2024年1月辽宁省普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷03（全解全析）.docx

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2024年1月辽宁省普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟试卷03一、选择题（本大题共12题，每小题3分，共计36分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）1．命题“∃x∈R，使x2+x−1=0”的否定是（    ）A．∃x∈R，使x2+x−1≠0B．不存在x∈R，使x2+x−1=0C．∀x∉R，使x2+x−1≠0D．∀x∈R，使x2+x−1≠0【答案】D【分析】由存在命题的否定是全称命题即可得出答案.【详解】命题“∃x∈R，使x2+x−1=0”的否定是∀x∈R，使x2+x−1≠0.故选：D.2．已知复数z=1−i3，则z的虚部为（    ）A．−2B．2C．2iD．−2i【答案】B【分析】计算z=−2−2i得到z=−2+2i，再确定虚部得到答案.【详解】z=1−i3=1−i21−i=−2i1−i=−2−2i，故z=−2+2i，故z的虚部为2.故选：B.3．已知集合A=xx<3，B=x∈N∣x2<2，则A∩B=（    ）A．{0,1}B．{1,2}C．{−1,1}D．{−1,0,1}【答案】A【分析】根据绝对值不等式的解法化简集合A，根据一元二次不等式的解法及自然数集化简集合B，然后利用交集运算求解即可.【详解】因为集合A=xx<3=x−33fx+2,x≤3，则f2=（    ）A．-1B．0C．1D．2【答案】D【分析】根据分段函数求值即可.【详解】因为fx=log2x,x>3fx+2,x≤3，所以f2=f4=log24=2，故选：D7．设m,n是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面，给出下列四个命题：①如果m//α,n⊂α，那么m//n；②如果m⊥α,m⊥β，那么α//β；③如果α⊥β,m⊥α，那么m//β；④如果α⊥β,α∩β=m,m⊥n，那么n⊥β.其中正确的命题是（    ）A．①B．②C．③D．④【答案】B【分析】线线关系、线面关系、面面关系逐项判断可得答案.【详解】对于①：如果m//α,n⊂α，那么m//n或m,n异面，例如在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB//平面A1B1C1D1，A1B1,A1D1⊂平面A1B1C1D1，可得AB//A1B1，AB与A1D1异面，故①错误；对于②：如果m⊥α,m⊥β，由线面垂直的性质可知α//β，故②正确；对于③：如果α⊥β,m⊥α，那么m//β或m⊂β，例如在正方体ABCD−A1B1C1D1中，平面AA1D1D⊥平面A1B1C1D1，BB1,DD1⊥平面A1B1C1D1，可得BB1//平面AA1D1D，DD1⊂平面AA1D1D，故③错误；对于④：如果α⊥β,α∩β=m,m⊥n，由面面垂直的性质可知：此时没有说明n⊂α，所以不能推出n⊥β，例如在正方体ABCD−A1B1C1D1中，平面AA1D1D⊥平面CC1D1D，平面AA1D1D∩平面CC1D1D=DD1，DD1⊥BD，但BD与平面AA1D1D、平面CC1D1D均不垂直，故④错误；故选：B.学科网（北京）股份有限公司   8．某中学高三年级共有学生800人，为了解他们的视力状况，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为40的样本，若样本中共有女生11人，则该校高三年级共有男生（    ）人A．220B．225C．580D．585【答案】C【分析】利用分层抽样比例一致得到相关方程，从而得解.【详解】依题意，设高三男生人数为n人，则高三女生人数为800−n人，由分层抽样可得800−n800=1140，解得n=580.故选：C.9．设a=log46,b=log23,c=32，则（    ）A．a>b>cB．c>b>aC．b>a>cD．b>c>a【答案】D【分析】首先将这三个数化为同底的对数，再根据单调性比较大小.【详解】a=log46=log26，b=log23=log29，c=32=log2232=log28，因为y=log2x是增函数，6<8<9，所以a1，则x+4x−1的最小值是.【答案】5【分析】利用基本不等式求解即可.【详解】由x>1，得x−1>0，则x+4x−1=x−1+4x−1+1≥2x−1⋅4x−1+1=5，当且仅当x−1=4x−1，即x=3时取等号，所以x+4x−1的最小值是5.故答案为：5.16．已知向量a，b满足a=1，b=2，a−b=3,2，则a+2b=.【答案】17学科网（北京）股份有限公司 【分析】由向量的和与差的模的运算得：(a−b)2=5，则a⋅b=0，所以由|a+2b|=a2+4a⋅b+4b2可得解.【详解】因为向量a，b满足a=1，b=2，a−b=3,2，所以(a−b)2=5，又(a−b)2=a2−2a⋅b+b2=1−2a⋅b+4=5，∴a⋅b=0，所以|a+2b|=a2+4a⋅b+4b2=1+16=17.故答案为：17.三、解答题（本题共5小题，共52分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17．已知向量a=sinx+cosx,1,b=2cosx,−1，函数fx=a⋅b，将函数fx的图象向右平移π6个单位长度，得到函数gx的图象.