四川省自贡市蜀光中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学 Word版含解析.docx

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蜀光中学高2023级高一（上）12月月考数学试题本试卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必将自己姓名、班级、准考证号填写在答题卡上，考试结束后，只需将答题卡交回．2．试卷中的选择题部分，请在选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试卷上无效．3．试卷上的非选择题部分，请用0.5mm黑色签字笔在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的作答无效．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，由交集的运算，即可得到结果.【详解】因为集合，，则.故选：B2.命题“”的否定是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据含有一个量词的命题的否定，即可得答案.【详解】∵全称量词命题的否定是存在量词命题，∴命题“”的否定是：“”, 故选:D.3.与角终边相同的最小正角是（）A.B.330°C.30°D.60°【答案】C【解析】【分析】根据题意，由终边相同角的定义，即可得到结果.【详解】因为，所以与角终边相同的最小正角是.故选：C4.已知幂函数在为单调增函数，则实数的值为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据为幂函数，求得的可能取值，再由在上的单调性，求得的值.【详解】由于为幂函数，所以，当时，在上递减，不符合题意，当时在上递增，符合题意.故选：D【点睛】本小题主要考查根据函数为幂函数求解析式，考查幂函数的单调性，属于基础题.5.下列函数中，其图像如图所示的函数为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据函数的性质逐项分析即得． 【详解】由图象可知函数为奇函数，定义域为，且在单调递减，对于A，，定义域为，，所以函数为奇函数，在单调递减，故A正确；对于B，，定义域为，故B错误；对于C，，定义域为，故C错误；对于D，，定义域为，，函数为偶函数，故D错误.故选：A．6.已知实数，，满足，，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，由指数函数，对数函数的单调性，将与比较大小，即可得到结果.【详解】因为，，即，，所以.故选：C7.已知，，且满足，则的最大值为（）A.9B.6C.4D.1【答案】D【解析】【分析】由题可得，利用基本不等式可得，进而即得.【详解】因为，，，所以， 所以，当且仅当，即时等号成立，所以，即的最大值为1.故选：D.8.已知函数是定义在R上的偶函数，对于，，且，都有成立，若实数m满足，则m的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】构造函数，根据的单调性和奇偶性化简不等式，进而求得的取值范围.【详解】依题意，函数是定义在R上的偶函数，，构造函数，则，所以是奇函数，图象关于原点对称.由于，，且，都有成立，即，所以在上递减，所以在上递减.由，即，，即，所以， 所以的取值范围是.故选：C二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.若，则下列命题正确的是（）A.若且，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则【答案】BCD【解析】【分析】举例说明判断A；利用指数函数、对数函数、幂函数单调性质判断BCD.【详解】对于A，取，满足且，而，A错误；对于B，函数在上单调递减，由，得，B正确；对于C，，函数在上单调递增，由，得，则，C正确；对于D，，函数在上单调递增，由，得，则，D正确.故选：BCD10.下列说法正确的是（）A.“”是“”的充分不必要条件B.与表示同一函数C.用弧度制量角时，角的大小与圆的半径有关D.【答案】ABD【解析】 【分析】对于A，根据充分不必要条件，结合不等式性质以及特殊值法，可得答案；对于B，根据函数的定义域以及对数运算，可得答案；对于C，根据弧度制的定义，可得答案；对于D，根据弧度制的换算规律，可得答案.【详解】对于A，由，则，所以；当时，由，则，故A正确；对于B，由题意可知：函数与的定义域都为，且，，故B正确；对于C，根据弧度制的定义易知C错误；对于D，，故D正确.故选：ABD.11.已知函数，以下说法正确的有（）A.若的定义域是，则B.若的定义域是，则C.若恒成立，则D.若，则的值域不可能是【答案】CD【解析】【分析】利用一元二次不等式的解集与系数的关系可判断A选项；分析可知对任意的，，列出关于的各种情况，可判断B选项；利用对数运算求出的值，可判断C选项；利用二次函数的基本性质可判断D选项.【详解】对于A选项，若函数的定义域为，则关于的不等式的解集为，故，A错；对于B选项，若函数的定义域为，则对任意的，，所以，或，B错； 对于C选项，由可得，即，所以，，C对；对于D选项，当时，则函数的值域为，若函数的值域为，则，显然是不可能的，D对故选：CD12.已知函数，，的零点分别为，，，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】根据函数的单调性及零点存在定理可得，，所在区间，进而可判断ACD，由题可知，分别为，与直线的交点的横坐标，结合反函数的性质可判断B.【详解】因为单调递增，又，，所以，因单调递增，，，所以，则，故A错误；因为单调递增，，所以，又，所以，故C正确；因为，，所以，，故D错误；由，可得， 由，可得，又函数与互为反函数图象关于对称，作出函数，及的图象，又与垂直，由，可得，则，与直线的交点的横坐标分别为，，且，故B正确.