安徽省合肥市长丰北城衡安学校2024届高三上学期期中数学（原卷版）.docx

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衡安学校2023--2024年度上学期高三年级第三次调研考试数学试卷满分：150时间：120分钟第I卷（选择题）一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合，则下列结论中正确是（）AB.C.D.2.已知a，，，若，则的虛部是（）A.2B.-2C.-2iD.2i3.设平面向量，，且，则=（）A.1B.14C.D.4.已知函数，若实数a，b，c互不相等，且，则的取值范围是（）A.B.C.D.5.已知一元二次不等式解集为，则有（）A.最小值B.最大值C.最小值2D.最大值26.若，则（）A.B.C.D.7.的内角的对边分别是，且，边上的角平分线的长度为，且，则（）A.B.C.3D.或3 8.已知定义在上的函数满足，且，，，．若，恒成立，则a的取值范围为（）A.B.C.D.二、多选题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分）9.下列命题中正确的是（）A.若，则B.若复数满足，则C.若，则复数一定为实数D.若复数满足，则最大值为10.下列说法正确的是（）A.已知向量，则“的夹角为锐角”是“”的充要条件B.已知向量，若，则C.若向量，则在方向上的投影向量坐标为D.在中，向量与满足，则为等边三角形11.已知函数，则（）A.若函数的图像关于直线对称，则的值可能为3B.若关于的方程在上恰有四个实根，则的取值范围为C.若将图像向右平移个单位长度，所得图像关于原点对称，则的最小值是1D.若函数在上单调递增，则 12.已知函数，则（）A.当时，单调递减B.当时，C若有且仅有一个零点，则D.若，则第II卷（非选择题）三、填空题（本大题共4个小题，每题5分，共20分，将答案填在答题纸上）13.为虚数单位，则__________．14.在中，，点在线段上且与端点不重合，若，则的最大值为__________.15.在三角函数部分，我们研究过二倍角公式，我们还可以用类似方式继续得到三倍角公式．根据你的研究结果解决如下问题：在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的取值范围是________．16.已知函数，，若，，则的最大值为__________四、解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知为三角形的一个内角，i为虚数单位，复数，且在复平面上对应的点在虚轴上.（1）求；（2）设，，在复平面上对应的点分别为，，，求的面积.18.某网球中心在平方米土地上，欲建数块连成片的网球场．每块球场的建设面积为平方米．当该中心建设块球场时，每平方的平均建设费用（单位：元）可近似地用函数关系式来刻画，此外该中心还需为该工程一次性向政府缴纳环保费用元（1）请写出当网球中心建设块球场时，该工程每平方米的综合费用的表达式，并指出其定义域（综合费用是建设费用与环保费用之和）；（2）为了使该工程每平方米的综合费用最省，该网球中心应建多少个球场？19.（1）如图①，在中，为边上的高，，，，，求的值； （2）如图②，半径为1，圆心角为的圆弧上有一点，若，分别为线段，的中点，当在圆弧上运动时，求的取值范围.20.已知函数.（1）已知，求最小值；（2）讨论函数单调性.21.某公司规划修建一个含生活和娱乐功能的设施，并在设施前的小路之间修建一处弓形花园（如图所示）．已知为上一点，，设．（1）用表示，并求的最小值；（2）问为何值时，点与主体设施之间的距离最近？22.已知函数，，且曲线和在原点处有相同的切线．（1）求实数a的值：（2）证明：当时，；（3）令，且．证明：．