上海市复旦大学附属中学2022届高三下学期开学考试数学（解析版）.docx

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上海市复旦大学附属中学2021-2022年高三下开学考数学试卷一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.行列式中，元素4的代数余子式的值为_________.【答案】6【解析】【分析】根据行列式的代数余子式的定义计算可得结果.【详解】元素4的代数余子式的值为．故答案为：.2.设实数，若函数的最小正周期为，则________【答案】2【解析】【分析】用辅助角公式化简函数，求出的周期，即可求解.【详解】，最小正周期为.故答案为:2【点睛】本题考查三角函数的化简，以及周期性，属于基础题.3.底面半径和高均为1的圆锥的侧面积为______．【答案】【解析】【分析】由侧面积公式和勾股定理即可求解.【详解】如图所示：第18页/共18页学科网（北京）股份有限公司 ，所以母线，所以圆锥侧面积.故答案为：4.设向量，若，则在上的投影为_________.【答案】【解析】【分析】先由平面向量垂直的坐标运算可得，再根据平面向量的投影定义计算即可.【详解】若，则，所以，所以.所以在上的投影为．故答案为:.5.集合，集合，若，则实数________【答案】2【解析】【分析】得，由或或，分别求出值，验证是否成立，即可求解.【详解】得,可能值为，若，，不合题意；若；若没有整数解，不合题意.第18页/共18页学科网（北京）股份有限公司 综上.故答案为:2【点睛】本题考查集合间的相等关系，求出参数后要注意验证，考查分类讨论思想，属于基础题.6.若变量满足约束条件则的最小值为_________.【答案】【解析】【详解】由约束条件作出可行域如图，联立，解得，化目标函数，得，由图可知，当直线过点时，直线在y轴上的截距最小，有最小值为，故答案为.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.7.设是方程的两根，则________【答案】【解析】【分析】根据实系数一元二次方程求根公式，求出的值，即可求解.【详解】，，不妨设，.故答案为:第18页/共18页学科网（北京）股份有限公司 【点睛】本题考查实系数一元二次方程的虚数解，以及模长，属于基础题.8.设是定义在上的奇函数，当时，．则不等式的解为________．【答案】【解析】【分析】根据函数奇偶性的性质求出当的解析式，讨论，解不等式即可．【详解】解：若，则，∵当时，，∴当时，，∵是定义在上的奇函数，，则，当时，不等式等价为即，无解，不成立；当时，不等式等价为即，得，即；当时，，不等式不成立，综上，不等式的解为．故不等式的解集为．故答案为.【点睛】本题主要考查不等式的解集的求解，根据函数奇偶性的性质求出函数的解析式是解决本题的关键．9.某校数学兴趣小组给一个底面边长互不相等的直四棱柱容器的侧面和下底面染色，提出如下的“四色问题”：要求相邻两个面不得使用同一种颜色，现有4种颜色可以选择，则不同的染色方案有_________种．【答案】72【解析】【分析】分别求解选用4种颜色和3种颜色，不同的染色方案，综合即可得答案.【详解】由题知，第18页/共18页学科网（北京）股份有限公司 若选择4种颜色，前后侧面或左右侧面用1种颜色，其他3个面，用3种颜色，所以有种；若选择3种颜色，则前后侧面用1种颜色，左右侧面用1种颜色，底面不同色，所以有种，综上，不同的染色方案有种.故答案为：72.10.设A是椭圆上的动点，点F的坐标，若满足的点A有且仅有两个，则实数a的取值范围为________【答案】【解析】【分析】椭圆，长轴为，焦距为为椭圆的焦距，满足点有且只有两个，可得，即可得出结论.【详解】由题意，为椭圆的焦点，因为满足的点A有且仅有两个，所以，即，解得.故答案为:【点睛】本题考查椭圆的焦半径取值范围，解题的关键要确定出点是焦点，属于中档题.11.已知函数，若关于的方程有且只有一个实数根，则实数的取值范围是_________.【答案】【解析】【分析】令，得到，问题转化为直线与的图象只有一个交点，分与两种情况，画出函数图象，数形结合得到答案.