重庆市字水中学2020-2021学年高二下学期期末考试数学Word版含解析

《重庆市字水中学2020-2021学年高二下学期期末考试数学Word版含解析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

2020-2021学年重庆市字水中学高二（下）期末数学试卷一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．已知复数z满足（1﹣i）z＝2i（其中i为虚数单位），则|z|＝（　　）A．B．C．D．22．在（﹣x）6的二项式展开式中，常数项为（　　）A．160B．﹣160C．60D．﹣603．某市重点中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则m+n的值是（　　）A．10B．11C．12D．134．已知R上可导函数f（x）的图象如图所示，则不等式（x2﹣2x﹣3）f′（x）＞0的解集为（　　）A．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，2）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（3，+∞）5．已知Z～N（10，4），则P（Z＜6）≈（　　）附：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）≈0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）≈0.9544．A．0.3174B．0.1587C．0.0456D．0.02286．第十一届全国少数民族传统体育运动会在河南郑州举行，某项目比赛期间需要安排3名志愿者完成5项工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有多少种（　　）A．60B．90C．120D．1507．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是A1D1，A1B1的中点，过直线BD的平面α∥平面AMN，则平面α截该正方体所得截面的面积为（　　）

1A．B．C．D．8．已知函数，若方程f2（x）+tf（x）＝﹣1有四个不同的实数根，则实数t的取值范围是（　　）A．（﹣∞，﹣e）B．C．（﹣∞，﹣2）D．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全对得5分，选错得0分，部分对得2分，请把答案填涂在答题卡相应位置上）9．如图是2020年2月15日至3月2日武汉市新增新冠肺炎确诊病例的折线统计图．则下列说法正确的是（　　）A．2020年2月19日武汉市新增新冠肺炎确诊病例大幅下降至三位数B．武汉市在新冠肺炎疫情防控中取得了阶段性的成果，但防控要求不能降低C．2020年2月19日至3月2日武汉市新增新冠肺炎确诊病例低于400人的有8天D．2020年2月15日到3月2日武汉市新增新冠肺炎确诊病例最多的一天比最少的一天多1549人10．若（2x﹣1）10＝a0+a1x+a2x2+…+a10x10，x∈R，则（　　）A．a2＝180B．|a0|+|a1|+|a2|+…+|a10|＝310C．a1+a2+…+a10＝1D．

211．我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆，A1，A2，B1，B2为顶点，F1，F2为焦点，P为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆C为“黄金椭圆”的有（　　）A．|A1F1|，|F1F2|，|F2A2|为等比数列B．∠F1B1A2＝90°C．PF1⊥x轴，且PO∥A2B1D．四边形A1B2A2B1的内切圆过焦点F1，F212．关于函数f（x）＝+lnx，下列判断正确的是（　　）A．x＝2是f（x）的极大值点B．函数y＝f（x）﹣x有且只有1个零点C．存在正实数k，使得f（x）＞kx成立D．对任意两个正实数x1，x2，且x1＞x2，若f（x1）＝f（x2），则x1+x2＞4三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知i是虚数单位，复数的虚部为　　．14．某车队有6辆车，现要调出4辆按一定的顺序出去执行任务，要求甲、乙两车必须参加，且甲车要先于乙车开出，则共有　　种不同的调度方法．（用数字填写答案）15．某工厂为研究某种产品产量x（吨）与所需某种原材料y（吨）的相关性，在生产过程中收集4组对应数据（x，y）如表所示：（残差＝真实值﹣预测值）x3456y2.534m根据表中数据，得出y关于x的线性回归方程为：．据此计算出在样本（4，3）处的残差为﹣0.15，则表中m的值为　　．16．已知函数的定义域为，若对任意的x1，，

