浙江省杭州高级中学2021-2022学年高二上学期期末数学 Word版含解析.docx

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杭高2021学年高二第一学期期末考试数学试题1．本试卷分试题卷和答题卷两部分．本卷满分150分，考试时间120分钟．2．答题前务必将自己的学校、班级、姓名用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的地方．3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范答题，在本试题卷上答题一律无效．4．考试结束后，只需上交答题纸．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.曲线与曲线的（）A.长轴长相等B.焦距相等C.离心率相等D.短轴长相等【答案】B【解析】【分析】根据，得到，再利用a，b，c的关系求解.【详解】解：因为，所以，则，，所以两曲线长轴长不相等，焦距相等，离心率不相等，短轴长不相等，故选：B2.预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是，其中为预测期人口数，为初期人口数，k为预测期内人口年增长率，n为预测期间隔年数，如果在某一时期，那么在这期间人口数（）A.呈上升趋势B.呈下降趋势C.摆动变化D.不变【答案】B【解析】 【分析】根据题意，可知为预测期内年增长率，当，可知年增长率为负，由此即可求出结果.【详解】由题意，为预测期内年增长率，如果在某一时期有，即年增长率为负，故这期间人口数呈下降趋势.故选:B.3.已知为平面的一个法向量，为一条直线，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】将“”与“”相互推导，根据能否推导的情况判断充分、必要条件.【详解】当“”时，由于可能在平面内，所以无法推出“”.当“”时，“”.综上所述，“”是“”的必要不充分条件.故选：B【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查线面平行和法向量，属于基础题.4.已知数列中，，，则等于（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据给定的递推公式，求出数列的周期，再借助周期性计算即得.【详解】数列中，当时，，则，，因此当时，，即数列是以 为周期的周期数列，所以.故选：C5.设为抛物线的焦点，过且倾斜角为的直线交于，两点，则A.B.C.D.【答案】C【解析】【详解】试题分析：由题意，得．又因为，故直线AB的方程为，与抛物线联立，得，设，由抛物线定义得，，选C．考点：1、抛物线的标准方程；2、抛物线的定义．6.甲乙两同学进行罚球比赛，罚中得分，罚丢不得分．已知甲乙两同学的罚球命中率分别为和，且两人的投篮结果相互独立．现甲乙两人各罚球一次，则两人得分相同的概率为（）AB.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据题意分别计算两人得分均为0分和1分两种情况的概率，再求和即可.【详解】两人得分相同的情况有两种，两人得分均为0分和1分，当两人得分均为0分时，概率为两人得分均为1分时，概率为，所以甲､乙两同学各罚球一次，则两人得分相同概率为，即甲､乙两同学各罚球一次，则两人得分相同的概率为62%. 故选：B7.已知是等比数列，，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由已知条件求等比数列的公比，数列也为等比数列，利用公式求前项和.【详解】，，设等比数列公比为，由，得，所以，，设，，，数列是首项为，公比为的等比数列，所以．故选：C8.已知双曲线的左、右顶点分别是A，B，右焦点为F，点P在过F且垂直于x轴的直线l上，当取得最大值时，曲线的渐近线方程为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】设，当取得最大值时，取得最大值，结合两角差的正切公式，以及基本不等式，求得时取得最大值，将点代入双曲线的方程，求得，进而求得双曲线的渐近线方程. 