河南省周口市项城市第三高级中学2023-2024学年高三上学期第三次段考数学Word版含解析.docx

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项城三高2023-2024学年度高三上期第三次考试数学试卷（满分150分，考试时间120分钟）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，所有答案都写在答题卷上.第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合，，则（）A.B.C.D.2.已知，则（）A.B.C.0D.13.命题“”的否定是（）A.B.C.D.4.不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.5.已知，，若，则的最小值为（）A.2B.4C.D.96.设，若，则（）A.B.C.D.7.如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（） A.B.C.D.8.在中，内角的对边分别是，若，且，则（）A.B.C.D.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.在等差数列中，，，，则下列结论中正确是（）A.B.C.D.10.有下列几个命题，其中正确是（）A.函数y＝2x2＋x＋1在(0，＋∞)上是增函数B.函数y＝在(－∞，－1)∪(－1，＋∞)上是减函数C.函数y＝的单调区间是[－2，＋∞)D.已知函数g(x)＝是奇函数，则f(x)＝2x＋311.某食品的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：℃）满足函数关系（，、为常数）．若该食品在的保鲜时间是小时，在的保鲜时间是小时，则关于该食品保鲜的描述正确的结论是（）A.B.储存温度越高保鲜时间越长C.在℃的保鲜时间是小时D.在℃的保鲜时间是小时 12.已知函数的部分图象如图所示，现将的图象向左平移个单位，得到的图象，下列说法错误的是（）A.该图象对应函数解析式为B.函数图象关于直线对称C.函数的图象关于点对称D.函数在上单调递增第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若，则________．14.已知函数的图像在点的处的切线过点，则________.15.若函数有且仅有两个零点，则实数的一个取值为______.16.设当时，函数取得最大值，则______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数f(x)＝（1）求f(x)的最小正周期；（2）求f(x)在区间上的最大值和最小值．18.求下列函数导数． （1）（2）（3）（4）19.已知函数（且），．（1）若，求的取值范围；（2）求不等式的解集．20.记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=－a5．（1）若a3=4，求{an}的通项公式；（2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围．21.已知在中，．（1）求；（2）设，求边上的高．22.已知函数．（1）当时，求的最大值；（2）若恰有一个零点，求a的取值范围． 项城三高2023-2024学年度上期第三次考试高三数学试卷（满分150分，考试时间120分钟）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，所有答案都写在答题卷上.第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先根据题意求，再结合并集的概念求答案.【详解】因为全集，集合，所以，又因为集合，所以，故选：D.2.已知，则（）A.B.C.0D.1【答案】A【解析】【分析】根据复数的除法运算求出，再由共轭复数的概念得到，从而解出．【详解】因，所以，即．故选：A．3.命题“”的否定是（） A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】直接根据全称命题的否定是特称命题得到答案.【详解】命题“”的否定是：.故选：C4.不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】分和两种情况讨论即可.【详解】当时，恒成立，当时，则，解得，综上所述，.故选：C.5.已知，，若，则的最小值为（）A.2B.4C.D.9【答案】D【解析】【分析】由基本不等式结合乘“1”法可得答案.【详解】由可得，，当且仅当等号成立，故选：D. 6.设，若，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】分、两种情况解方程，求出的值，然后代值计算可得出的值.【详解】因为，且.当时，则，由可得，解得，合乎题意.当时，由可得，无解.所以，，则.故选：C.7.如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.【详解】设，则，故排除B; 设，当时，，所以，故排除C;设，则，故排除D.故选：A.8.在中，内角的对边分别是，若，且，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】首先利用正弦定理边化角，然后结合诱导公式和两角和的正弦公式求得的值，最后利用三角形内角和定理可得的值.【详解】由题意结合正弦定理可得，即，整理可得，由于，故，据此可得，则.故选：C.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.在等差数列中，，，，则下列结论中正确的是（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】由，得出通项公式，进而由得出.【详解】设等差数列的公差为d，则，，则， ，故，解得.故选：BC.10.有下列几个命题，其中正确的是（）A.函数y＝2x2＋x＋1在(0，＋∞)上是增函数B.函数y＝在(－∞，－1)∪(－1，＋∞)上是减函数C.函数y＝的单调区间是[－2，＋∞)D.已知函数g(x)＝是奇函数，则f(x)＝2x＋3【答案】AD【解析】【分析】根据简单函数单调性，复合函数的单调性，以及由函数奇偶性求函数解析式，即可容易判断和选择.【详解】由y＝2x2＋x＋1＝2在上递增知，函数y＝2x2＋x＋1在(0，＋∞)上是增函数，故A正确；y＝在(－∞，－1)，(－1，＋∞)上均是减函数，但在(－∞，－1)∪(－1，＋∞)上不是减函数，如－2<0，但故B错误；y＝在上无意义，从而在[－2，＋∞)上不是单调函数，故C错误；设x<0，则－x>0，g(－x)＝－2x－3，因为g(x)为奇函数，所以f(x)＝g(x)＝－g(－x)＝2x＋3，故D正确．故选：.