安徽省皖东十校联盟2024届高三上学期第三次月考数学（原卷版）.docx

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皖东十校联盟2023-2024学年高三上学期第三次月考数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在复平面内，复数对应的向量分别是，则复数对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知集合.若，则（）A.B.C.D.3.已知等比数列的首项，前项和为，且成等差数列，则（）A.B.C.D.4.“碳达峰”是指二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后开始下降，而“碳中和”是指企业、团体或个人通过植树造林、节能减排等形式，抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”．某地区二氧化碳的排放量达到峰值a（亿吨）后开始下降，其二氧化碳的排放量S（亿吨）与时间t（年）满足函数关系式，若经过4年，该地区二氧化碳的排放量为（亿吨）．已知该地区通过植树造林、节能减排等形式抵消自身产生的二氧化碳排放量为（亿吨），则该地区要实现“碳中和”，至少需要经过（）（参考数据：）A.13年B.14年C.15年D.16年5.已知非零向量与满足在上的投影向量为，则与的夹角为（）A.B.C.D.6.已知，，，则（）A.B. C.D.7.已知函数，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.8.已知一个圆锥的轴截面为锐角三角形，它的内切球体积为，外接球体积为，则的最大值为（）A.B.C.D.二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.大连市教育局为了解二十四中学、第八中学、育明中学三所学校学生文学经典名著的年阅读量，采用样本比例分配的分层随机抽样抽取了一个容量为120的样本.其中，从二十四中学抽取容量为35的样本，平均数为4，方差为9；从第八中学抽取容量为40的样本，平均数为7，方差为15；从育明中学抽取容量为45的样本，平均数为8，方差为21，据此估计，三所学校的学生文学经典名著的年阅读量的（）A.均值为6.3B.均值为6.5C.方差为17.52D.方差为18.2510.已知正方体的棱长为是线段上的一个动点，则（）A平面平面B.三棱锥体积为定值C.异面直线和所成角的取值范围为D.直线与平面所成的角的取值范围为11.已知点在曲线上，是坐标原点，则下列结论中正确的是（） A.坐标轴是曲线的对称轴B.曲线围成的图形面积小于C.的最小值为1D.的最大值为12.已知为函数的零点，且，则下列结论中正确的是（）A.B.C.若，则D.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知函数是定义在R上的奇函数，则曲线在处的切线方程为______．14.的展开式中，按的升幂排列的第3项的系数为______．15.已知函数．若是的零点，是的图象的对称轴，当时，有且只有两个极值点，则______．16.已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，是两条曲线的公共点，，则椭圆的离心率为______．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.如图，在正三棱柱中，点在棱上，且.（1）求证：平面；（2）若正三棱柱的底面边长为，二面角的大小为，求直线到平面的距离. 18.在锐角中，内角所对边分别为，且.（1）证明：；（2）若，求的周长的取值范围.19.甲、乙两人参加一场比赛，比赛采用五局三胜制（比赛最多进行五局，每局比赛都分出胜负，先胜三局者获胜，比赛结束）．由于心理因素，甲每局比赛获胜的概率会受到前一局比赛结果的影响：如果前一局比赛甲获胜，则下一局比赛甲获胜的概率为；如果前一局比赛乙获胜，则下一局比赛甲获胜的概率为．已知第一局比赛甲获胜的概率为，事件表示“第局比赛甲获胜”.（1）求第二局比赛甲获胜的概率；（2）证明：当时，，并类比上述公式写出的公式（不需要证明）；（3）求比赛结束时甲获胜两局的概率.20.已知数列满足.（1）求的通项公式；（2）记数列的前项和为，是否存在，使得?若存在，给出符合条件的一组的值；若不存在，请说明理由.21.在直角坐标平面内，已知，，动点满足条件：直线与直线的斜率之积等于，记动点的轨迹为．（1）求的方程；（2）过点作直线交于，两点，直线与交点是否在一条定直线上？若是，求出这条直线方程；若不是，说明理由．22.设，函数．（1）判断的零点个数，并证明你的结论；（2）若，记的一个零点为，若，求证：．