【详解】令，则方程等价为，显然，第18页/共18页学科网（北京）股份有限公司 当时，若，，若，由得：，即，作出的图象如图：若，则直线与的图象只有一个交点，满足条件，若，要使直线与的图象只有一个交点，则只需当时，直线与的图象没有交点，即此时，即需，所以，解得：，综上，或，即实数的取值范围是．故答案为：12.如图所示，半径为1的圆内接于正方形，点是圆上的一个动点，点与关于直线成轴对称，若，则的取值范围是______．第18页/共18页学科网（北京）股份有限公司 【答案】【解析】【分析】根据题意，建立适当的平面直角坐标系，转化为坐标运算即可求解.【详解】如图所示，建立平面直角坐标系，故，，设，，则，因，所以，即，因此，又因点是圆上的一个动点，所以，因此，故，因此的取值范围为.故答案为：.二、选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分）13.设且，“z是纯虚数”是“”的A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件条件D.即非充分又非必要条件第18页/共18页学科网（北京）股份有限公司 【答案】A【解析】【分析】根据充分、必要条件的定义，结合“z是纯虚数”“”二者关系，即可求解.【详解】z是纯虚数,则成立，当时，，即，z不一定是纯虚数，“z是纯虚数”是“”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，考查纯虚数的特征，属于基础题.14.已知等差数列的公差，若的前项之和大于前项之和，则A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】设等差数列的前项和为，由并结合等差数列的下标和性质可得出正确选项.【详解】设等差数列的前项和为，由，得，可得，故选C.【点睛】本题考查等差数列性质的应用，解题时要充分利用等差数列下标和与等差中项的性质，可以简化计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.15.如图，N，S是球O直径的两个端点，圆是经过N和S点的大圆，圆和圆分别是所在平面与垂直的大圆和小圆，圆，交于点A，B，圆，交于点C，D．设a，b，c分别表示圆上劣弧的弧长，圆上半圆弧的弧长，圆上半圆弧的弧长，则a，b，c的大小为第18页/共18页学科网（北京）股份有限公司 A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】设球的半径为，求出，可得再根据球面距离的定义可得，得出结论.【详解】设球的半径为，则，则是圆上劣弧弧长，而圆是大圆，是在球面上距离，是圆上半圆弧的弧长，由球面距离的定义可知，所以.故选:D【点睛】本题以球为背景，考查比较弧长大小，以及球面距离的定义，属于中档题.16.对于定义在上的函数，若存在正常数、，使得对一切均成立，则称是“控制增长函数”，在以下四个函数中：①；②；③；④.是“控制增长函数”的有（）A.②③B.③④C.②③④D.①②④【答案】C【解析】【分析】假设各函数为“控制增长函数”，根据定义推倒恒成立的条件，判断，的存在性即可得出答案.第18页/共18页学科网（北京）股份有限公司 【详解】解：对于①，可化为：，即，即对一切均成立，由函数的定义域为，故不存在满足条件的正常数、，故不是“控制增长函数”；对于②，若是“控制增长函数”，则可化为：，∴恒成立，又，∴，∴，显然当时式子恒成立，∴是“控制增长函数”；对于③，∵，∴，∴当时，为任意正数，使恒成立，故是“控制增长函数”；对于④，若是“控制增长函数”，则恒成立，∵，∴，即，∴是“控制增长函数”.故选：C【点睛】本题考查了新定义的理解，函数存在性与恒成立问题研究，属于中档题.三、解答题（本大题共4题，满分76分）17.在中，角，，所对边分别为，，，且向量，，满足.（1）求角的大小；（2）若，，成等差数列，且，求边的长.【答案】（1）；（2）6.【解析】【分析】（1）首先利用向量数量积的坐标表示，并结合三角恒等变换，化简求得，即可求得角的大小；（2）首先由正弦定理边角互化，得，再结合数量积公式得，最后根据余弦定理求第18页/共18页学科网（北京）股份有限公司 边长.【详解】解：（1）对于，，，又，，即，又；（2）由，，成等差数列，得由正弦定理得，，，得，即，由余弦定理，，即，.18.