3恒成立，则实数m的取值范围为　　．四、解答题（本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知函数y＝ax3+bx2，当x＝1时，有极大值3．（1）求a，b的值；（2）求函数y的极小值．18．甲、乙两人进行一场乒乓球比赛，根据以往比赛的胜负情况知道，每一局比赛甲胜的概率0.6，乙胜的概率为0.4，本场比赛采用三局两胜制．（1）求甲获胜的概率．（2）设ξ为本场比赛的局数，求ξ的概率分布和数学期望．19．某校为了加强体能训练，利用每天下午15﹣16点进行大课间活动．为了了解学生适应情况，他们采用给活动打分的方式（分数为整数，满分100分）．从中随机抽取一个容量为120的样本，发现所给数据均在[40，100]内，现将这些数据分成6组并绘制出如图所示的样本频率分布直方图．（Ⅰ）请将样本频率分布直方图补充完整，并求出样本的中位数与平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（Ⅱ）在该样本中，经统计有男同学70人，其中40人打分在[70，100]，女同学50人，其中20人打分在[70，100]，根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“对大课间活动的适应性跟性别有关”（分数在[70，100]内认为适应大课间活动）．适应不适应合计男同学女同学合计120附：，n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.1000.0500.0100.001k02.7063.8416.63510.828

420．已知椭圆的下焦点为F1、上焦点为F2，其离心率．过焦点F2且与x轴不垂直的直线l交椭圆于A、B两点．（1）求实数m的值；（2）求△ABO（O为原点）面积的最大值．21．已知四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为平行四边形，∠ABC＝60°，PA＝AB＝1，M为BC的中点，且三棱锥P﹣ABM的体积为．（1）求证：平面PAM⊥平面PMD；（2）设点E为四棱锥P﹣AMCD外接球的球心，求二面角P﹣AM﹣E的大小．22．已知函数f（x）＝ln（x﹣1）﹣k（x﹣1）+1（k∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）≤0在定义域内恒成立，求实数k的取值范围；（3）证明：+++…+＜（n≥2，n∈N*）．

5参考答案一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．已知复数z满足（1﹣i）z＝2i（其中i为虚数单位），则|z|＝（　　）A．B．C．D．2解：由（1﹣i）z＝2i，得z＝，∴|z|＝．故选：A．2．在（﹣x）6的二项式展开式中，常数项为（　　）A．160B．﹣160C．60D．﹣60解：展开式的常数项为C＝C＝20×8×（﹣1）＝﹣160，故选：B．3．某市重点中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则m+n的值是（　　）A．10B．11C．12D．13解：∵甲组学生成绩的平均数是88，∴由茎叶图可知78+86+84+88+95+90+m+92＝88×7，∴m＝3又乙组学生成绩的中位数是89，∴n＝9，∴m+n＝12．故选：C．4．已知R上可导函数f（x）的图象如图所示，则不等式（x2﹣2x﹣3）f′（x）＞0的解集为（　　）

6A．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，2）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（3，+∞）解：由图象可得：当f′（x）＞0时，函数f（x）是增函数，所以f′（x）＞0的解集为（﹣∞，﹣1），（1，+∞），当f′（x）＜0时，函数f（x）是减函数，所以f′（x）＜0的解集为（﹣1，1）．所以不等式f′（x）＜0即与不等式（x﹣1）（x+1）＜0的解集相等．由题意可得：不等式（x2﹣2x﹣3）f′（x）＞0等价于不等式（x﹣3）（x+1）（x+1）（x﹣1）＞0，所以原不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（3，+∞），故选：D．5．已知Z～N（10，4），则P（Z＜6）≈（　　）附：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）≈0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）≈0.9544．A．0.3174B．0.1587C．0.0456D．0.0228解：∵Z～N（10，4），∴μ＝10，σ＝2，∴P（6＜Z＜14）≈0.9544，∴P（Z＜6）＝．故选：D．6．第十一届全国少数民族传统体育运动会在河南郑州举行，某项目比赛期间需要安排3名志愿者完成5项工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有多少种（　　）A．60B．90C．120D．150解：根据题意，分2步进行分析①、将5项工作分成3组若分成1、1、3的三组，有＝10种分组方法，若分成1、2、2的三组，有＝15种分组方法，则将5项工作分成3组，有10+15＝25种分组方法；②、将分好的三组全排列，对应3名志愿者，有A33＝6种情况；所以不同的安排方式则有25×6＝150种，