故选：BC.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13.若sinα＜0且tanα＞0，则α是第___________象限角．【答案】第三象限角【解析】【详解】试题分析：当sinα＜0，可知α是第三或第四象限角，又tanα＞0，可知α是第一或第三象限角，所以当sinα＜0且tanα＞0，则α是第三象限角．考点：三角函数值的象限符号.14.函数的定义域为________．【答案】【解析】【分析】根据给定的函数，列出不等式并求解即可.【详解】函数有意义，则，解得且，所以函数的定义域为. 故答案为：15.已知函数，则________．【答案】【解析】【分析】设，求出的奇偶性，从而求解.【详解】设，，则，，所以为奇函数，所以，所以：.故答案为：.16.函数，若关于的方程恰好有8个不同的实数根，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】令，由对勾函数得到其单调性和值域情况，画出函数的图象，数形结合得到不同的时，两函数交点情况，得到答案.【详解】令，由对勾函数的性质可知：对于一个确定的值，关于的方程最多两个解，画出的图象如下： 故值域为，作出函数图象，如下：令，解得：，令，解得：，，令，解得：，当时，存在唯一的，使得，此时方程有两解； 当时，存在使得，此时方程有三解，其中时，有1个解，即，时，有2个解；当时，存在使得，此时方程有四解，时，无解，时，有2个解，时，有2个解；当时，存在使得，此时方程有七解，时，有1个解，即，时，有2个解，时，有2个解，时，有2个解；当时，存在使得，此时方程有八个解，当时，有2个解，时，有2个解，时，有2个解，时，有2个解；当时，存在使得，此时方程有六解，当时，有2个解，时，有2个解，时，有2个解；当时，存在使得，此时方程有四解，当时，有2个解，时，有2个解；综上：实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】复合函数零点个数问题处理思路：①利用换元思想，设出内层函数；②分别作出内层函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围；③内外层函数相结合确定函数交点个数，即可得到复合函数在不同范围下的零点个数.四、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，除第17题10分外，其余各题均为12分，考生根据试题要求作答．17.（1）求值：； （2）已知，求值：．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据题意，由指数幂的运算，即可得到结果；（2）根据题意，将原式分子分母同除，即可得到结果.【详解】（1）原式.（2）原式.18.已知函数．（1）求的定义域；（2）求不等式的解集．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据对数函数的性质，建立不等式组，可得答案；（2）根据对数的运算，结合对数函数的单调性，结合二次不等式，可得答案.【小问1详解】由题意可得，解得，所以函数的定义域为.【小问2详解】由题意可得，则，根据函数在其定义域内单调递增，则，化简可得，分解因式为，解得或，由函数的定义域为，则不等式的解集为. 19.已知函数（，且）．（1）若函数的图象过点，求b的值；（2）若函数在区间上的最大值比最小值大，求a的值．【答案】（1）1（2）或【解析】【分析】（1）将点坐标代入求出b值；（2）分与两种情况，根据函数单调性表达出最大值和最小值，列出方程，求解a的值.【小问1详解】，解得.【小问2详解】当时，在区间上单调递减，此时，，所以，解得：或0（舍去）；当时，在区间上单调递增，此时，，所以，解得：或0（舍去）.综上：或20.已知函数（，为常数，且）的图象经过点，．（1）求函数的解析式；（2）若关于不等式对都成立，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）将，，代入函数，利用待定系数法即可得出答案；（2）对都成立，即，，令， ，令，求出函数的最小值即可得解.【小问1详解】解：∵函数的图象经过点，，∴，即，又∵，∴，，∴，即；【小问2详解】解：由（1）知，，∴对都成立，即对都成立，∴，，令，，则，令，即，，∴的图象是开口向下且关于直线对称的抛物线，∴，∴，∴的取值区间为．21.道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为，为道路密度，为车辆密度，．已知当道路密度时，交通流量，其中．（1）求的值；（2）若交通流量，求道路密度取值范围；（3）求车辆密度的最大值．【答案】（1） （2）（3）【解析】【分析】（1）由题意，建立方程，结合一元二次方程求解即可；（2）分情况建立不等式，可得答案；（3）根据函数性质，结合分情况，可得答案.【小问1详解】由题意可知：，即，由，解得.【小问2详解】当时，不等式，则，解得，故；当时，不等式，则，解得，此时无解.综上所述，.【小问3详解】由题意可得，当时，；当时，，因为，所以此时当时，取得最大值.因为，所以的最大值为.22.已知函数是奇函数，且.（1）求函数的解析式，并判定函数在区间上的单调性（无需证明）；（2）已知函数且，已知在的最大值为2，求的值. 【答案】（1）；函数在区间上单调递减，在上单调递增（2）或【解析】【分析】（1）根据奇函数的性质及，即可得到方程组，求出、的值，即可得到函数解析式，再根据对勾函数的性质判断即可；（2）分和两种情况讨论，结合对数型复合函数的单调性计算可得；【小问1详解】解：函数的定义域为，是奇函数，且，且又.经检验，满足题意，故.当时，时等号成立，当时，单调递减；当时，单调递增.【小问2详解】解：①当时，是减函数，故当取得最小值时，且取得最大值2，而在区间上单调递增，所以在区间上的最小值为，故的最大值是，所以.②当时，是增函数，故当取得最大值时， 且取得最大值2，而在区间上单调递增，所以在区间上的最大值为，故的最大值是，所以.综上所述，或