重庆市第一中学2020-2021学年高二下学期期末考试数学Word版含解析

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2020-2021学年重庆一中高二（下）期末数学试卷一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．命题“∀x＞1，xsinx＜2x﹣1”的否定是（　　）A．∀x＞1，xsinx≥2x﹣1B．∀x≤1，xsinx＜2x﹣1C．∃x0≤1，x0sinx0≥﹣1D．∃x＞1，x0sinx0≥﹣12．函数f（x）＝2x+x+1在下面哪个区间一定存在零点（　　）A．（﹣3，﹣2）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣1，0）D．（0，1）3．已知集合A＝{x|x2+x﹣6≤0}，B＝{x|1﹣x≤2m}，且A∩B＝{x|﹣1≤x≤2}，则m＝（　　）A．2B．0C．﹣1D．14．设a＝30.8，b＝π0.8，c＝，则a，b，c的大小关系为（　　）A．c＜a＜bB．a＜b＜cC．c＜b＜aD．b＜a＜c5．已知函数f（x）＝loga（x2+2x﹣3），若f（3）＞0，则此函数的单调递增区间是（　　）A．（﹣∞，﹣3）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣1，+∞）D．（1，+∞）6．已知定义在R上的函数f（x+1）的图像关于直线x＝﹣1对称，当x≥0时，f（x）＝﹣x2﹣2x，若f（3﹣a）＞f（2a），则实数a的取值范围是（　　）A．（﹣3，1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）7．已知函数g（x）＝，f（x）＝|kx﹣2|﹣g（x）在（0，+∞）上有3个不同的零点，则实数k的取值范围是（　　）A．（4﹣8，+∞）B．（4﹣8，1）∪（1，+∞）C．（4﹣8，4）D．（4﹣8，1）∪（1，4）二、多项选择题：本大题共3小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。8．下列命题正确的是（　　）A．a+b≥2（ab＞0）

1B．若a＞b＞0，c＜d＜0，则ac＜bdC．使不等式1+＞0成立的一个充分不必要条件是x＜﹣1或x＞1D．若ai，bi，ci（i＝1，2）是全不为0的实数，则“”是“不等式a1x2+b1x+c1＞0和a2x2+b2x+c2＞0解集相同”的充分不必要条件9．关于函数f（x）＝lg（x≠0），则下列说法正确的是（　　）A．其图象关于y轴对称B．当x＞0时，f（x）是增函数；当x＜0时，f（x）是减函数C．f（x）的最小值是lg2D．f（x）无零点10．已知函数y＝f（x）的定义域为R且具有下列性质：①y＝f（x）是奇函数；②f（x+2）+f（4﹣x）＝f（3）；③当x∈（0，3），f（x）＝﹣，函数g（x）＝log12|x|．下列结论正确的是（　　）A．3是函数y＝f（x）的周期B．函数y＝f（x）在上单调递增C．函数y＝g（x）与函数y＝f（x）的图像的交点有8个D．函数y＝f（x）与函数y＝logax（a＞0，a≠1）的图像在区间（0，15）的交点有5个，则实数a＞三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，各题答案必须填写在答题卡相应的位置上。11．若幂函数f（x）＝（a2+a﹣5）xa在（0，+∞）上单调递减，则a＝　　．12．＝　　．13．已知函数f（x）＝，若f（x）在区间[m，3]上的值域为[﹣1，3]，则实数m的取值范围为　　．14．若正实数a，b，c满足ab＝a+2b，abc＝a+2b+c，则c的最大值为　　．四、解答题：本大题6个小题，共70分，各题解答必须答在答题卡相应题目指定方框内，并写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程。

215．已知集合A＝{x|3＜3x≤27}，命题p：≥0，满足命题p的元素组成集合B．（1）当a＝﹣1时，求A∩B；（2）若“￢p”是“x∈A”的充分条件，求实数a取值的集合．16．已知函数f（x）＝为定义在R上的奇函数．（1）求f（x）的解析式并判断函数f（x）的单调性；（2）若关于x的不等式f（）+f（t）＞0在R上恒成立，求t的取值范围．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PA＝PD，∠DAB＝60°．（1）证明：AD⊥PB；（2）若PB＝，AB＝PA＝2，求直线PB与平面PDC所成角的正弦值．18．2021年五一期间，某家具城举办了一次家具有奖促销活动，消费每超过1万元（含1万元），均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种．方案一：从装有10个形状与大小完全相同的小球（其中红球2个，白球1个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，则打6折；若摸出2个红球和1个黑球，则打7.2折；若摸出1个白球2个黑球，则打9.6折：其余情况不打折；方案二：从装有10个形状与大小完全相同的小球（其中红球2个，黑球8个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元．（1）若一位顾客消费了1万元，且选择抽奖方案一，试求该顾客享受7.2折优惠的概率；（2）若某顾客消费恰好满1万元，试分析该顾客选择哪种抽奖方案更合算，并说明理由．19．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0），F（，0）为其右焦点，过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为1．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l：y＝kx+m（﹣1＜k≤2）与椭圆C相交于A，B两点，＝+，其中点P在椭圆C上，O为坐标原点，求|OP|的取值范围．

