湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高二上学期第二次阶段性检测(12月)数学(原卷版).docx

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长沙市第一中学2023—2024学年度高二第一学期第二次阶段性检测数学试卷一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若复数满足,则复数在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知集合,则()A.B.C.D.3.设是定义在上的奇函数,则()A.B.0C.1D.24.已知直线与直线,若,则直线的倾斜角为()A.B.C.D.或5.已知为等差数列的前项和,若,则()A.26B.27C.28D.296.函数在区间上单调递减,则的取值范围为()A.B.C.D.7.已知,则()A.B.C.D.8.已知双曲线的右焦点为,过点且斜率为3的直线与双曲线分别交于两点,若是线段的中点,且,则双曲线的渐近线方程为() A.B.C.D.二、多选题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.树人中学为了解高二年级学生每天的体育活动时间,随机抽取200名学生统计每天体育运动的时间,按照时长(单位:分钟)分成六组,对统计数据整理得到如图所示的频率分布直方图,则下列结论正确的是()A.B.这200名学生每天体育活动时间的众数是55C.这200名学生每天体育活动时间的中位数小于60D.这200名学生中有60人每天体育活动时间低于50分钟10.已知抛物线的焦点为,点在抛物线上,且弦的中点到直线的距离为6,则()A.B.两点到抛物线的准线的距离之和为12C.线段的长为12D.的最大值为3611.如图,在棱长为2的正方体中,点在平面内且,则以下结论正确的是() A.异面直线与所成的角是B.三棱锥的体积为C.存在点,使得D.点到平面距离的最小值为12.已知,下列说法正确的是()A.函数图象关于点对称B.函数的最小正周期为C.若,则在上存在极大值D.时,三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.设等比数列,且,则__________.14.若圆上恰有四个点到直线距离等于1,则的取值范围为__________.15.如图,在三棱锥中,,点在线段上,且,则直线与直线所成角的余弦值为__________. 16.已知函数,若方程恰有5个不等实根,则实数的取值范围是__________.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中,运动员甲和乙进入了决赛.假设每场比赛甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,且各场比赛结果相互独立.比赛方案采用五局三胜制(先胜3局者获胜,比赛结束).(1)求前2场比赛中,甲至少赢得一场的概率;(2)已知前2场比赛甲、乙各胜一场,求最终甲获胜的概率.18.已知的内角所对的边分别是,已知.(1)求角;(2)若的面积为,求取最小值时的周长.19.已知数列的首项,且满足.(1)求证:数列为等比数列;(2)记,求数列的前项和.20.如图,在四棱锥中,底面是边长为2正方形,是正三角形,. (1)求证:平面平面;(2)直线上是否存在点,使得直线与平面所成角为若存在,求的值;若不存在,请说明理由.21.已知椭圆的离心率为,且经过点.(1)求椭圆方程;(2)过点作直线交椭圆于两点,试问以为直径的圆是否恒过定点?若过定点,求出定点;若不过定点,说明理由.22.已知.(1)当时,证明:在上单调递增;

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