河北省沧州市泊头市2024届高三上学期12月联考数学试题（解析版）.docx

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沧州市普通高中2024届高三年级教学质量监测数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名，班级和考号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集，集合，集合，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根据补集、交集的定义计算可得.【详解】由，即，解得或，所以，则，又，所以.故选：C2.若复数，其中，则复数在复平面内对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【分析】写出复数的实部与虚部，再判断其正负，再结合复数的几何意义判断即可.【详解】因为，实部为，虚部为，因为，所以，，第24页/共24页学科网（北京）股份有限公司 所以复数在复平面内对应的点为位于第四象限.故选：D3.已知是等比数列的公比，则“”是“数列是递减数列”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】结合等比数列的通项公式，举反例即可判断其充分必要性，从而得解.详解】对于等比数列，当时，取，则，此时是摇摆数列，即充分性不成立；当是递减数列时，取，则，显然满足条件，但不成立，即必要性不成立；综上，“”是“数列是递减数列”的既不充分也不必要条件.故选：D.4.2023年9月8日，杭州第19届亚运会火炬传递启动仪式在西湖涌金公园广场举行．秉持杭州亚运会“绿色、智能、节俭、文明”的办赛理念，本次亚运会火炬传递线路的筹划聚焦简约、规模适度．在杭州某路段传递活动由甲、乙、丙、丁、戊5名火炬手分五棒完成．若第一棒火炬手只能从甲、乙、丙中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙中产生，则不同的传递方案种数为（）A.18B.24C.36D.48【答案】B【解析】【分析】分第一棒为丙、第一棒为甲或乙两种情况讨论，分别计算可得.【详解】当第一棒为丙时，排列方案有种；当第一棒为甲或乙时，排列方案有种；故不同的传递方案有种.故选：B第24页/共24页学科网（北京）股份有限公司 5.已知体积为1的正四棱台上、下底面的边长分别为，若棱台的高为，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由棱台的体积公式及立方差公式计算可得.【详解】由题意，正四棱台的体积，所以.故选：A6.已知定义域为的函数满足，，当时，，则（）A.B.2C.D.3【答案】A【解析】【分析】依题意可得为奇函数，再由，推出是周期为的周期函数，由求出的值，最后根据周期性计算可得.【详解】因为定义域为的函数满足，则为奇函数，又，所以，所以，则是周期为的周期函数，又因为，即，又当时，，所以，解得，所以，所以.故选：A7.已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为（）第24页/共24页学科网（北京）股份有限公司 A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据条件作图可得为等边三角形，根据投影向量的概念求解即可.【详解】因为，所以外接圆圆心为的中点，即为外接圆的直径，如图，又，所以为等边三角形，则，故，所以向量在向量上的投影向量为．故选：B．8.已知双曲线的右焦点为，两条渐近线分别为，过且与平行的直线与双曲线及直线依次交于点，若，则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】不妨设为，求出过且与平行的直线方程，联立求出点坐标，再求出点坐标，根据在双曲线上代入求出.【详解】由题意知，渐近线方程为，不妨设为，则过且与平行的直线方程为，第24页/共24页学科网（北京）股份有限公司 由，解得，则，由、、三点共线且，则，设，则，，所以，即，解得，即，又点在双曲线上，所以，化简得，解得或（舍去）.故选：B【点睛】关键点睛：本题的关键是表示出、点的坐标，从而求出双曲线的离心率.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列不等关系成立的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】BC【解析】【分析】根据不等式的性质及作差法判断即可.【详解】对于A：当时，，故A错误；第24页/共24页学科网（北京）股份有限公司 对于B：因为，则，又，即，所以，故B正确；对于C：因为，则，又，即，所以，所以，故C正确；对于D：如，，满足，，但是，故D错误；故选：BC10.如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，则下列结论正确的是（）A.B.直线到平面的距离为2C.点到直线的距离为D.平面截正方体的截面的面积为【答案】ABD【解析】【分析】依题意建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐一分析判断各选项即可得解.