320．已知函数，f'（x）是f（x）的导函数．（1）证明：当m＝2时，f'（x）在（0，+∞）上有唯一零点；（2）若存在x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2时，f（x1）＝f（x2），证明：．

4参考答案一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．命题“∀x＞1，xsinx＜2x﹣1”的否定是（　　）A．∀x＞1，xsinx≥2x﹣1B．∀x≤1，xsinx＜2x﹣1C．∃x0≤1，x0sinx0≥﹣1D．∃x＞1，x0sinx0≥﹣1解：命题为全称命题，则命题的否定为∃x＞1，x0sinx0≥﹣1，故选：D．2．函数f（x）＝2x+x+1在下面哪个区间一定存在零点（　　）A．（﹣3，﹣2）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣1，0）D．（0，1）解：∵y＝2x与y＝x+1均为R上的增函数，∴f（x）＝2x+x+1是R上的增函数，又f（﹣3）＝＜0，f（﹣2）＝＜0，f（﹣1）＝＞0，f（0）＝20+1＝2＞0，f（1）＝21+1+1＝4＞0，∴f（x）一定存在零点的区间为（﹣2，﹣1）．故选：B．3．已知集合A＝{x|x2+x﹣6≤0}，B＝{x|1﹣x≤2m}，且A∩B＝{x|﹣1≤x≤2}，则m＝（　　）A．2B．0C．﹣1D．1解：∵A＝{x|﹣3≤x≤2}，B＝{x|x≥1﹣2m}，A∩B＝{x|﹣1≤x≤2}，∴1﹣2m＝﹣1，解得m＝1．故选：D．4．设a＝30.8，b＝π0.8，c＝，则a，b，c的大小关系为（　　）A．c＜a＜bB．a＜b＜cC．c＜b＜aD．b＜a＜c解：∵π0.8＞30.8＞30＝1，，∴c＜a＜b．故选：A．5．已知函数f（x）＝loga（x2+2x﹣3），若f（3）＞0，则此函数的单调递增区间是（　　）

5A．（﹣∞，﹣3）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣1，+∞）D．（1，+∞）解：∵函数f（x）＝loga（x2+2x﹣3），若f（3）＝loga12＞0，则a＞1，此函数的单调递增区间，即t＝x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1）在满足t＞0的条件下，函数t的增区间．再利用二次函数的性质可得，在满足t＞0的条件下，函数t的增区间为（1，+∞），故函数的增区间为（1，+∞），故选：D．6．已知定义在R上的函数f（x+1）的图像关于直线x＝﹣1对称，当x≥0时，f（x）＝﹣x2﹣2x，若f（3﹣a）＞f（2a），则实数a的取值范围是（　　）A．（﹣3，1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）解：∵函数f（x+1）的图像关于直线x＝﹣1对称，∴将函数f（x+1）的图像向右平移一个单位得到f（x），此时f（x）关于直线x＝0对称，即f（x）是偶函数，当x≥0时，f（x）＝﹣x2﹣2x＝﹣（x+1）2+1，则此时f（x）′为减函数，则f（3﹣a）＞f（2a），等价为f（|3﹣a|）＞f（|2a|），即|3﹣a|＜|2a|，平方得9﹣6a+a2＜4a2，得3a2+6a﹣9＞0，即a2+2a﹣3＞0，得a＞1或a＜﹣3，故选：C．7．已知函数g（x）＝，f（x）＝|kx﹣2|﹣g（x）在（0，+∞）上有3个不同的零点，则实数k的取值范围是（　　）A．（4﹣8，+∞）B．（4﹣8，1）∪（1，+∞）C．（4﹣8，4）D．（4﹣8，1）∪（1，4）解：∵f（x）＝|kx﹣2|﹣g（x）在（0，+∞）上有3个不同的零点，∴|kx﹣2|＝g（x）在（0，+∞）上有3个不同的解，当k＝0时，g（x）＝2，显然有3个不同的解，当k≥4时，由图可知，函数y＝|kx﹣2|和y＝g（x）在（0，+∞）上有2个不同的交点，如下图所示，不合题意，