7故选：D．7．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是A1D1，A1B1的中点，过直线BD的平面α∥平面AMN，则平面α截该正方体所得截面的面积为（　　）A．B．C．D．解：取B1C1的中点E，C1D1的中点F，连接EF，BE，DF，B1D1，则EF∥B1D1，B1D1∥BD，所以EF∥BD，故EFBD在同一平面内，连接ME，因为M，E分别为A1D1B1C1的中点，所以ME∥AB，且ME＝AB，所以四边形ABEM是平行四边形，所以AM∥BE，又因为BE⊂平面BDFE，AM不在平面BDFE内，所以AM∥平面BDFE，同理AN∥平面BDFE，因为AM∩AN＝A，所以平面AMN∥平面BDFE，即平面a截该正方体所得截面为平面BDFEBD＝，EF＝＝，DF＝，梯形BDFE如图：过E，F作BD的垂线，则四边形EFGH为矩形，∴FG＝＝＝，故四边形BDFE的面积为＝．故选：B．

88．已知函数，若方程f2（x）+tf（x）＝﹣1有四个不同的实数根，则实数t的取值范围是（　　）A．（﹣∞，﹣e）B．C．（﹣∞，﹣2）D．解：设，则，所以g（x）在（0，e）上递增，（e，+∞）上递减，且当x＜1时，g（x）＜0；当x＞1时，g（x）＞0；所以，所以f（x）在（0，1）上递减，（1，e）上递增，，（e，+∞）上递减．作出y＝f（x）的图象．设m＝f（x），方程转化为m2+tm+1＝0，根据条件，方程m2+tm+1＝0有两个实数根m1，m2，且满足0＜m1＜＜m2．令h（m）＝m2+tm+1，由h（0）＝1＞0，故只需即可，解得．故选：B．

9二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全对得5分，选错得0分，部分对得2分，请把答案填涂在答题卡相应位置上）9．如图是2020年2月15日至3月2日武汉市新增新冠肺炎确诊病例的折线统计图．则下列说法正确的是（　　）A．2020年2月19日武汉市新增新冠肺炎确诊病例大幅下降至三位数B．武汉市在新冠肺炎疫情防控中取得了阶段性的成果，但防控要求不能降低C．2020年2月19日至3月2日武汉市新增新冠肺炎确诊病例低于400人的有8天D．2020年2月15日到3月2日武汉市新增新冠肺炎确诊病例最多的一天比最少的一天多1549人解：对于A，由折线图可知，18日病例1660人，19日615人，大幅下降至三位数，故选项A正确；对于B，由折线图可知，病例人数呈大幅下降趋势，故防控取得了阶段性的成果，但防控要求不能降低，故选项B正确；对于C，由折线图可知，病例低于400人的有2月20日、21日、23日、25日、26日、27日、3月1日、2日，共8天，故选项C正确；对于D，由折线图可知，病例最多一天人数1660，比人数最少一天人数111，多了1579人，故选项D错误．故选：ABC．10．若（2x﹣1）10＝a0+a1x+a2x2+…+a10x10，x∈R，则（　　）A．a2＝180B．|a0|+|a1|+|a2|+…+|a10|＝310C．a1+a2+…+a10＝1D．解：∵（2x﹣1）10＝（﹣1+2x）10＝a0+a1x+a2x2+…+a10x10，x∈R，∴a2＝•2＝90，故A错误；

10|a0|+|a1|+|a2|+…+|a10|，即（2x+1）10的各项的和，令x＝1，可得（2x+1）10的各项的和为310，故B正确；∵a0＝＝1，故在（2x﹣1）10＝a0+a1x+a2x2+…+a10x10中，令x＝1，可得1+a1+a2+…+a10＝1，故a1+a2+…+a10＝0，故C错误；在（2x﹣1）10＝a0+a1x+a2x2+…+a10x10中，令x＝，可得1+++•••+＝0，故++•••+＝﹣1，故D正确，故选：BD．11．我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆，A1，A2，B1，B2为顶点，F1，F2为焦点，P为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆C为“黄金椭圆”的有（　　）A．|A1F1|，|F1F2|，|F2A2|为等比数列B．∠F1B1A2＝90°C．PF1⊥x轴，且PO∥A2B1D．四边形A1B2A2B1的内切圆过焦点F1，F2解：A中若成等比数列则（2c）2＝（a﹣c）（a﹣c），即2c＝a﹣c或2c＝c﹣a（舍），解得：＝≠，所以A不正确；B若∠F1B1A2＝90°，则由射影定理可得：OB12＝F1O•OA2，即b2＝ca，所以c2+ac﹣a2＝0，即e2+e﹣1＝0，e∈（0，1），解得e＝；所以B正确；

