上海市杨浦区2021届高三上学期期末教学质量检测（一模）（12月）数学Word版含答案

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杨浦区2020学年度高三年级第一学期模拟质量调研数学试卷考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号,并将核对后的条形码贴在指定位置上.2．本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果.1.设全集,,则___________.2.设复数,(是虚数单位)，则__________.3.若关于的方程组无解，则实数__________.4.已知球的半径为2,则它的体积为____________.5.若直线与互相垂直，则实数___________.6.已知，则.7.已知的二项展开式中,所有二项式系数的和为,则展开式中的常数项为__________(结果用数值表示).8.是偶函数,当时,,则不等式的解集为____________.9.方程的解为____________.10.平面直角坐标系中,满足到的距离比到的距离大的点的轨迹为曲线，点(其中,)是曲线上的点,原点到直线的距离为,则____________.18

11.如图所示矩形中,,分别将边与等分成8份,并将等分点自下而上依次记作,自左到右依次记作,满足,(其中)的有序数对共有_______对.2.已知函数在定义域上是单调函数,值域为,满足,且对于任意,都有.的反函数为,若将(其中常数)的反函数的图像向上平移1个单位,将得到函数的图像,则实数k的值为________.二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.3.设,,则下列不等式中,恒成立的是（）A.B.C.D.4.下列函数中，值域为的是（）A、B、C、D、5.从正方体的8个顶点中选取4个作为顶点,可得到四面体的个数为（）A.B.C.D.6.设集合(其中常数),(其中常数),则“”是“”的（）18

2A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图所示,在直三棱柱中,底面是等腰直角三角形,,.点分别是棱的中点.(1)求证:四点共面；(2)求直线与平面所成角的大小.18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）设常数,,.（1）若是奇函数,求实数的值;（2）设,中,内角的对边分别为.若,,,求的面积.19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）某校运会上无人机飞行表演，在水平距离（单位：米）内的飞行轨迹如图所示，18

3表示飞行高度（单位：米）.其中当时，轨迹为开口向上的抛物线的一段（端点为），当时，轨迹为线段，经测量，起点，终点，最低点.（1）求关于的函数解析式；（2）在处有摄像机跟踪拍摄，为确保始终拍到无人机，求拍摄视角的最小值.(精确到）20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）设分别是椭圆的左、右顶点,点为椭圆的上顶点.（1）若,求椭圆的方程;（2）设,是椭圆的右焦点,点是椭圆第二象限部分上一点,若线段的中点在轴上,求的面积.（3）设,点是直线上的动点,点和是椭圆上异于左右顶点的两点,且,分别在直线和上,求证:直线恒过一定点.18

421．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）设数列与满足:的各项均为正数,.（1）设,若是无穷等比数列,求数列的通项公式;（2）设.求证:不存在递减的数列,使得是无穷等比数列;（3）当时,为公差不为0的等差数列且其前的和为0;若对任意满足条件的数列,其前项的和均不超过,求正整数的最大值.18

5杨浦区2020学年高三年级第一次质量调研测试数学试卷考生注意：1．答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码．2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分．3．本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1.设全集，则__________.【答案】2.设复数（是虚数单位），则__________.【解析】.3.若关于的方程组无解，则实数__________.【解析】由题意得，解得，经检验满足题意，所以.4.已知球的半径为，则它的体积为__________.【解析】.18

65.若直线和互相垂直，则实数__________.【解析】因为直线和互相垂直，所以，所以.6.已知，则__________.【解析】因为，所以.7.已知的二项式展开式中，所有二项式系数的和为，则展开式的常数项为__________.（结果用数值表示）.【解析】由题意得，所以，故展开式中的常数项为.8.为偶函数，当时,，则不等式的解集为__________.【解析】由题意得为偶函数，在上单调递增，，则可化为，故解集为.9.方程的解为【解析】由得，解得或，其中不满足真数大于0，舍去，故.10.平面直角坐标系中，满足到的距离比到的距离大的点的轨迹为曲线，点（其中）是曲线上的点，原点到直线的距离为，则__________.【解析】法一：由题意得曲线是以，为焦点的双曲线的右支，且，18