6当1＜k＜4时，由图可知，函数y＝|kx﹣2|和y＝g（x）在（0，+∞）上有3个不同的交点，如下图所示，当k＝1时，由图可知，函数y＝|kx﹣2|和y＝g（x）在（0，+∞）上有2个不同的交点，如下图所示，不合题意，当0＜k＜1时，由图可知，函数y＝|kx﹣2|和y＝g（x）在（0，+∞）上有2个不同的交点，如下图所示，不合题意，

7当k＜0时，由图可知，要使|kx﹣2|＝g（x）在（0，+∞）上有3个不同的解，必须满足y＝|kx﹣2|与y＝﹣4x2+8x（0＜x≤2）有两个不同的交点，当y＝|kx﹣2|与y＝﹣4x2+8x（0＜x≤2）相切时，满足|kx﹣2|＝﹣4x2+8x有唯一根，如下图所示，此时2﹣kx＝﹣4x2+8x有唯一解，由△＝0可求得k＝或k＝（舍去），∴＜k＜0，综上所述，＜k＜1或1＜k＜4．故选：D．二、多项选择题：本大题共3小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。8．下列命题正确的是（　　）A．a+b≥2（ab＞0）B．若a＞b＞0，c＜d＜0，则ac＜bdC．使不等式1+＞0成立的一个充分不必要条件是x＜﹣1或x＞1D．若ai，bi，ci（i＝1，2）是全不为0的实数，则“”是“不等式a1x2+b1x+c1＞0和a2x2+b2x+c2＞0解集相同”的充分不必要条件解：对于A：当a＞0，b＞0时，a+b≥2成立，故A错误；

8对于B：由于c＜d＜0，所以﹣c＞﹣d＞0，故﹣ac＞﹣bd，整理得：ac＜bd，故B正确；对于C：不等式1+＞0，整理得，解得x＞0或x＜﹣1，由于A＝{x|x＜﹣1或x＞1}⊂B＝{x|x＞0或x＜﹣1}，故不等式1+＞0成立的一个充分不必要条件是x＜﹣1或x＞1，故C正确；对于D：若ai，bi，ci（i＝1，2）是全不为0的实数，则“”是“不等式a1x2+b1x+c1＞0和a2x2+b2x+c2＞0解集相同”的充分必要条件，故D错误；故选：BC．9．关于函数f（x）＝lg（x≠0），则下列说法正确的是（　　）A．其图象关于y轴对称B．当x＞0时，f（x）是增函数；当x＜0时，f（x）是减函数C．f（x）的最小值是lg2D．f（x）无零点解：对于函数f（x）＝lg（x≠0），如图所示：对于A：根据函数的图象，图象关于y轴对称，故A正确；对于B：当x∈（﹣1，0）和（1，+∞）上单调递增，在x∈（﹣∞，1）和（0，1）上单调递减，故B错误；对于C：当x＝1时，函数的最小正值为lg2．对于D：根据函数的图象，与x轴没有交点，故函数没有零点，故D正确；故选：ACD．10．已知函数y＝f（x）的定义域为R且具有下列性质：①y＝f（x）是奇函数；②f（x+2）+f（4﹣x）＝f（3）；

9③当x∈（0，3），f（x）＝﹣，函数g（x）＝log12|x|．下列结论正确的是（　　）A．3是函数y＝f（x）的周期B．函数y＝f（x）在上单调递增C．函数y＝g（x）与函数y＝f（x）的图像的交点有8个D．函数y＝f（x）与函数y＝logax（a＞0，a≠1）的图像在区间（0，15）的交点有5个，则实数a＞解：对A：因为f（x+2）+f（4﹣x）＝f（3），所以令x＝1，可得f（3）+f（3）＝f（3），即f（3）＝0，故f（x+2）+f（4﹣x）＝0，则f（x+3）+f（3﹣x）＝0，即f（3﹣x）＝﹣f（x+3），因为f（x）为奇函数，所以f（3﹣x）＝﹣f（x﹣3），则f（x+3）＝f（x﹣3），所以f（x+6）＝f（x），即函数f（x）的周期为6，故A错误；对B、C：令x∈（﹣3，0），则﹣x∈（0，3），则f（﹣x）＝，又因为函数f（x）为奇函数，故f（x）＝﹣f（x）＝，再根据其周期为6，分别作出函数f（x）与g（x）的图像如下：数形结合，可得函数f（x）在上单调递增，且两函数图像共有8个交点，故B、C正确；对D：作出函数f（x）在（0，15）的图像如下：若函数y＝f（x）与函数y＝logax（a＞0，a≠1）的图像在区间（0，15）的交点有5个，由图可得实数a＞或0＜a＜，故D错误．

