2023届高考数学一轮复习课件之圆锥曲线技巧突破——蒙日圆.pptx

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蒙日圆 蒙日圆及其证明加斯帕尔·蒙日(GaspardMonge，1746~1818)，法国数学家、化学家和物理学家。 在椭圆（双曲线）中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆（双曲线）的中心，半径等于长半轴（实半轴）与短半轴（虚半轴）平方和（差）的算术平方根，这个圆叫蒙日圆。椭圆的蒙日圆方程为：双曲线的蒙日圆方程为：定理1曲线Γ：的两条相互垂直的切线的交点P的轨迹方程是圆：什么是蒙日圆？ 证法一：当两条相互垂直的切线有一条斜率不存在、另一条斜率为0时，可得点P的坐标为，或。当两条相互垂直的切线的斜率均存在且均不为0时，设点P的坐标是，所以设椭圆Γ过点P的切线方程为：，A、B为椭圆的左右顶点由，得由Δ=0，得因为kPA，kPB是这个关于k的方程的两个根，所以由此，得蒙日圆的解析几何证明椭圆的第三定义 平面内的动点到两定点A1（a，0）A2（－a，0）的斜率乘积，等于常数e2－1的点的轨迹，叫做椭圆或双曲线，其中两定点分别为椭圆或双曲线的顶点；当常数大于－1小于0时为椭圆；当常数大于0时为双曲线。结论：（1）椭圆上A、B两点关于原点对称，P为A、B外的任意一点，则直线AP、BP的斜率kAP、kBP满足（2）双曲线上A、B两点关于原点对称，P为A、B外的任意一点，则直线AP、BP的斜率kAP、kBP满足拓展第三定义结论与中点弦结论相同中点弦结论：椭圆的一条弦的斜率与其中点与原点联线的斜率的乘积为 证法二：当两条相互垂直的切线有一条斜率不存在、另一条斜率为0时，可得点P的坐标为，或。当两条相互垂直的切线的斜率均存在且均不为0时，设点P的坐标是，所以可设两个切点分别是A，B得直线AB：，切线PA：，切线PB：。所以：，⇒因为点既在曲线Γ：又在直线AB：上，所以⇒蒙日圆的解析几何证明齐次化处理关于点与原点所成直线的斜率的一元二次方程齐次化处理：在解决斜率的和或积相关问题时较为常用齐次化处理 所以⇒由此，可得PA⊥PB⇔进而可得欲证成立。蒙日圆的解析几何证明韦达定理题目要求两直线垂直，斜率之积为1 预备性质椭圆Γ：的左、右焦点分别是F1、F2，点P为椭圆上一点，则有：（1）椭圆Γ在点P处的切线l平分焦点三角形△PF1F2的外角；（2）过点P且垂直于切线l的直线PM交x轴于点M，PM平分∠F1PF2引理1椭圆的光学性质 引理1从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射（切线PN为镜面，PM为法线）后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上。引理1椭圆的光学性质 引理2过椭圆Γ（其中心是点O，长半轴长为a）的任一焦点F作椭圆Γ的任意切线l的垂线，设垂足是H，则。引理2 证明：如图所示，设点F1、F2分别为椭圆Γ的左、右焦点，P是椭圆Γ的切线l上的切点，又设直线F2H、F1P交于点Q。由引理1，得∠F2PH=∠lPF1=∠QPH（即反射角与入射角的余角相等），进而可得△F2PH≌△QPH，所以点H是F2Q得中点，得OH是△F1F2Q的中位线。又，所以引理2 引理3平行四边形各边的平方和等于其两条对角线的平方和证明：平行四边形ABCD中，，所以引理3ABCD由平行四边形的性质可得 引理4设点P是矩形ABCD所在平面上一点，则证明：由引理3得：，即：=2同理可得：=2在矩形ABCD中，，所以引理4△PAC可以看作某个平行四边形的一半PABCDO 证法三：不妨设a>0，b>0.当a=b时，易证成立。下面只证明a>b的情形。如图所示，设椭圆的中心是O，左、右焦点分别是F1、F2，焦距是2c，过点P的两条切线分别是PM，PN。连接OP，作OG⊥PM，OH⊥PN，垂足分别是G、H，过点F1作F1D⊥PM，垂足为D，由引理2得：再做F1K⊥OG于K。记∠OF1K=θ，得：由Rt△ODG，得：蒙日圆的平面几何证明 又作F2E⊥PN，F2L⊥OH，垂足分别为E，L。在Rt△OEH中，同理可得:（1）若PMPN，得矩形OGPH，所以=（2）若，得由OG⊥PM，得所以同理，有，所以四边形OGPH是平行四边形，进而可得四边形OGPH是矩形，所以PM⊥PN。由（1）、（2）得点P的轨迹方程是蒙日圆的平面几何证明 关于蒙日圆的证明还有很多其他方法，不再赘述。有兴趣的话，可以自己搜索，了解一下蒙日圆的平面几何证明 拓展性质 拓展性质 练习巩固 直击高考 已知椭圆C：的一个焦点为(，0)，离心率为．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若动点P为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．2014年高考广东卷文科、理科第20题做题过程：①识别模型——蒙日圆②套用结论——出结果③完善步骤——写过程所有有结论的圆锥曲线题的做题步骤均是这样。例如极点极线、蝴蝶定理等 已知椭圆C：的一个焦点为(，0)，离心率为．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若动点P为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．