【详解】依题意，建立空间直角坐标系，如图，，第24页/共24页学科网（北京）股份有限公司 对于A，，则，故A正确；对于B，易得平面的法向量为，而，所以，又平面，所以平面，所以点到平面的距离即直线到平面的距离，即，故B正确；对于C，，，所以，则点到直线距离为，故C错误；对于D，记的中点为，连接，则，所以，显然，即，所以四点共面，即平行四边形为平面截正方体的截面，由勾股定理易得，故平行四边形是菱形，又，所以，，所以，故D正确.故选：ABD.11.为了解中学生课外阅读情况，现从某中学随机抽取200名学生，收集了他们一年内的课外阅读量（单位：本）的数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分．第24页/共24页学科网（北京）股份有限公司 性别男73125304女82926328学段初中25364411高中下列推断正确的是（）A.这200名学生阅读量的平均数大于25本B.这200名学生阅读量的中位数一定在区间内C.这200名学生中的初中生阅读量的分位数可能在区间内D.这200名学生中的初中生阅读量的分位数一定在区间内【答案】AB【解析】【分析】根据统计图表数据一一分析即可.【详解】对于A：由表中数据可知，男生的平均阅读量为本，女生的平均阅读量为本，男生人，女生人，这200名学生阅读量的平均数为，故A正确；对于B：由于，阅读量在内有人，在内有人，在内有人，所以这200名学生阅读量的中位数一定在区间内，故B正确；对于C：设在区间内的初中生有人，由于在内有人，故且，，而，即这200名学生中的初中生阅读量的分位数不可能在区间内，故C错误；对于D：当时，初中生共有人，第24页/共24页学科网（北京）股份有限公司 ，故分位数为第个与第个的平均数，因此在区间内，当时，初中生共有人，，故分位数为第个数，因此在区间内，故D错误；故选：AB12.已知圆与圆的公共弦长为，直线与圆相切于点为上一点，且满足，则下列选项正确的是（）A.B.点的轨迹方程是C.直线截圆所得弦的最大值为D.设圆与圆交于两点，则的最大值为【答案】BC【解析】【分析】两圆方程作差求出公共弦方程，再由公共弦长求出，即可判断B，设，即可得到，从而求出点的轨迹方程，即可判断B，不妨取，设的坐标为，则直线的方程为，求出到直线的距离最小值，即可求出弦长最大值，即可判断C，设中点为，则，求出的最大值，即可判断D.【详解】圆的圆心与坐标原点重合，对于A：依题意，两圆方程相减得到，由弦长为，所以，解得，故A错误；对于B：设，由，所以，故B正确；第24页/共24页学科网（北京）股份有限公司 对于C：不妨取，则圆即，设的坐标为，则直线的方程为，则到直线的距离，因为，所以当时，此时直线截圆所得弦的最大值为，故C正确；对于D：取中点为，则，圆的圆心为，则，所以，故D错误；第24页/共24页学科网（北京）股份有限公司 故选：BC其中圆上点处的切线方程为．理由如下：①若切线的斜率存在，设切线的斜率为，则，所以，又过点，由点斜式可得，，化简可得，，又，所以切线的方程为；②若切线的斜率不存在，则，此时切线方程为．综上所述，圆上点处的切线方程为．第24页/共24页学科网（北京）股份有限公司 【点睛】关键点睛：本题关键是求出动点的轨迹方程，对于D中将转化为，从而只需求的最大值.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知，则____________．【答案】##【解析】【分析】首先求出，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得.【详解】因为，所以，所以.故答案为：14.的展开式中，的系数为____________．【答案】1680【解析】【分析】根据二项式定理展开式通项公式，直接计算即可得到结果.【详解】依题意，，由通项公式，又的展开式的通项公式，所以的展开式通项公式为，则令时，，第24页/共24页学科网（北京）股份有限公司 所以含的项，即的系数为1680，故答案为：1680.15.已知是椭圆上一点，且在轴上方，分别是椭圆的左、右焦点，直线的斜率为，则的面积为____________．【答案】【解析】【分析】确定椭圆方程，，得到，再根据余弦定理得到，，计算面积得到答案.【详解】椭圆，直线的斜率为，则，设，，，则，，即，解得，，故.故答案为：.16.已知是定义域为的可导函数，是的导函数，若，（为自然对数的底数），则在上的最大值为____________．【答案】【解析】【分析】依题意可得，则（为常数），再由求出，即可得到解析式，最后利用导数求出函数的最大值.第24页/共24页学科网（北京）股份有限公司 【详解】因为，，则，所以，所以（常数），又，所以，解得，所以，，则，所以当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以.故答案为：【点睛】关键点睛：本题的关键是由导数的运算法则得到，从而得到（为常数），到达求出解析式的目的.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知数列是公比为2的等比数列，数列是等差数列，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．【答案】（1），.（2）【解析】分析】（1）根据等差、等比数列公式法求出通项；（2）利用等比数列前项和公式以及裂项相消法求出结果.【小问1详解】设数列的公差为，第24页/共24页学科网（北京）股份有限公司 则解得所以，.【小问2详解】，则.18.在锐角中，角所对的边分别为，，．（1）求角；（2）若，且，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依题意可得，利用正弦定理将边化角，从而得解；（2）在中由余弦定理求出，即可得到为等边三角形，再在中利用正弦定理计算可得.