2024年1月辽宁省普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷03(全解全析).docx

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2024年1月辽宁省普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟试卷03一、选择题(本大题共12题,每小题3分,共计36分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的)1.命题“∃x∈R,使x2+x−1=0”的否定是(    )A.∃x∈R,使x2+x−1≠0B.不存在x∈R,使x2+x−1=0C.∀x∉R,使x2+x−1≠0D.∀x∈R,使x2+x−1≠0【答案】D【分析】由存在命题的否定是全称命题即可得出答案.【详解】命题“∃x∈R,使x2+x−1=0”的否定是∀x∈R,使x2+x−1≠0.故选:D.2.已知复数z=1−i3,则z的虚部为(    )A.−2B.2C.2iD.−2i【答案】B【分析】计算z=−2−2i得到z=−2+2i,再确定虚部得到答案.【详解】z=1−i3=1−i21−i=−2i1−i=−2−2i,故z=−2+2i,故z的虚部为2.故选:B.3.已知集合A=xx<3,B=x∈N∣x2<2,则A∩B=(    )A.{0,1}B.{1,2}C.{−1,1}D.{−1,0,1}【答案】A【分析】根据绝对值不等式的解法化简集合A,根据一元二次不等式的解法及自然数集化简集合B,然后利用交集运算求解即可.【详解】因为集合A=xx<3=x−33fx+2,x≤3,则f2=(    )A.-1B.0C.1D.2【答案】D【分析】根据分段函数求值即可.【详解】因为fx=log2x,x>3fx+2,x≤3,所以f2=f4=log24=2,故选:D7.设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,给出下列四个命题:①如果m//α,n⊂α,那么m//n;②如果m⊥α,m⊥β,那么α//β;③如果α⊥β,m⊥α,那么m//β;④如果α⊥β,α∩β=m,m⊥n,那么n⊥β.其中正确的命题是(    )A.①B.②C.③D.④【答案】B【分析】线线关系、线面关系、面面关系逐项判断可得答案.【详解】对于①:如果m//α,n⊂α,那么m//n或m,n异面,例如在正方体ABCD−A1B1C1D1中,AB//平面A1B1C1D1,A1B1,A1D1⊂平面A1B1C1D1,可得AB//A1B1,AB与A1D1异面,故①错误;对于②:如果m⊥α,m⊥β,由线面垂直的性质可知α//β,故②正确;对于③:如果α⊥β,m⊥α,那么m//β或m⊂β,例如在正方体ABCD−A1B1C1D1中,平面AA1D1D⊥平面A1B1C1D1,BB1,DD1⊥平面A1B1C1D1,可得BB1//平面AA1D1D,DD1⊂平面AA1D1D,故③错误;对于④:如果α⊥β,α∩β=m,m⊥n,由面面垂直的性质可知:此时没有说明n⊂α,所以不能推出n⊥β,例如在正方体ABCD−A1B1C1D1中,平面AA1D1D⊥平面CC1D1D,平面AA1D1D∩平面CC1D1D=DD1,DD1⊥BD,但BD与平面AA1D1D、平面CC1D1D均不垂直,故④错误;故选:B.学科网(北京)股份有限公司   8.某中学高三年级共有学生800人,为了解他们的视力状况,用分层抽样的方法从中抽取一个容量为40的样本,若样本中共有女生11人,则该校高三年级共有男生(    )人A.220B.225C.580D.585【答案】C【分析】利用分层抽样比例一致得到相关方程,从而得解.【详解】依题意,设高三男生人数为n人,则高三女生人数为800−n人,由分层抽样可得800−n800=1140,解得n=580.故选:C.9.设a=log46,b=log23,c=32,则(    )A.a>b>cB.c>b>aC.b>a>cD.b>c>a【答案】D【分析】首先将这三个数化为同底的对数,再根据单调性比较大小.【详解】a=log46=log26,b=log23=log29,c=32=log2232=log28,因为y=log2x是增函数,6<8<9,所以a1,则x+4x−1的最小值是.【答案】5【分析】利用基本不等式求解即可.【详解】由x>1,得x−1>0,则x+4x−1=x−1+4x−1+1≥2x−1⋅4x−1+1=5,当且仅当x−1=4x−1,即x=3时取等号,所以x+4x−1的最小值是5.故答案为:5.16.已知向量a,b满足a=1,b=2,a−b=3,2,则a+2b=.【答案】17学科网(北京)股份有限公司 【分析】由向量的和与差的模的运算得:(a−b)2=5,则a⋅b=0,所以由|a+2b|=a2+4a⋅b+4b2可得解.【详解】因为向量a,b满足a=1,b=2,a−b=3,2,所以(a−b)2=5,又(a−b)2=a2−2a⋅b+b2=1−2a⋅b+4=5,∴a⋅b=0,所以|a+2b|=a2+4a⋅b+4b2=1+16=17.故答案为:17.三、解答题(本题共5小题,共52分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)17.已知向量a=sinx+cosx,1,b=2cosx,−1,函数fx=a⋅b,将函数fx的图象向右平移π6个单位长度,得到函数gx的图象.(1)求函数fx的最小正周期和单调递增区间;(2)解方程gx=0.