11C若PF1⊥x轴，如图可得P（﹣c，±），又PO∥A2B1，则斜率相等，所以＝，即b＝c，或＝﹣b，显然不符合，所以e＝＝＝，所以C不正确；D，因为四边形为菱形，若命题正确则内切圆的圆心为原点，由圆的对称性可知，圆心到直线A2B1的距离等于c，因为直线A2B1的方程为：＝1，即bx+ay﹣ab＝0，所以原点到直线的距离d＝，由题意知：＝c，又b2＝a2﹣c2，整理得：a2（a2﹣c2）＝c2（2a2﹣c2），e4﹣3e2+1＝0，e2∈（0，1），解得e2＝，所以e＝＝，所以D正确，故选：BD．12．关于函数f（x）＝+lnx，下列判断正确的是（　　）A．x＝2是f（x）的极大值点B．函数y＝f（x）﹣x有且只有1个零点C．存在正实数k，使得f（x）＞kx成立D．对任意两个正实数x1，x2，且x1＞x2，若f（x1）＝f（x2），则x1+x2＞4解：A．函数的定义域为（0，+∞），函数的导数f′（x）＝，∴（0，2）上，f′（x）＜0，函数单调递减，（2，+∞）上，f′（x）＞0，函数单调递增，∴x＝2是f（x）的极小值点，即A错误；

12B．y＝f（x）﹣x＝lnx﹣x，∴，函数在（0，+∞）上单调递减，且f（1）﹣1＝2+ln1﹣1＝1＞0，f（2）﹣2＝1+ln2﹣2＝ln2﹣1＜0，∴函数y＝f（x）﹣x有且只有1个零点，即B正确；C．若f（x）＞kx，可得．令g（x）＝，则g′（x）＝，令h（x）＝﹣4+x﹣xlnx，则h′（x）＝﹣lnx，∴在x∈（0，1）上，函数h（x）单调递增，x∈（1，+∞）上函数h（x）单调递减，∴h（x）⩽h（1）＜0，∴g′（x）＜0，∴在（0，+∞）上函数单调递减，函数无最小值，∴不存在正实数k，使得f（x）＞kx恒成立，即C不正确；D．令t∈（0，2），则2﹣t∈（0，2），2+t＞2，令g（t）＝f（2+t）﹣f（2﹣t）＝ln（2+t）ln（2﹣t）＝ln，则＝＝，∴g（t）在（0，2）上单调递减，则g（t）＜g（0）＝0，令x1＝2﹣t，由f（x1）＝f（x2），得x2＞2+t，则x1+x2＞2﹣t+2+t＝4，当x2≥4时，x1+x2＞4显然成立，∴对任意两个正实数x1，x2，且x2＞x1，若f（x1）＝f（x2），则x1+x2＞4，故D正确．故选：BD．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知i是虚数单位，复数的虚部为　﹣1　．解：＝，则复数的虚部为：﹣1．故答案为：﹣1．14．某车队有6辆车，现要调出4辆按一定的顺序出去执行任务，要求甲、乙两车必须参加，且甲车要先于乙车开出，则共有　72　种不同的调度方法．（用数字填写答案）解：由题意知，本题是一个计数原理的应用，当甲车排第①个时，乙车可排2、3、4号，有3种选择；

13当甲车排第②个时，乙车可排3、4号，有2种选择；当甲车排第③个时，乙车只可排4号，只有1种选择；除甲、乙两车外，在其余4辆车中任意选取2辆按顺序排列，有A42种选法；因此共有：（3+2+1）A42＝72种不同的调度方案．故答案为：72．15．某工厂为研究某种产品产量x（吨）与所需某种原材料y（吨）的相关性，在生产过程中收集4组对应数据（x，y）如表所示：（残差＝真实值﹣预测值）x3456y2.534m根据表中数据，得出y关于x的线性回归方程为：．据此计算出在样本（4，3）处的残差为﹣0.15，则表中m的值为　4.5　．解：由样本（4，3）处的残差为﹣0.15，即3﹣（0.7×4+a）＝﹣0.15，可得a＝0.35回归方程为：．样本平均数＝4.5，＝，即0.7×4.5+0.35＝，解得：m＝4.5．故答案为：4.5．16．已知函数的定义域为，若对任意的x1，，恒成立，则实数m的取值范围为　（﹣∞，4]　．解：对任意的x1，，恒成立，等价为m（x1+x2）＜||•x12x22，即m＜||恒成立．令g（）＝f（x）＝，