【详解】解：由题意，不妨设，当取得最大值时，取得最大值，又由，且，所以，当且仅当时，即时，等号成立，所以点的坐标为，将点代入双曲线的方程，可得，即，可得，所以，所以双曲线的渐近线方程为.故选：C.二、选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险：戊，重大疾病保险，各种保险按相关约定进行参保与理赔，该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图：用样本估计总体，以下四个选项正确的是（）A.30~41周岁参保人数最多B.随着年龄的增长人均参保费用越来越少C.30周岁以上的参保人数约占总参保人数20%D.丁险种最受参保人青睐【答案】AD 【解析】【分析】根据选项逐一对相应的统计图进行分析判断即可.【详解】对A：由扇形图可知，31～41周岁的参保人数最多，故选项A正确；对B：由折线图可知，随着年龄的增长人均参保费用越来越多，故选项B错误；对C：由扇形图可知，30周岁以上的参保人数约占总参保人数的80%，故选项C错误；对D：由柱状图可知，丁险种参保比例最高，故选项D正确.故选：AD.10.已知数列的前n项和为，下列说法正确的是（）A.若点在函数（k，b为常数）的图象上，则为等差数列B.若为等差数列，则为等比数列C.若为等差数列，，，，则当时，最大D.若，则为等比数列【答案】ABC【解析】【分析】直接利用数列的递推关系式，等差数列和等比数列的定义判断A，B，C，D的结论．【详解】对于A：点在函数，为常数）的图象上，故，故（常数），则为等差数列，故A正确；对于B：由于数列为等差数列，所以（常数），故（常数），所以数列为等比数列，故B正确；对于C：若为等差数列，，所以，则，又，所以，故，所以公差，所以等差数列递减，则当时，，当时，，则当时，最大，故C正确；对于D：由于，当时，整理得，当时，，故， 经检验，不满足上式，故，故选项D错误．故选：ABC．11.已知圆，直线，（）．则下列四个命题正确的是（）A.直线恒过定点B.当时，圆上有且仅有三个点到直线的距离都等于1C圆与曲线恰有三条公切线，则D.当时，直线上一个动点向圆引两条切线，，其中，为切点，则直线经过点【答案】ACD【解析】【分析】对A将直线化成，则，解出即为定点；对B直接计算圆心到直线的距离与1的大小关系，即可判断B；对C，直接将代入，通过几何法判断两圆位置关系即可，对D，设点，利用两点直径式方程写出以为直径的圆的方程，两圆方程作差，得到公共弦所在直线方程，化成关于参数的方程，即可求出定点坐标.【详解】直线可化为：，由可得，故直线恒过定点，故A正确.当时，直线，圆心到该直线的距离为，因为，故圆上有且仅有四个点到直线的距离都等于1，故B错.因为圆与曲线恰有三条公切线，故两圆外切，故，故，故C正确.当时，直线，设， 则以为直径的圆的方程为，而圆，故的直线方程为，整理得到，由可得，故直线经过点，故D正确.故选：ACD.12.如图，在长方体中，，点P满足，，，，则下列结论正确的有（）A.当时，B.当时，平面C.当，时，三棱锥的体积为定值D.当，时，与平面所成角的正切值为【答案】BCD【解析】【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，当时，得，知A错误；当时，知四点共面，由面面平行的性质可得平面，知B正确；当，时，利用点到面的距离的向量求法可求得点到平面的距离，利用体积桥可得，知C正确；当，时，利用线面角的向量求法可求得，进而得到，知D正确.【详解】以为坐标原点，为轴可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，，，，则，，；对于A，设，则，又，，不恒成立，A错误；对于B，当时，四点共面，即平面；，平面，平面，平面，同理可得：平面，又，平面，平面平面，平面，B正确；对于C，设，则，设，则，，，，，；平面，平面的一个法向量为，点到平面的距离，又，，即三棱锥的体积为定值，C正确；对于D，当，时，，设，则，，，，，，平面，平面的一个法向量， 设与平面所成角为，则，，即与平面所成角的正切值为，D正确.故选：BCD.三、填空题：本大题共4小题，每空5分，共20分．13.一组数据的平均数是3，方差为4，则数据的平均数为________，方差为________．