四川省广元中学2022-2023学年高二下学期第一次段考数学（理） Word版含解析.docx

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广元中学高2021级高二下期第一次段考理科数学试卷（时间：120分钟，满分150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.（　）A.40B.56C.168D.336【答案】B【解析】【分析】运用组合数的公式进行求解即可.【详解】，故选：B2.某学校为组建校运动会教师裁判组，将100名教师从1开始编号，依次为1，2，…，100，从这些教师中用系统抽样方法等距抽取10名教师作为裁判．若23号教师被抽到，则下面4名教师中被抽到的是（）A.1号教师B.32号教师C.56号教师D.73号教师【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，系统抽样的定义求出被抽到的编号作答.【详解】依题意，将100名教师编号后，从1号开始每10个号码一组，分成10组，显然第23号在第3组，因此其它各组抽到的编号依次为，A，B，C不正确；D正确.故选：D3.命题的否定形式为（）A.B.CD.【答案】B 【解析】【分析】根据全称命题的否定形式，即可得出结论.【详解】因为命题的否定形式为：，故选：.4.为培养学生“爱读书､读好书､普读书”的良好习惯，某校创建了人文社科类､文学类､自然科学类三个读书社团．甲､乙两位同学各自参加其中一个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，则这两位同学恰好参加同一个社团的概率为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据古典概型公式即可求解.【详解】记人文社科类､文学类､自然科学类三个读书社团分别为，则甲､乙两位同学各自参加其中一个社团的基本事件有共9种，而这两位同学恰好参加同一个社团包含的基本事件有共3种，故这两位同学恰好参加同一个社团的概率.故选：A5.已知下表所示数据的回归直线方程，则实数的值为（）23456371821A.11B.12C.13D.14【答案】A【解析】【分析】根据表中数据算出，然后利用回归直线方程算出，然后可得答案.【详解】因为，所以 所以，解得故选：A6.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关“松竹并生”的问题，松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图是源于该思想的一个程序框图，若输入的，分别为8，3，则输出的的值是（）A.3．B.4C.5D.6【答案】B【解析】【分析】按流程图顺序运算可得结果.【详解】a=8，b=3，n=1n=2n=3n=4a=8+4=12a=12+6=18a=18+9=27b=2×3=6b=2×6=12b=2×12=24b=2×24=4812≤6？否18≤12？否27≤24？否？是所以输出n为4.故选：B.7.若“”是“”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（   ） A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据分式的性质、解一元二次不等式的方法、解绝对值不等式的公式法，结合充分不必要条件的性质进行求解即可.【详解】因为，则，因为，则，即是的充分而不必要条件，所以，故选：B8.甲、乙、丙、丁、戊、己6人站成一排拍合照，要求甲必须站在中间两个位置之一，且乙、丙2人相邻，则不同的排队方法共有（）A.24种B.48种C.72种D.96种【答案】C【解析】【分析】先安排甲，可从中间两个位置中任选一个，再安排乙丙2人，可分为两类：安排在甲有2个位置的一侧；安排在甲有3个位置的一侧，最后安排其余3人，综上可得答案.【详解】先安排甲，可从中间两个位置中任选一个安排有种方法，而甲站好后一边有2个位置，另一边有3个位置，再安排乙丙2人，因乙、丙2人相邻，可分为两类：安排在甲有2个位置的一侧有种方法；安排在甲有3个位置的一侧有种方法，最后安排其余3人有种方法，综上，不同的排队方法有：种.故选：C.9.的展开式中的常数项为（    ）A.20B.20C.－10D.10【答案】D 【解析】【分析】根据乘法的运算法则，结合二项式的通项公式进行求解即可.【详解】因为，的展开式的通项公式为，令,得，令,得，所以展开式中的常数项为：.故选：D10.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，若与相交于两点，则的值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用代入法，结合一元二次方程根与系数关系、的几何意义进行求解即可.【详解】把代入中，得，，，，故选：A 11.中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.2022年10月31日我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“T”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕.2023年，中国空间站将正式进入运营阶段.假设空间站要安排甲、乙等6名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多三人，则不同的安排方法有（    ）A.450种B.360种C.90种D.70种【答案】A【解析】【分析】利用分组和分配的求法求得名航天员的安排方案，再利用分类加法计数原理即可求得.【详解】由题知，6名航天员安排三舱，三舱中每个舱至少一人至多三人，可分两种情况考虑：第一种：分人数为的三组，共有种；第二种：分人数为的三组，共有种；所以不同的安排方法共有种.故选：A.12.已知，分别是双曲线:（，）的左、右焦点，直线是的一条渐近线，点关于的对称点为，且，则的离心率为（）A.B.C.2D.【答案】B【解析】【分析】作出双曲线的图像，点关于的对称点为，交渐近线于，从而可得，再结合条件即可得解.【详解】如图所示：点关于的对称点为，交渐近线于，，渐近线则，， 又、分别为和的中点，所以，所以离心率.故选：B.【点睛】方法点睛：求双曲线高心率常见的方法：①根据已知条件列方程组，解出，的值，直接利用离心率公式求解；②根据已知条件得到一个关于，(或，)的齐次方程，然后转化为关于离心率的方程来求解.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为______.【答案】8【解析】【分析】假设共抽取人数，根据高一所占总共人数比例以及所抽出的人数，可得结果.【详解】设样本容量为，则 高二所抽人数为.