(1)求函数fx的最小正周期和单调递增区间；(2)解方程gx=0.【答案】(1)T=π，单调递增区间为kπ−3π8,kπ+π8,k∈Z(2)xx=kπ2+π24,k∈Z【分析】（1）利用向量数量积求出fx，利用正弦函数的周期性与单调性即可求得fx的最小正周期和单调递增区间.（2）先求出gx表达式，根据正弦函数零点取值得到gx=0的解集.【详解】（1）由已知，得fx=a⋅b=2cosxsinx+cosx−1=sin2x+cos2x=2sin2x+π4所以函数fx的最小正周期T=2πω=2π2=π.由2kπ−π2≤2x+π4≤2kπ+π2,k∈Z，解得kπ−3π8≤x≤kπ+π8,k∈Z，所以函数fx的单调递增区间为kπ−3π8,kπ+π8,k∈Z.（2）将函数fx的图象向右平移π6个单位长度，得到函数gx=2sin2x−π6+π4=2sin2x−π12的图象.令gx=2sin2x−π12=0，得2x−π12=kπ,k∈Z，解得x=kπ2+π24,k∈Z，所以方程gx=0的解集为xx=kπ2+π24,k∈Z.18．如图，四棱锥P−ABCD的底面是矩形，PA⊥底面ABCD，M，N分别为CD，PD的中点，AC与BM交于点E，AB=62，AD=6，K为PA上一点，PK=13PA.学科网（北京）股份有限公司   (1)证明：KE//MN(2)求证：平面PAC⊥平面BMNK.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）由已知易得PKKA=CEAE=12，即有KE//PC，再由中位线性质、平行线的性质证结论；（2）由线面垂直的性质得PA⊥BM，由已知及勾股定理可得AC⊥BM，最后利用线面垂直、面面垂直的判定证结论.【详解】（1）四边形ABCD是矩形，M为CD的中点，所以CM//AB且CM=12AB，显然有△AEB∼△CEM，则CEAE=CMAB=12，又PK=13PA，故PK=12KA，所以PKKA=CEAE，则KE//PC，M,N分别是CD,PD的中点，则MN//PC，综上，KE//MN.（2）由PA⊥底面ABCD，BM⊂平面ABCD，所以PA⊥BM，又AB=62,AD=6,M为CD中点，所以CM=32,AC=63,BM=36，由（1）知：EM=13BM=6,CE=13AC=23，则CE2+EM2=MC2，所以∠MEC=π2，即AC⊥BM，由PA∩AC=A，PA、AC⊂平面PAC，所以BM⊥平面PAC，而BM⊂平面BMNK，所以平面PAC⊥平面BMNK.19．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度）以100,150，150,200，200,250，250,300分组的频率分布直方图如图所示．学科网（北京）股份有限公司   (1)估计这100户居民的月平均用电量的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）(2)按照分层随机抽样的方法从月平均用电量在150,200，250,300的居民中抽取5户居民，再从这5户居民中随机抽取2户，求这2户居民中至少有1户月平均用电量在250,300的概率．【答案】(1)210(2)710【分析】根据频率分布直方图中的平均数计算公式计算即可；结合分层随机抽样先确定在150,200，250,300应抽取多少户，进而列举出试验的样本空间，再结合古典概型求解即可.【详解】（1）估计这100户居民的月平均用电量的平均数为125×0.002×50+175×0.006×50+225×0.008×50+275×0.004×50=210．（2）样本中100户居民月平均用电量在150,200的居民有100×0.006×50=30户，月平均用电量在250,300的居民有100×0.004×50=20户，按照分层随机抽样的方法在150,200应抽取30×530+20=3户，分别设为a，b，c，在150,200应抽取20×530+20=2户，分别设为d，e．再从这5户居民中随机抽取2户，这个试验的样本空间可记为Ω=a,b,a,c,a,d,a,e,b,c,b,d,b,e,c,d,c,e,d,e，共包含10个样本点．记A为“2户居民中至少有1户月平均用电量在250,300”，则A=a,d,a,e,b,d,b,e,c,d,c,e,d,e，包含7个样本点，所以PA=710,所以这2户居民中至少有1户月平均用电量在250,300的概率为710.20．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A=120°，b=1，c=2．(1)求sinB；(2)若D为BC上一点，且∠BAD=90°，求△ADC的面积．【答案】(1)2114(2)310学科网（北京）股份有限公司 【分析】（1）根据余弦定理求解a，即可由三边求解cosB，进而可求正弦值，（2）根据面积公式即可求解.【详解】（1）由余弦定理可得：BC2=a2=b2+c2−2bccosA=1+4−2×2×1×cos120°=7，则BC=7，cosB=a2+c2−b22ac=7+4−12×2×7=5714，B∈0,π,所以sinB=1−cos2B=1−2528=2114．（2）由三角形面积公式可得S△ABDS△ACD=12×AB×AD×sin90°12×AC×AD×sin30°=4，则S△ACD=15S△ABC=15×12×2×1×sin120°=310．  21．函数fx=ax+b1+x2是定义在−1,1上的奇函数，且f12=25.(1)求fx的解析式；(2)证明fx在−1,1上为增函数；(3)解不等式ft−1+ft<0.【答案】(1)fx=x1+x2；(2)证明见解析；(3)00,1−x1⋅x2>0，因为x1