【答案】(1)T=π,单调递增区间为kπ−3π8,kπ+π8,k∈Z(2)xx=kπ2+π24,k∈Z【分析】(1)利用向量数量积求出fx,利用正弦函数的周期性与单调性即可求得fx的最小正周期和单调递增区间.(2)先求出gx表达式,根据正弦函数零点取值得到gx=0的解集.【详解】(1)由已知,得fx=a⋅b=2cosxsinx+cosx−1=sin2x+cos2x=2sin2x+π4所以函数fx的最小正周期T=2πω=2π2=π.由2kπ−π2≤2x+π4≤2kπ+π2,k∈Z,解得kπ−3π8≤x≤kπ+π8,k∈Z,所以函数fx的单调递增区间为kπ−3π8,kπ+π8,k∈Z.(2)将函数fx的图象向右平移π6个单位长度,得到函数gx=2sin2x−π6+π4=2sin2x−π12的图象.令gx=2sin2x−π12=0,得2x−π12=kπ,k∈Z,解得x=kπ2+π24,k∈Z,所以方程gx=0的解集为xx=kπ2+π24,k∈Z.18.如图,四棱锥P−ABCD的底面是矩形,PA⊥底面ABCD,M,N分别为CD,PD的中点,AC与BM交于点E,AB=62,AD=6,K为PA上一点,PK=13PA.学科网(北京)股份有限公司   (1)证明:KE//MN(2)求证:平面PAC⊥平面BMNK.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】(1)由已知易得PKKA=CEAE=12,即有KE//PC,再由中位线性质、平行线的性质证结论;(2)由线面垂直的性质得PA⊥BM,由已知及勾股定理可得AC⊥BM,最后利用线面垂直、面面垂直的判定证结论.【详解】(1)四边形ABCD是矩形,M为CD的中点,所以CM//AB且CM=12AB,显然有△AEB∼△CEM,则CEAE=CMAB=12,又PK=13PA,故PK=12KA,所以PKKA=CEAE,则KE//PC,M,N分别是CD,PD的中点,则MN//PC,综上,KE//MN.(2)由PA⊥底面ABCD,BM⊂平面ABCD,所以PA⊥BM,又AB=62,AD=6,M为CD中点,所以CM=32,AC=63,BM=36,由(1)知:EM=13BM=6,CE=13AC=23,则CE2+EM2=MC2,所以∠MEC=π2,即AC⊥BM,由PA∩AC=A,PA、AC⊂平面PAC,所以BM⊥平面PAC,而BM⊂平面BMNK,所以平面PAC⊥平面BMNK.19.某城市100户居民的月平均用电量(单位:度)以100,150,150,200,200,250,250,300分组的频率分布直方图如图所示.学科网(北京)股份有限公司   (1)估计这100户居民的月平均用电量的平均数;(同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表)(2)按照分层随机抽样的方法从月平均用电量在150,200,250,300的居民中抽取5户居民,再从这5户居民中随机抽取2户,求这2户居民中至少有1户月平均用电量在250,300的概率.【答案】(1)210(2)710【分析】根据频率分布直方图中的平均数计算公式计算即可;结合分层随机抽样先确定在150,200,250,300应抽取多少户,进而列举出试验的样本空间,再结合古典概型求解即可.【详解】(1)估计这100户居民的月平均用电量的平均数为125×0.002×50+175×0.006×50+225×0.008×50+275×0.004×50=210.(2)样本中100户居民月平均用电量在150,200的居民有100×0.006×50=30户,月平均用电量在250,300的居民有100×0.004×50=20户,按照分层随机抽样的方法在150,200应抽取30×530+20=3户,分别设为a,b,c,在150,200应抽取20×530+20=2户,分别设为d,e.再从这5户居民中随机抽取2户,这个试验的样本空间可记为Ω=a,b,a,c,a,d,a,e,b,c,b,d,b,e,c,d,c,e,d,e,共包含10个样本点.记A为“2户居民中至少有1户月平均用电量在250,300”,则A=a,d,a,e,b,d,b,e,c,d,c,e,d,e,包含7个样本点,所以PA=710,所以这2户居民中至少有1户月平均用电量在250,300的概率为710.20.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=120°,b=1,c=2.(1)求sinB;(2)若D为BC上一点,且∠BAD=90°,求△ADC的面积.【答案】(1)2114(2)310学科网(北京)股份有限公司 【分析】(1)根据余弦定理求解a,即可由三边求解cosB,进而可求正弦值,(2)根据面积公式即可求解.【详解】(1)由余弦定理可得:BC2=a2=b2+c2−2bccosA=1+4−2×2×1×cos120°=7,则BC=7,cosB=a2+c2−b22ac=7+4−12×2×7=5714,B∈0,π,所以sinB=1−cos2B=1−2528=2114.(2)由三角形面积公式可得S△ABDS△ACD=12×AB×AD×sin90°12×AC×AD×sin30°=4,则S△ACD=15S△ABC=15×12×2×1×sin120°=310.  21.函数fx=ax+b1+x2是定义在−1,1上的奇函数,且f12=25.(1)求fx的解析式;(2)证明fx在−1,1上为增函数;(3)解不等式ft−1+ft<0.【答案】(1)fx=x1+x2;(2)证明见解析;(3)00,1−x1⋅x2>0,因为x1

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