2014年高考广东卷文科、理科第20题①识别模型——蒙日圆做题指导两条相互垂直的切线蒙日圆的典型特征②套用结论——出结果a2=9，b2=4⇒x2+y2=13③完善步骤——写过程人生如戏，全靠演技一、设二、联立三、韦达定理（Δ）四、化简→得结果 已知椭圆C：的一个焦点为(，0)，离心率为．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若动点P为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．2014年高考广东卷文科、理科第20题参考答案 精练模拟 给定椭圆C：，称圆心在原点O，半径为的圆为椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为F(，0)，其短轴上的一个端点到F的距离为.（1）求椭圆C的方程和其“准圆”方程；（2）若点P是椭圆C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线l1，l2交“准圆”于点M，N.证明：l1⊥l2，且线段MN的长为定值．题1做题过程：①识别模型——蒙日圆②套用结论——出结果③完善步骤——写过程本题为蒙日圆结论的逆用，即给出相关结论，证明其成立的条件，但万变不离其宗、只需灵活处理 题1 给定椭圆C：，称圆心在原点O，半径为的圆为椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为F(，0)，其短轴上的一个端点到F的距离为.（1）求椭圆C的方程和其“准圆”方程；（2）过点(1，0)做一条倾斜角为30°的直线与椭圆交于A、B两点。若在椭圆上存在一点C满足，试求λ的值；（3）若点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过动点P作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个交点，试判断l1、l2是否垂直，并说明理由．题1变式及拓展2015秋·宜昌月考同题1同题1 已知⊙O：x2+y2=1.若直线y=kx+2上总存在点，使得过点P的⊙O的两条切线互相垂直，则实数k的取值范围是.题2海淀区2015届高三第一学期期末文科数学练习第14题(∞，1]∪[1,+∞)本题为蒙日圆结论的灵活处理，即圆可以看作长轴与短轴相等的椭圆。（仿射变换思想的运用）（数形结合思想的运用） 已知椭圆C：，点P为圆x2+y2=5上的一个动点，过点P的切线与椭圆C相切于A、B两点，与圆交于C、D两点，求证：AB∥CD题3本题为蒙日圆结论的灵活处理与仿射变换的结合，再结合初中部分的平面几何知识进行解题。 仿射变换，又称仿射映射，是指在几何中，一个向量空间进行一次线性变换并接上一个平移，变换为另一个向量空间。（了解即可）椭圆的仿射变换题2＆题3拓展仿射变换（伸缩变换）仿射变换C→⊙O1；C→⊙O2性质：仿射变换前后（1）直线与圆锥曲线的位置关系不变(即相交、相切不变)；（2）对应图形的面积比不变；（3）对应直线的斜率比不变；（4）两平行线段或共线线段的比不变(三点共线的比不变)； 仿射变换，又称仿射映射，是指在几何中，一个向量空间进行一次线性变换并接上一个平移，变换为另一个向量空间。（了解即可）椭圆的仿射变换题2＆题3拓展仿射变换（伸缩变换）仿射变换作用：化椭为圆在解决面积最值问题中常用了解：椭圆的面积公式S=πab可通过仿射变换求出S圆=πr2→S椭圆=πab 已知椭圆，该椭圆上、左、下顶点及右焦点围成的四边形面积为3，离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）如图，若矩形ABCD的四条边都与该椭圆相切，求矩形ABCD面积的最大值。题4矩形的外接圆即为该椭圆的蒙日圆，注意取等的条件，要灵活运用结论。做题过程：①识别模型——蒙日圆②套用结论——出结果③完善步骤——写过程 如图，在平面直角坐标系xOy中已知椭圆C1：，椭圆C2：与的长轴长之比为：1，离心率相同。（1）求椭圆C2的标准方程；（2）设点P为椭圆C2上的一点。①射线PO与椭圆C1依次交于点A、B，求证：为定值；②过点P作两条斜率分别为k1、k2的直线l1、l2，且直线l1、l2与椭圆均有且只有一个公共点，求证：k1·k2为定值题5做题过程：①识别模型——蒙日圆②套用结论——出结果③完善步骤——写过程 如图，在平面直角坐标系xOy中已知椭圆C1：，椭圆C2：与的长轴长之比为：1，离心率相同。（1）求椭圆C2的标准方程；（2）设点P为椭圆C2上的一点。①射线PO与椭圆C1依次交于点A、B，求证：为定值；②过点P作两条斜率分别为k1、k2的直线l1、l2，且直线l1、l2与椭圆均有且只有一个公共点，求证：k1·k2为定值题5 如图，在平面直角坐标系xOy中已知椭圆C1：，椭圆C2：与的长轴长之比为：1，离心率相同。（1）求椭圆C2的标准方程；（2）②过点P作两条斜率分别为k1、k2的直线l1、l2，且直线l1、l2与椭圆均有且只有一个公共点，求证：k1·k2为定值题5类比蒙日圆结论进行猜测、进而进行证明 在圆M：(r>0)上总存在点P，使得过点P能做椭圆的，则r的取值范围为()A.(3,7)B.[3,7]C.(1,9)D.[1,9]题62022·河南鹤壁高中第七次模拟B蒙日圆结论的直接应用以及数形结合思想、特殊值法的联合应用 谢谢！