7所以，故曲线的方程为，故曲线的渐近线方程为，不妨取第一象限的渐近线，当时，点趋向于渐近线上的，直线的方程为趋向于直线，原点到直线的距离，由极限思想，.法二：（硬算）直线的方程为，其中即，所以原点到直线的距离，所以.11.如图所示矩形中，，分别将边与等分成份，并将等分点自下而上依次记作，自左到右依次记作，满足（其中）的有序数对共有__________.对.18

8【解析】以为原点建系，则，由得，即，当时，，共种，当，共种，故有序数对共有对.12.已知函数在定义域上是单调函数，值域为，满足，且对任意，都有的反函数为，若将（其中常数）的反函数的图像向上平移个单位，将得到函数的图像，则实数的值为__________.【解析】因为对任意，都有，不妨令，满足值域为，所以，解得，所以，所以，对函数而言，其反函数为，由题意得，所以，所以.二．选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.设，则下列不等式中，恒成立的是（）【答案】B【解析】由不等式性质易得，当时，恒成立的是18

914.下列函数中，值域为的是（）【答案】C【解析】的值域为；的值域为；的值域为；的值域为；故选C.15.从正方体的8个顶点中选取4个作为顶点，可得到四面体的个数为（）【答案】A【解析】从正方体的8个顶点中选取4个，构成四面体，除去正方体的6个面和6个对角面，一共能构成个四面体，故选A.16.设集合（其中常数），（其中常数），则“”是“”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件【答案】A【解析】若，则；若，则；当时，若，则，满足，若，则，满足；18

10而当，显然满足，故“”是“”的充分非必要条件，故选A.18

11三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图所示，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，，点分别是棱的中点.（1）求证：四点共面；（2）求直线与平面所成角的大小。【解析】（1）证明：由已知得，因为与确定平面所以四点共面(2)解:作,垂足为F平面,平面,直线直线直线且与相交于直线平面即为直线与平面所成的角.在直角中,,,直线与平面所成的角为.18

1218．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）设常数（1）若是奇函数，求实数的值；（2）设中，内角的对边分别为，若，求的面积【解析】（1）解:由题意检验：对任意都有是奇函数.(2)解:,整理得,A是三角形的内角由余弦定理,即整理得,解得或,或.18

1319．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）某校运会上无人机飞行表演，在水平距离（单位：米）内的飞行轨迹如图所示，表示飞行高度（单位：米），其中当时，轨迹为开口向上的抛物线的一段（端点为），当时，轨迹为线段，经测量，起点，终点，最低点（1）求关于的函数解析式；（2）在处有摄像机跟踪拍摄，为确保始终拍到无人机，求拍摄视角的最小值.（精确到）【解析】解：（1）时设：将代入得时（2）如图，设仰角为，俯角为18

14仰角最小为俯角最小为最小为20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）设分别是椭圆的左、右顶点，点为椭圆的上顶点.（1）若，求椭圆的方程；（2）设是椭圆的右焦点，点是椭圆第二象限部分上一点，若线段的中点在轴上，求的面积（3）设，点是直线上的动点，点和是椭圆上异于左右顶点的两点，且分别在直线和上，求证：直线恒过一定点.【解析】(1)解:,,,,解得即椭圆的方程为.(2)解:椭圆的方程为,18

15由题意设,由线段的中点在y轴上,代入椭圆方程得,即.(3)证明:由题意,设点P的坐标为,直线：,与椭圆方程联立消去得：由韦达定理得即;同理;当,即即时,直线的方程为;当时,直线：化简得,恒过点;综上所述,直线恒过点.18

1621．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）设数列与满足：的各项均为正数，（1）设，若是无穷等比数列，求数列的通项公式.（2）设，求证：不存在递减的数列，使得是无穷等比数列.（3）当时，为公差不为0的等差数列且其前的和为0；若对任意满足条件的数列，其前项的和均不超过，求正整数的最大值.【解析】（1）解:,,公比为由解得,数列的通项公式为.（2）证明:反证法，设存在则,此时18

17公比,考虑不等式当时,即时,有(其中表示不超过x的最大整数),这与的值域为矛盾假设不成立，得证(3)解:,由等差数列性质即,特别地,,现考虑的最大值为使取最大值,应有,否则在中将替换为,且,将得到一个更大的由可知,特别地,;于是解得,所以的最大值为8.18