【点睛】本题考查函数单调区间的求解，复合函数的单调性判断以及利用函数奇偶性求函数解析式，属中档题.11.某食品的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：℃）满足函数关系（，、为常数）．若该食品在的保鲜时间是小时，在的保鲜时间是小时，则关于该食品保鲜的描述正确的结论是（）A. B.储存温度越高保鲜时间越长C.在℃的保鲜时间是小时D.在℃的保鲜时间是小时【答案】AC【解析】【分析】根据指数的运算律以及指数复合型函数的单调性即可求解.【详解】因为在的保鲜时间是小时，在的保鲜时间是小时，所以易知是减函数，结合复合函数的单调性可知，A正确，则储存温度越高保鲜时间越短，B错误；由题可知，，则，故，故，C正确，，D错误，故选：AC.12.已知函数的部分图象如图所示，现将的图象向左平移个单位，得到的图象，下列说法错误的是（）A.该图象对应的函数解析式为B.函数的图象关于直线对称 C.函数的图象关于点对称D.函数在上单调递增【答案】BD【解析】【分析】根据图象可知，，，进而求出，再利用三角函数的平移变换求出，结合三角函数的性质逐一判断即可.【详解】由图象可知，，即，所以，又，可得，即，又因为，所以，所以，故A正确；将的图象向左平移个单位，可得，当时，，，故B错误；当时，，，故C正确；当时，则，函数单调递减，故D错误.故选：BD第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若，则________． 【答案】【解析】【分析】根据同角三角关系求，进而可得结果.【详解】因为，则，又因为，则，且，解得或（舍去），所以故答案为：.14.已知函数的图像在点的处的切线过点，则________.【答案】1【解析】【详解】试题分析：.考点：1、导数的几何意义；2、直线方程.【方法点晴】本题考查导数的几何意义、直线方程，涉及分特殊与一般思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型.首先求导可得.15.若函数有且仅有两个零点，则实数的一个取值为______. 【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】由零点的概念求解【详解】令，当时，由得，即为函数的一个零点，故当时，有一解，得故答案为：（答案不唯一）16.设当时，函数取得最大值，则______.【答案】；【解析】【详解】f(x)＝sinx－2cosx＝＝sin(x－φ)，其中sinφ＝，cosφ＝，当x－φ＝2kπ＋(k∈Z)时，函数f(x)取得最大值，即θ＝2kπ＋＋φ时，函数f(x)取到最大值，所以cosθ＝－sinφ＝－.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数f(x)＝（1）求f(x)的最小正周期；（2）求f(x)在区间上的最大值和最小值．【答案】（1）π（2）最大值1，最小值－【解析】【分析】（1）根据正弦函数的性质即可求解；（2）将看作整体，根据正弦函数的图像即可求解.【小问1详解】f(x)＝sin，所以f(x)的最小正周期为T＝＝π；【小问2详解】 因为x∈，所以2x＋∈，根据正弦函数的图像可知：当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值1，当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最小值－；综上，最小正周期为，最大值为1，最小值为.18.求下列函数的导数．（1）（2）（3）（4）【答案】（1）（2）（3）（4）【解析】【分析】（1）（2）（3）（4）根据基本初等函数的求导公式，结合求导法则即可逐一求解.【小问1详解】由可得【小问2详解】由可得【小问3详解】由得【小问4详解】 由得19.已知函数（且），．（1）若，求的取值范围；（2）求不等式的解集．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）根据求出的值，由得出的范围，由对数函数的性质可得结果；（2）由对数的性质可得，进而可得的范围.【详解】（1）函数（且），，，函数．若，，故的取值范围为．（2）不等式，即，，解得，故不等式的解集为．20.记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=－a5．（1）若a3=4，求{an}的通项公式；（2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）首项设出等差数列的首项和公差，根据题的条件，建立关于和的方程组，求得和的值，利用等差数列的通项公式求得结果；（2）根据题意有，根据，可知，根据，得到关于的不等式，从而求得结果.【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为， 根据题意有，解答，所以，所以等差数列的通项公式为；（2）由条件，得，即，因为，所以，并且有，所以有，由得，整理得，因为，所以有，即，解得，所以的取值范围是：【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式，等差数列的求和公式，在解题的过程中，需要认真分析题意，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.21.已知在中，．（1）求；（2）设，求边上的高．【答案】（1）（2）6【解析】【分析】（1）根据角的关系及两角和差正弦公式，化简即可得解；（2）利用同角之间的三角函数基本关系及两角和的正弦公式求,再由正弦定理求出，根据等面积法求解即可.【小问1详解】，，即，又， ，，，即，所以，.【小问2详解】由（1）知，，由，由正弦定理，，可得，，.22.已知函数．（1）当时，求的最大值；（2）若恰有一个零点，求a的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由导数确定函数的单调性，即可得解；（2）求导得，按照、及结合导数讨论函数单调性，求得函数的极值，即可得解.【小问1详解】 当时，，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以；小问2详解】，则，当时，，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以，此时函数无零点，不合题意；当时，，在上，，单调递增；在上，，单调递减；又，由（1）得，即，所以，当时，，则存在，使得，所以仅在有唯一零点，符合题意；当时，，所以单调递增，又，所以有唯一零点，符合题意；当时，，在上，，单调递增；在上，，单调递减；此时， 由（1）得当时，，，所以，此时存在，使得，所以在有一个零点，在无零点，所以有唯一零点，符合题意；综上，a的取值范围为.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数研究函数的极值与单调性，把函数零点问题转化为函数的单调性与极值的问题.