设数列满足，其中A，B是两个确定的实数，（1）若，求的前n项和；（2）证明：不是等比数列；（3）若，数列中除去开始的两项外，是否还有相等的两项，并证明你的结论.【答案】（1）（2）证明见解析（3）没有，理由见解析【解析】【分析】（1）由，数列的前n项和为一个等比数列和一个等差数列的前项和，根据等比、等差数列的前项和公式，即可求解；第18页/共18页学科网（北京）股份有限公司 （2）用反证法证明，求出，假设是等比数列，由得出关系，化简，不满足，所以假设不成立，即可证明结论；（3）由，得出，且，得，设，证明是递增数列，可得结论.【详解】（1），故前n项之和（2），，．若是等比数列，则即，即．因，故，且．此时，，，，不满足．因此不是等比数列．（3）即，即，且．此时，．设．，当且仅当时等号成立，故．即除外，的各项依次递增．因此中除去和之外，没有其它的两项相等．【点睛】本题考查等差、等比数列的前项和，考查数列的单调性，考查反证法证明方法，解题的关键要合理应用通项公式，属于中档题.19.设是定义在上的函数，若对任何实数以及、恒有第18页/共18页学科网（北京）股份有限公司 成立，则称为定义在上的下凸函数．（1）试判断函数，是否为各自定义域上的下凸函数，并说明理由；（2）若是下凸函数，求实数的取值范围；（3）已知是上的下凸函数，是给定的正整数，设，，记，对于满足条件的任意函数，试求的最大值．【答案】（1）是下凸函数，不是下凸函数，理由见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）利用下凸函数的定义结合作差法判断可得出结论；（2）利用下凸函数的定义结合作差法可得出，由此可求得实数的取值范围；（3）对任意，，取，，，利用下凸函数的定义可得出，取可使得成立，即可求得的最大值.【小问1详解】解：是下凸函数，证明如下：对任意实数、及，有．即，所以是下凸函数．不是下凸函数，理由如下：取，，，则．即．第18页/共18页学科网（北京）股份有限公司 所以不是下凸函数．【小问2详解】解：是下凸函数，则对任意实数、及，有．即当时，；当时，，当且仅当时，等号成立，不合乎题意.所以当时，是下凸函数．【小问3详解】解：当且，对任意，，取，，．因为是上的下凸函数，令，且，，所以．那么．由（1）可知是下凸函数，且使得都成立，此时；当时，，合乎题意.综上所述，的最大值为．【点睛】关键点点睛：本题考查函数的新定义“下凸函数”，本题第3问求的最大值时，除了利用下凸函数的定义推导出，还应找出相应的下凸函数使得，才能使得的最大值能取到.20.设双曲线的方程为.过其右焦点且斜率不为零的直线与双曲线交于两点，直线的方程为，在直线上的射影分别为.（1）当垂直于轴，时，求四边形的面积；第18页/共18页学科网（北京）股份有限公司 （2）当，的斜率为正实数，在第一象限，在第四象限时，试比较和的大小，并说明理由；（3）是否存在实数，使得对满足题意的任意直线，直线和直线的交点总在轴上，若存在，求出所有的的值和此时直线与交点的位置；若不存在，说明理由.【答案】（1）24（2），理由见解析（3）存在，，两直线的交点为【解析】【分析】（1）当垂直于x轴，直线方程为，四边形为矩形，将代入双曲线方程，求出坐标，得出，即可求解；（2）设的方程为，，设两点的纵坐标分别为，将的方程与双曲线方程联立，得到关于的方程，根据韦达定理得出关系，结合，,，将根据线段长公式化简,再利用点在双曲线上可得，由,即可得出结论；（3）设，，则，，求出直线和直线方程，利用两条直线相交在轴上，可得，将关系，代入，得对一切都成立，有，求出交点的横坐标，即可求解.【小问1详解】右焦点的坐标为.故.由解得.故，第18页/共18页学科网（北京）股份有限公司 又，故四边形的面积为.【小问2详解】设的方程为，这里.将的方程与双曲线方程联立，得，即.由得，此时由于，故，即，故，因此.【小问3详解】设直线，与联立得.(有两交点，)设，，则，.的绝对值不小于，故，且.又直线斜率不为零，故.直线的方程为.直线的方程为.若这两条直线相交在轴上，则当时，两方程的应相同，第18页/共18页学科网（北京）股份有限公司 即.故，即.而，，代入上式，得对一切都成立.即，.此时交点横坐标为.综上，存在，，此时两直线的交点为.第18页/共18页学科网（北京）股份有限公司 第18页/共18页学科网（北京）股份有限公司