14由x∈（0，]，可得g（x）＝x+xlnx，x≥e2，g′（x）＝2+lnx≥4，又||＝||表示曲线y＝g（x）在[e2，+∞）上不同两点的割线的斜率的绝对值．则||＞4，即m≤4，m的取值范围是（﹣∞，4]．故答案为：（﹣∞，4]．四、解答题（本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知函数y＝ax3+bx2，当x＝1时，有极大值3．（1）求a，b的值；（2）求函数y的极小值．解：（1）y′＝3ax2+2bx，当x＝1时，y′|x＝1＝3a+2b＝0，y|x＝1＝a+b＝3，即（2）y＝﹣6x3+9x2，y′＝﹣18x2+18x，令y′＝0，得x＝0，或x＝1当x＞1或x＜0时，y′＜0函数为单调递减；当0＜x＜1时，y′＞0，函数单调递增．∴y极小值＝y|x＝0＝0．18．甲、乙两人进行一场乒乓球比赛，根据以往比赛的胜负情况知道，每一局比赛甲胜的概率0.6，乙胜的概率为0.4，本场比赛采用三局两胜制．（1）求甲获胜的概率．（2）设ξ为本场比赛的局数，求ξ的概率分布和数学期望．解：（1）甲获胜分为两种情况，即甲以2：0获胜或以2：1获胜，甲以2：0获胜的概率为P1＝0.62＝0.36甲以2：1获胜的概P2＝C21×0.6×0.4×0.6＝0.288故甲获胜的概率为P＝P＝0.36+0.288＝0.648（2）由题意知ξ的取值为2，3．P（ξ＝2）＝0.62+0.42＝0.36+0.16＝0.52P（ξ＝3）＝C210.62•0.4+C210.42•0.6＝0.288+0.192＝0.48

15∴ξ的分布为ξ23P0.520.48∴E（ξ）＝2×0.52+3×0.48＝2.48．19．某校为了加强体能训练，利用每天下午15﹣16点进行大课间活动．为了了解学生适应情况，他们采用给活动打分的方式（分数为整数，满分100分）．从中随机抽取一个容量为120的样本，发现所给数据均在[40，100]内，现将这些数据分成6组并绘制出如图所示的样本频率分布直方图．（Ⅰ）请将样本频率分布直方图补充完整，并求出样本的中位数与平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（Ⅱ）在该样本中，经统计有男同学70人，其中40人打分在[70，100]，女同学50人，其中20人打分在[70，100]，根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“对大课间活动的适应性跟性别有关”（分数在[70，100]内认为适应大课间活动）．适应不适应合计男同学女同学合计120附：，n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.1000.0500.0100.001k02.7063.8416.63510.828解：（Ⅰ）设[60，70]内的高为h，则10×（0.005+0.010+h+0.015+0.025+0.030）＝1，解得h＝0.015，故补全样本频率分布直方图如图所示：

16由（50﹣40）×0.005+（70﹣50）×0.015＝0.35，（100﹣90）×0.010+（90﹣80）×0.025＝0.35，则样本的中位数为75，平均数为＝（45×0.005+55×0.015+65×0.015+75×0.030+85×0.025+95×0.010）×10＝73.5；（Ⅱ）根据题中的数据可得2×2列联表如下：适应不适应合计男同学403070女同学203050合计6060120则K2＝，故有90%的把握认为“对大课间活动的适应性跟性别有关”．20．已知椭圆的下焦点为F1、上焦点为F2，其离心率．过焦点F2且与x轴不垂直的直线l交椭圆于A、B两点．（1）求实数m的值；（2）求△ABO（O为原点）面积的最大值．解：（1）由题意可得，b2＝1，a2＝m，因为离心率e＝＝，所以c＝×，因为a2＝b2+c2，所以m＝1+，解得m＝2．（2）由（1）知，椭圆E：x2+＝1，上焦点F2（0，1），设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程为：y＝kx+1，

