高中数学蒙日圆及其证明

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蒙日圆及其证明x2y2高考题(2014年高考广东卷文科、理科第20题)已知椭圆C:1(ab0)的a2b25一个焦点为(5,0)，离心率为．3(1)求椭圆C的标准方程；(2)若动点P(x,y)为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P00的轨迹方程．x2y2答案：(1)1；(2)x2y213．94x2y2定理1曲线:1的两条互相垂直的切线的交点P的轨迹是圆a2b2x2y2a2b2.定理1的结论中的圆就是蒙日圆.先给出定理1的两种解析几何证法：定理1的证法1当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可得点P的坐标是(a,b)，或(a,b).当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点P的坐标是(x,y)(xa,且yb)，所以可设曲线的过点P的切线方程是0000yyk(xx)(k0).00x2y21由a2b2，得yyk(xx)00(a2k2b2)x22ka2(kxy)xa2(kxy)2a2b200000

1由其判别式的值为0，得(x2a2)k22xyky2b20(x2a20)00000因为k,k是这个关于k的一元二次方程的两个根，所以PAPBy2b2kk0PAPBx2a20由此，得kk1x2y2a2b2PAPB00进而可得欲证成立.定理1的证法2当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可得点P的坐标是(a,b)，或(a,b).当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点P的坐标是(x,y)(xa,且yb)，所以可设两个切点分别是A(x,y),B(x,y)(xxyy0).000011221212xxyyxxyyxxyy得直线AB:001，切线PA:111,PB:221.所以：a2b2a2b2a2b2b2xb2xb4xxyyyykk1212,kk1212PAPBa2ya2ya4yyOAOBxxxx12121212b4a4kkOAOBkkPAPBx2y2xxyy因为点(x,y)(i1,2)既在曲线:1上又在直线AB:001上，所以iia2b2a2b2x2y2xxyy2ii00a2b2a2b2y2ya4(y2b2)i2a2b2xyib4(x2a2)00x00x0iib4yyb4(x2a2)a4所以kk120OAOBxxa4(y2b2)kk120PAPB

2y2b2kk0PAPBx2a20由此，可得PAPBx2y2a2b200进而可得欲证成立.再给出该定理的两种平面几何证法，但须先给出四个引理.引理1(椭圆的光学性质，见普通高中课程标准实验教科书《数学·选修2-1·A版》(人民教育出版社，2007年第2版，2014年第1次印刷)第76页)从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上(如图1所示).图1证明如图2所示，设P为椭圆(其左、右焦点分别是F,F)上任意给定的点，过点12P作FPF的外角平分线所在的直线l(34).先证明l和相切于点P，只要证明l12上异于P的点P都在椭圆的外部，即证PFPFPFPF：1212图2在直线PF上选取点F，使PFPF，得PPF≌PPF，所以PFPF，还1222得

3PFPFPFPFFFFPPFPFPF1211112再过点P作FPF的平分线PA(12)，易得PAl，入射角等于反射角，这就12证得了引理1成立.引理2过椭圆(其中心是点O，长半轴长是a)的任一焦点F作椭圆的任意切线l的垂线，设垂足是H，则OHa.证明如图3所示，设点F,F分别是椭圆的左、右焦点，A是椭圆的切线l上的切点，又设直线FH,FA交于点B.图3由引理1，得FAHlAFBAH(即反射角与入射角的余角相等)，进而可得FAH≌BAH，所以点H是FB的中点，得OH是BFF的中位线.又AFAB，所以11OH(FAAB)(FAAF)a.22引理3平行四边形各边的平方和等于其两条对角线的平方和.证明由余弦定理可证(这里略去过程).引理4设点P是矩形ABCD所在平面上一点，则PA.2PC2PB2PD2证明如图4所示，设矩形ABCD的中心是点O．

4图4由引理3，可得PA2PC22(OA2OP2)2(OB2OP2)PB2PD2即欲证成立．注把引理4推广到空间，得到的结论就是：底面是矩形的四棱锥相对侧棱长的平方和相等．定理1的证法3可不妨设a0,b0.当ab时，易证成立.下面只证明ab的情形.如图5所示.设椭圆的中心是点O，左、右焦点分别是F,F，焦距是2c，过动点P的12两条切线分别是PM,PN.图5连结OP，作OGPM,OHPN，垂足分别是G,H.过点F作FDPM，垂足为D，11由引理2得ODa.