【小问1详解】因为，，所以，由正弦定理可得，又，所以，则，因为，所以.【小问2详解】第24页/共24页学科网（北京）股份有限公司 在中，由余弦定理，即，解得或，当时，又，则，所以，则，所以，此时，与为锐角三角形矛盾，所以，又则，所以为等边三角形，则，，在中，由正弦定理，即，所以.19.如图，在直三棱柱中，，是的中点．（1）证明：；第24页/共24页学科网（北京）股份有限公司 （2）求平面与平面夹角的余弦值．【答案】（1）证明见详解.（2）【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法证明线线垂直，求二面角夹角的余弦值.【小问1详解】易知，，，所以：可以为原点，建立如图空间直角坐标系.则，，，，，.，.，∴，∴.【小问2详解】设平面的法向量为，则，取，那么.设平面的法向量为，则第24页/共24页学科网（北京）股份有限公司 ，取，那么.则：，，，所以.即为所求二面角的余弦值.20.比亚迪,这个在中国乘用车市场嶡露头角的中国品牌,如今已经在全球汽车品牌销量前十中占据一席之地．这一成就不仅是比亚迪的里程硨，更是中国新能源汽车行业的里程碑，标志着中国已经在全球范围内成为了新能源汽车领域的强国．比亚迪旗下的宋plus自2020年9月上市以来，在SUV车型中的月销量遥遥领先，现统计了自上市以来截止到2023年8月的宋plus的月销量数据．（1）通过调查研究发现，其他新能源汽车的崛起、购置税减免政策的颁布等，影响了汽车的月销量，现将残差过大的数据剔除掉，得到2022年8月至2023年8月部分月份月销量（单位：万辆）和月份编号的成对样本数据统计．月份2022.82022.92022.122023.12023.22023.32023.42023.62023.7202.8月份编号12345678910月销量（单位：万辆）4.254.594.993.53.783.012.462.723.023.28请用样本相关系数说明与之间的关系可否用一元线性回归模型拟合？若能，求出关于的经验回归方程；若不能，请说明理由．（运算过程及结果均精确到0.01）（若，则线性相关程度很高，可用一元线性回归模型拟合）（2）为庆祝2023年“双节”（中秋节和国庆节），某地店特推出抽奖优惠活动，奖项共设一、二、三等奖三个奖项，其中一等奖、二等奖、三等奖分别奖励1万元、5千元、2第24页/共24页学科网（北京）股份有限公司 千元，抽中一等奖、二等奖、三等奖的概率分别为．现有甲、乙两人参加了抽奖活动（每人只有一次抽奖机会），假设他们是否中奖相互独立，求两人所获奖金总额超过1万元的概率．参考公式：样本相关系数，．参考数据：，．【答案】（1）能，（2）【解析】【分析】（1）利用公式计算出相关系数，从而得解；（2）分析所求概率甲、乙两人的获奖情况，从而得解.【小问1详解】依题意，，因为，所以，因为，，所以，则，故y与t的线性相关程度很高，可以用线性回归模型拟合，第24页/共24页学科网（北京）股份有限公司 此时，则，所以关于的经验回归方程为.【小问2详解】依题意，甲、乙两人所获奖金总额超过1万元必须两人中至少有一人获得一等奖，所以甲、乙两人所获奖金总额超过1万元的概率为.21.已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，其中两点的横坐标之积为．（1）求的值；（2）若在轴上存在一点，满足，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设，，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，由求出；（2）依题意可得，利用余弦定理得到，再分别求出、，即可得到，代入韦达定理计算可得.【小问1详解】设，，由，化简得，依题意，所以，，因为，所以，解得.第24页/共24页学科网（北京）股份有限公司 【小问2详解】由（1）可知，由，所以，由余弦定理可得，又，，其中，，，，，所以，同理可得，所以，即，所以，所以，因为，所以，又，，所以，解得.第24页/共24页学科网（北京）股份有限公司 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为、；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式；（5）代入韦达定理求解.22.已知函数（e为自然对数的底数）．（1）当时，求函数的极值；（2）证明：，当时，．【答案】（1），（2）证明见解析第24页/共24页学科网（北京）股份有限公司 【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间与极值.（2）分析可得即证，又，令，，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最小值，即可得证.【小问1详解】当时定义域为，则，所以当或时当时，所以的单调递增区间为，，单调递增区间为，所以处取得极大值，在处取得极小值，即，.【小问2详解】依题意要证，即证，因为，只需证明，又，所以，令，，则，令，则，所以当时，单调递减，当时，单调递增，又，，，所以，使得，第24页/共24页学科网（北京）股份有限公司 所以当时，即，则在上单调递增，当时，即，则在上单调递减，当时，即，则在上单调递增，又，，所以，即，所以，则不等式得证.【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.第24页/共24页学科网（北京）股份有限公司