【答案】①.8②.36【解析】【分析】利用平均数、方差的性质和计算公式直接求解．【详解】一组数据的平均数是3，方差为4，则数据的平均数为，方差为．故答案为：8；36．14.已知，，是椭圆（）左，右焦点，P为椭圆上一点，为等腰三角形，，则C的离心率为________．【答案】【解析】【分析】由题设，结合余弦定理得到椭圆参数的齐次方程，进而求离心率.【详解】由为等腰三角形，，则， 又，可得，所以，可得.故答案为：15.已知数列的首项，前n项和为，若，则________．【答案】【解析】【分析】将替换为得到新等式，然后两式作差得到时为等比数列，注意检验是否满足，由此可求的通项公式.【详解】因为，所以,两式相减可得，所以，又因为，所以，当时，，当时，不符合的情况，所以，故答案为：.16.在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：“今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢”问：良马与驽马_______日相逢？(用数字作答)【答案】9【解析】 【分析】由已知条件转化为两个等差数列的前和为2250的问题，进而计算可得结果．【详解】由题可知，良马每日行程an构成一个首项为103，公差13的等差数列，驽马每日行程bn构成一个首项为97，公差为﹣0.5的等差数列，则an＝103+13（n﹣1）＝13n+90，bn＝97﹣0.5（n﹣1）＝97.5﹣0.5n，则数列{an}与数列{bn}的前n项和为1125×2＝2250，又∵数列{an}的前n项和为（103+13n+90）（193+13n），数列{bn}的前n项和为（97+97.5﹣0.5n）（194.5n），∴（193+13n）（194.5n）＝2250，整理得：25n2+775n﹣9000＝0，即n2+31n﹣360＝0，解得：n＝9或n＝﹣40（舍），即九日相逢．故答案为：9四、解答题：本题共6小题，共70，分，解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.《中华人民共和国民法典》于2021年1月1日正式施行．某社区为了解居民对民法典的认识程度，随机抽取了一定数量的居民进行问卷测试（满分：100分），并根据测试成绩绘制了如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中m的值；（2）估计该组测试成绩的第57百分位数；（3）该社区在参加问卷且测试成绩位于区间和的居民中，采用分层随机抽样，确定了5人．若从这5人中随机抽取2人作为该社区民法典宣讲员，设事件“两人的测试成绩分别位于和”，求．【答案】（1）（2）第57百分位数为79 （3）．【解析】【分析】（1）由频率分布直方图中所有频率和为1可求得；（2）第57百分位数，即频率0.57对应的值，先估算其在哪一组中，然后再根据比例求解；（3）确定位于区间和的人数，把人进行编号，用列举法写出任取2人的所有基本事件，并得出事件含有的基本事件，计数后可得概率．【小问1详解】由已知，解得；【小问2详解】测试分数位于区间的频率为，测试分数位于区间的频率为，第57百分位数位于区间，设第57百分位数为，有，解得；【小问3详解】记“两人的测试成绩分别位于和“为事件，由题知，测试分数位于区间、的人数之比为，所以采用分层随机抽样确定的5人，在区间中3人，用，，表示，在区间中2人，用，表示，从这5人中抽取2人的所有可能情况有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共10种．其中两人的测试成绩分别位于和有6种．所以．18.如图，在三棱柱中，四边形为矩形，，，点E为棱的中点，. （1）求证：平面平面；（2）求平面AEB与平面夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据矩形及勾股定理的逆定理可得线面垂直的条件，再由平面，即可证明面面垂直；（2）建立空间直角坐标后，求出相关法向量，再用夹角公式即可.【小问1详解】证明：由三棱柱的性质及可知四边形为菱形又∵∴为等边三角形∴，又∵，∴，∴又∵四边形为矩形∴又∵∴平面又∵平面∴平面平面.【小问2详解】 以B为原点BE为x轴，为y轴，BA为E轴建立空间直角坐标系，如图所示，，，，，，设平面的法向量为.