故答案为：8【点睛】本题主要考查分层抽样，属基础题.14.鞋匠刀形是一种特殊的图形，古希腊数学家阿基米德发现该图形有许多优美的性质.如图，若点C为线段的三等分点且，分别以线段，，为直径且在同侧作半圆，则这三个半圆周所围成的图形称为鞋匠刀形（即图中阴影部分）.现等可能地从以为直径的半圆内任取一点，则该点落在鞋匠刀形内的概率为______.【答案】.【解析】【分析】分别求出各自的面积，转化为面积比即可．【详解】设，，则，，于是阴影部分的面积为：，于是所求概率为.故答案为：.【点睛】本题考查几何概型与几何概率的计算，考查学生的逻辑思维能力、运算求解能力以及分析问题和解决问题的能力.15.已知，则_____.【答案】##【解析】【分析】利用赋值法进行求解即可.【详解】在中，令，则有， 令，则有，两式相减得，.故答案为：16.已知抛物线的焦点到准线的距离为，为坐标原点，点在抛物线上，平面上一点满足，则直线斜率的最大值为_______.【答案】【解析】【分析】根据抛物线方程中的几何意义，结合共线向量的坐标表示公式、直线斜率的公式、基本不等式进行求解即可.【详解】因为抛物线的焦点到准线的距离为，所以，因此该抛物线的方程为，，设，因为，所以有，设直线斜率为，则，要想直线斜率有最大值，一定有，，当且仅当时取等号，即，舍去，故答案为： 【点睛】关键点睛：对直线斜率的表达式进行变形，利用基本不等式是解题的关键.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知抛物线的焦点为F，为抛物线C上的点，且.（1）求抛物线C的方程；（2）若直线与抛物线C相交于A，B两点，求弦长.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据抛物线定义可得，从而得到抛物线C的方程；（2）设，联立抛物线方程，消去，可得的方程，运用韦达定理和弦长公式，计算可得所求值．【详解】（1），所以，即抛物线C的方程.（2）设，由得所以，所以.【点睛】方法点睛：计算抛物线弦长方法， (1)若直线过抛物线的焦点，则弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)．(2)若直线不过抛物线的焦点，则用|AB|＝·|x1－x2|求解．18.端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘子中装有6个粽子，其中豆沙粽1个，肉粽2个，白粽3个，这三种粽子的外观完全相同．（1）从中有放回地取3次，每次随机取1个，记表示取到的肉粽个数，求；（2）从中不放回地取3次，每次随机取1个，记表示取到的肉粽个数，求的分布列和数学期望．【答案】（1）（2）分布列见解析；期望为1【解析】【分析】（1）由题意得的可能取值为，则，从而可得出答案；（2）写出随机变量的所有可能取值，求出对应概率，即可得分布列，再根据期望公式求期望即可.【小问1详解】由题意得的可能取值为，则，；【小问2详解】由题意得的可能取值为，，的分布列为：012数学期望． 19.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）已知直线l与曲线C交于A，B两点，设，求的值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】(1)消参可求l的普通方程，利用，可求直角坐标方程；(2)根据直线参数方程中参数的几何意义结合韦达定理求解.【小问1详解】∵直线l的参数方程为（t为参数），∴消去t可得直线l的普通方程为.∵曲线C的极坐标方程为，即，又∵，，∴曲线C的直角坐标方程为.【小问2详解】将（t为参数）代入，得，显然，即方程有两个不相等的实根， 设点A，B在直线l的参数方程中对应的参数分别是，，则，，∴，∴.20.某人准备投资两个新型项目，新型项目A的投资额（单位：万元）与利润（单位：万元）的关系式为，新型项目的投资额（单位：万元）与利润（单位：万元）有如下统计数据表：投资额x（单位：万元）12345利润y（单位：万元）23578（1）求新型项目中关于的线性回归方程；（2）根据（1）中所求的回归方程，若A，两个项目都投资6万元，试预测哪个项目的收益更好.参考公式：，．【答案】（1）（2）B项目的收益更好【解析】【分析】（1）根据表格数据结合公式求出，从而求出关于的线性回归方程；（2）分别求出A、B两个项目的利润值，比较即可得出答案.【小问1详解】由表中数据得，，，， 所以，，所以关于的线性回归方程为.【小问2详解】因为新型项目A的投资额（单位：万元）与利润（单位：万元）的关系式为，所以当A项目的投资额为6万元时，该企业所得利润的估计值为万元.由（1）知关于的线性回归方程为，因此当B项目的投资额为6万元时，该企业所得利润的估计值为万元.显然，所以预测B项目的收益更好.21.如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，，E为棱AB的中点.（1）证明：平面平面ABCD；（2）若，，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据直线与平面、平面与平面垂直的判定定理直接证明即可；（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，从而求出二面角.【小问1详解】取的中点，连接， 因为底面ABCD为菱形，所以，又因为分别是的中点，所以，所以，又因为平面，所以平面，又因为平面，所以，因为，为中点，所以，又因为平面ABCD，所以平面ABCD，又因为平面，所以平面平面ABCD.【小问2详解】因为底面ABCD为菱形，，所以为等边三角形，又为的中点，所以，由（1）知平面ABCD，又平面ABCD，所以，所以以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，设，则，所以，，设平面的法向量为，则， 取，得，所以，易得平面的一个法向量为，则，由图知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.22.已知椭圆的离心率为，其左、右焦点分别为，上顶点为，且的面积为.（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆交于两点，为坐标原点.试求当为何值时，使得恒为定值，并求出该定值.【答案】（1）（2），定值为5【解析】【分析】(1)根据题意列出关于的方程，解方程求得其值，可得答案；(2)联立，设，可求得根与系数的关系式，从而求得的表达式，由此可得结论.【小问1详解】由已知，点的坐标分别为，又点的坐标为，且，于是， 解得，所以椭圆方程为.小问2详解】联立，消元得，，方程判别式，即，设，则，所以，当为定值时，即与无关，故，得，所以，恒成立【点睛】方法点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形.