5再作FKOG于K.记OFK，得DGFKccos.111由RtODG，得OG2OD2DG2a2c2cos2.又作FEPN,FLOH，垂足分别为E,L.在RtOEH中，同理可得22OH2OE2HE2a2c2sin2.(1)若PMPN，得矩形OGPH，所以OP2OG2OH2(a2c2cos2)(a2c2sin2)a2b2222(2)若OPab，得OP2(a2c2cos2)(a2c2sin2)OG2OH2222由OGPM，得OPOGGP，所以GPOH.同理，有OGHP，所以四边形OGPH是平行四边形，进而得四边形OGPH是矩形，所以PMPN.由(1),(2)得点P的轨迹方程是x2y2a2b2.定理1的证法4可不妨设a0,b0.当ab时，易证成立.下面只证明ab的情形.如图6所示.设椭圆的中心是点O，左、右焦点分别是F,F，焦距是2c，过动点P的两12条切线分别是PA,PB，两切点分别为A,B.分别作右焦点F关于切线PA,PB的对称点M,N，由椭圆的光学性质可得三点2F,A,M共线(用反射角与入射角的余角相等).同理，可得三点F,B,N共线.11

6图6由椭圆的定义，得MFAFAF2a,NFBFBF2a，所以112112MFNF.11由O是FF的中点，及平行四边形各边的平方和等于其两条对角线的平方和，可得12PF2PM2PF2PF22(OF2OP2)2(c2OP2)1122(1)若PAPB，得MPFNPF2(APFBPF)180，即三点M,P,N1122共线.又PMPFPN，所以PFMN，进而得214a2MF2PF2PM22(c2OP2)11OP2a2b2222(2)若OPab，得PF2PM22(c2OP2)2(c2a2b2)4a2MF211所以PFPM.1同理，可得PFPN.所以三点M,P,N共线.1

71得APBAPFBPF(MPFNPF)90，即PAPB.22222由(1),(2)得点P的轨迹方程是x2y2a2b2.定理1的证法5(该证法只能证得纯粹性)可不妨设a0,b0.当ab时，易证成立.下面只证明ab的情形.如图7所示，设椭圆的中心是点O，左、右焦点分别是F,F，焦距是2c，过动点P的12两条切线分别是PA,PB，切点分别是A,B.设点F关于直线PA,PB的对称点分别为F,F，直线FF与切线PA交于点G，直线11211FF与切线PB交于点H.12图7得AFAF,BFBF，再由椭圆的定义，得FFFF2a，所以OGOHa.11211222因为四边形PGFH为矩形，所以由引理4得OF2OP2OG2OH22a2，所以11OP2a2b2，得点P的轨迹方程是x2y2a2b2.读者还可用解析几何的方法证得以下结论：x2y2定理2(1)双曲线1(ab0)的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆a2b2x2y2a2b2；(2)抛物线y22px的两条互相垂直的切线的交点是该抛物线的准线.

8x2y2b2定理3(1)椭圆1(ab0)的两条斜率之积是的切线交点的轨迹方a2b2a2x2y2程是2；a2b2x2y2b2(2)双曲线1(a0,b0)的两条斜率之积是的切线交点的轨迹方程是a2b2a2x2y22.a2b2x2y2x2y2定理4过椭圆2(ab0)上任一点P(x,y)作椭圆1的两条a2b200a2b2切线，则(1)当xa时，所作的两条切线互相垂直；0b2(2)当xa时，所作的两条切线斜率之积是.0a2x2y2定理5(1)椭圆1(ab0)的两条斜率之积是(0)的切线交点的轨迹a2b2是：①当1时，即圆x2y2a2b2(但要去掉四个点(a,b),(a,b))；x2y2②当0且1时，即椭圆1(但要去掉四个点b2b2a2a2(a,b),(a,b))；b2bx2y2③当时，即两条直线yx在椭圆1(ab0)外的部分(但a2aa2b2要去掉四个点(a,b),(a,b))；b2y2x2x2y2④当0时，即双曲线1在椭圆1(ab0)a2b2a2b2a2b2a2

9外的部分(但要去掉四个点(a,b),(a,b))；b2x2y2x2y2⑤当时，即双曲线1在椭圆1(ab0)外a2b2a2b2a2b2a2的部分(但要去掉四个点(a,b),(a,b)).x2y2(2)双曲线1(ab0)的两条斜率之积是(0)的切线交点的轨迹是：a2b2①当1时，即圆x2y2a2b2；x2y2②当0时，即双曲线1；b2a2b2a2b2x2y2③当1或1时，即椭圆1；a2b2a2b2a2b2④当0时，不存在.a2(3)抛物线y22px的两条斜率之积是(0)的切线交点的轨迹是：p①当0时，即直线x；2pp②当0时，的方程为xy.2例(北京市海淀区2015届高三第一学期期末文科数学练习第14题)已知O:x2y21.若直线ykx2上总存在点P，使得过点P的O的两条切线互相垂直，则实数k的取值范围是_________.解(,1][1,).在图8中，若小圆(其圆心为点O，半径为r)的过点A的两条切线AB,AD互相垂直(切点分别为E,F)，得正方形AEOF，所以OA2OE2r，即点A的轨迹是以点O为圆心，2r为半径的圆.

10图8由此结论可得：在本题中，点P在圆x2y22上.所以本题的题意即直线ykx2与圆x2y22有公共点，进而可得答案.注本题的一般情形就是蒙日圆.