则即∴，又∵平面ABE的法向量为，∴，∴平面ABE与平面夹角的余弦值为.19.已知数列满足：（1）求、、；（2）将数列中下标为奇数的项依次取出，构成新数列，①证明：是等差数列；②设数列的前m项和为，求证：．【答案】（1）；；（2）①证明见解析；②证明见解析 【解析】【分析】（1）根据求解；（2）①利用等差数列的定义证明；②利用裂项相消法求解.【小问1详解】由题意知：，，；【小问2详解】①当n为奇数时，n+1为偶数，，，，当时，，是以为首项，2为公差的等差数列．②由①知，，，.20.已知点，，动点满足直线与的斜率之积为．记P 的轨迹为曲线C．（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；（2）若P点坐标为，过原点的直线分别交曲线C于A、B两点，求面积的最大值．【答案】（1）且，曲线是焦点在x轴上并去除左右顶点的椭圆.（2）.【解析】【分析】（1）由题设，整理可得轨迹方程，注意范围，进而确定曲线图形；（2）设直线，联立椭圆，应用韦达定理、弦长公式及点线距离公式、三角形面积公式，可得，讨论参数t研究面积的范围，即可得结果.【小问1详解】由题设，且，所以，C的方程为且，曲线是焦点在x轴上并去除左右顶点的椭圆.【小问2详解】由题设，可设直线，联立消去x得，，所以，，故，而到直线的距离，所以，若，则，若，则， 当，则，当且仅当时等号成立，所以，故；当，则，当且仅当时等号成立，所以，故，注意要构成三角形，其面积不能取0；综上，，故时，面积的最大值为.21.设F为双曲线（，）的右焦点，O为坐标原点，以为直径的圆与圆交于P，Q两点，满足．（1）求C的离心率；（2）若，点A在双曲线C上，点B在直线上，满足，试判断直线与圆O的位置关系，并说明理由．【答案】（1）； （2）直线与圆O相切，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据题设易知与相互垂直平分，结合为直径、在圆上列方程求离心率；（2）由题意双曲线，且圆，，半径，令且，，利用垂直关系得，再写出直线的方程，应用点线距离公式判断到直线距离与半径大小，即可得结论.【小问1详解】由，即也是以为直径的圆的一条直径，所以与相互垂直平分，又在圆上，所以，又，所以.【小问2详解】直线与圆O相切，理由如下：由题设，双曲线，且圆，，半径，令且，，则，，又，所以，则，则直线，整理得，所以到直线距离，又，则，所以直线与圆O相切. 22.如图，点为抛物线上位于第一象限的一点，F为抛物线焦点，满足．（1）求抛物线C的方程；（2）点M为直线上的动点，H为点E关于x轴的对称点，连接、分别交C于点A、B，连接交直线l于点N．①求证：直线过定点；②求证：以为直径的圆过定点．【答案】（1）（2）①证明见详解；②证明见详解.【解析】【分析】（1）根据结合抛物线的焦半径公式求解出的值，由此可求的方程；（2）①设出的坐标，根据三点共线求得坐标之间的关系，然后根据坐标关系式化简直线的方程可完成证明； ②设出定点坐标，根据得到关于的关系式，由此求得圆所过的定点坐标.【小问1详解】因为，为焦点，所以，所以，所以抛物线C的方程为；【小问2详解】①：设，因为且在第一象限，所以，所以，因为共线，所以，所以，所以，因为共线，所以，所以，所以，所以，化简可得，当时，因为，即为，即，所以，所以，所以直线过定点；当时，此时关于轴对称，且也关于轴对称，由对称性可知为与轴交点，所以，此时，即为， 联立，解得，即与重合，显然不符合题意；综上可知，直线过定点.②：设以为直径的圆经过定点，由①可知即，又因为，令，得，所以，所以，，所以，化简可得：，因不为定值，所以，故解得或，综上可知，以为直径的圆经过定点.【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的定点问题的策略：（1）参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量）；②利用条件找到与过定点的曲线之间的关系，得到关于与的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；（2）由特殊到一般法：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.