17联立，得（k2+2）x2+2kx﹣1＝0，所以x1+x2＝，x1x2＝，所以|x1﹣x2|2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝（）2+＝＝，所以|x1﹣x2|＝，所以S△ABO＝•|x1﹣x2|×|OF2|＝××1＝＝＝≤，当且仅当＝，即k＝0时等号成立，所以△ABO（O为原点）面积的最大值为．21．已知四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为平行四边形，∠ABC＝60°，PA＝AB＝1，M为BC的中点，且三棱锥P﹣ABM的体积为．（1）求证：平面PAM⊥平面PMD；（2）设点E为四棱锥P﹣AMCD外接球的球心，求二面角P﹣AM﹣E的大小．解：（1）证明：设BC＝AD＝x，∵三棱锥P﹣ABM的体积为，∠ABC＝60°，∴＝，解得x＝2，

18∵AB＝1，BM＝，∠ABC＝60°，∴△ABM为等边三角形，即AM＝1，∵四边形ABCD为平行四边形，∠ABC＝60°，∴∠BCD＝120°，∵CM＝CD＝1，∴在△MCD中，运用余弦定理可得，MD＝，∵AM2+MD2＝AD2，∴AM⊥MD，又∵PA⊥底面ABCD，MD⊂底面ABCD，∴PA⊥MD，又∵PA∩AM＝A，∴MD⊥平面PMD，∵MD⊂平面PMD，∴平面PAM⊥平面PMD．（2）如图所示，连接AC∵在△ABC中，AB＝1，BC＝2，∴由余弦定理可得，AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cos60°＝3，即AC＝，∴AB2+AC2＝BC2，∴AB⊥AC，又∵PA⊥底面ABCD，∴PC＝，∴PC2+CD2＝12+22＝5＝PD2，即△PCD为直角三角形，由题意可知，△PAD为直角三角形，且由（1）可得，△PMD为直角三角形，取棱PD的中点F，连接FA，FM，FC，则有FP＝FD＝FA＝FM＝FC，

19∴四棱锥四棱锥P﹣AMCD外接球的球心E即为棱PD的中点F，取BM的中点G，连接AG，则AG⊥AD，以A为坐标原点，AG，AD，AP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），D（0，2，0），P（0，0，1），M（，，0），∵E为棱PD的中点，∴E（0，1，），设平面PAM的法向量为＝（x1，y1，z1），则，令y1＝，解得x1＝1，∴平面PAM的一个法向量为＝（1，﹣，0），设平面AME的法向量为＝（x2，y2，z2），则，取z2＝1，解得x2＝，y2＝，∴平面AME的法向量为，∴＝，∵二面角P﹣AM﹣E为锐二面角，∴二面角P﹣AM﹣E为60°．22．已知函数f（x）＝ln（x﹣1）﹣k（x﹣1）+1（k∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）≤0在定义域内恒成立，求实数k的取值范围；（3）证明：+++…+＜（n≥2，n∈N*）．解：（1）函数f（t）的定义域为（1，+∞），f′（x）＝﹣k．当k≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上是增函数；当k＞0时，若x∈（1，+1）时，有f′（x）＞0，

20若x∈（+1，+∞）时，有f′（x）＜0，则f（x）在（1，+1）上是增函数，在（+1，+∞）上是减函数．（2）由（1）知k≤0时，f（x）在（1，+∞）上是增函数，而f（2）＝1﹣k＞0，f（x）≤0不成立，故k＞0，又由（1）知f（x）的最大值为f（+1），要使f（x）≤0恒成立，则f（+1）≤0即可，即﹣lnk≤0，得k≥1；（3）当k＝1时，有f（x）≤0在（0，+∞）恒成立，且f（x）在（2，+∞）上是减函数，f（2）＝0，即ln（x﹣1）＜x﹣1﹣1在x∈（2，+∞）上恒成立，令x﹣1＝n2，则lnn2＜n2﹣1，即2lnn＜（n﹣1）（n+1），∴＜（n∈N*且n＞1）∴+++…+＜+++…+＝，即：成立．