤，깤깤，ͳሼሼሼ깤所以깤ͳc，ሼ所以t깤ͳcͳt깤ͳcͳcሼሼሼሼ깤ሼcͳሼcͳ깤ሼͳሼͳ깤，ሼሼሼ因为ሼ깤，且ሼ，，所以깤，且ሼ，ሼሼሼሼሼ所以t깤ሼ깤깤ሼ깤ሼ깤，当且仅当ሼ깤时，等号成立，ሼሼ故t的最大值为．