10故选：BC．三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，各题答案必须填写在答题卡相应的位置上。11．若幂函数f（x）＝（a2+a﹣5）xa在（0，+∞）上单调递减，则a＝　﹣3　．解：由题意a2+a﹣5＝1，解得：a＝﹣3或a＝2，又函数f（x）是减函数，故a＝﹣3，故答案为：﹣3．12．＝　　．解：原式＝log4（5+2﹣log23+log26）＝．故答案为：．13．已知函数f（x）＝，若f（x）在区间[m，3]上的值域为[﹣1，3]，则实数m的取值范围为　[﹣81，1]　．解：函数f（x）＝，作出函数f（x）的图象如图所示，当x≤﹣1时，令，解得x＝﹣1，令，解得x＝﹣81，当x＞﹣1时，令﹣x2+2x+2＝﹣1，解得x＝3，令﹣x2+2x+2＝3，解得x＝1．因为f（x）在区间[m，3]上的值域为[﹣1，3]，结合图象可得，实数m的取值范围为[﹣81，1]．故答案为：[﹣81，1]．

1114．若正实数a，b，c满足ab＝a+2b，abc＝a+2b+c，则c的最大值为　　．解：∵ab＝a+2b，a＞0，b＞0，∴ab≥8，∴1＜，∵abc＝a+2b+c，∴（ab﹣1）c＝a+2b，∴c＝＝＝1+的最大值．故答案为：四、解答题：本大题6个小题，共70分，各题解答必须答在答题卡相应题目指定方框内，并写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程。15．已知集合A＝{x|3＜3x≤27}，命题p：≥0，满足命题p的元素组成集合B．（1）当a＝﹣1时，求A∩B；（2）若“￢p”是“x∈A”的充分条件，求实数a取值的集合．解：（1）∵3＜3x≤27，∴1＜x≤3，∴A＝{x|1＜x≤3}，当a＝﹣1时，命题p：≥0，∴x＞1或x≤﹣1，∴B＝{x|x＞1或x≤﹣1}，∴A∩B＝{x|1＜x≤3}．（2）∵命题p：≥0，∴x＞a+2或x≤a，∴￢p：a＜x≤a+2，若￢p是x∈A的充分条件，则，∴a＝1，∴实数a取值的集合{1}．16．已知函数f（x）＝为定义在R上的奇函数．（1）求f（x）的解析式并判断函数f（x）的单调性；

12（2）若关于x的不等式f（）+f（t）＞0在R上恒成立，求t的取值范围．解：（1）函数f（x）＝为定义在R上的奇函数，可得f（0）＝0，即1﹣a＝0，解得a＝1，所以f（x）＝，f（﹣x）＝＝＝﹣f（x），即有f（x）为R上的奇函数，故a＝1，f（x）＝；由f（x）＝1﹣，y＝2x+1在R上递增，可得y＝f（x）在R上为增函数；（2）f（）+f（t）＞0在R上恒成立，即为f（）＞﹣f（t）＝f（﹣t）在R上恒成立．所以＞﹣t在R上恒成立，则﹣t＜（）min，由y＝＝＝（ex+1）+﹣1，因为ex+1＞1，所以ex+1+≥4，则y≥3，所以﹣t＜3，即t＞﹣3，可得t的取值范围是（﹣3，+∞）．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PA＝PD，∠DAB＝60°．（1）证明：AD⊥PB；（2）若PB＝，AB＝PA＝2，求直线PB与平面PDC所成角的正弦值．

13解：（1）证明：取AD中点O，连结PO，BO，BD，∵底面ABCD是菱形，且∠DAB＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴PO⊥AD，∵PA＝PD，∴△PAD是等腰三角形，∴PO⊥AD，∵PO∩BO＝O，∴AD⊥平面PBO，∵PB⊂平面PBO，∴AD⊥PB．（2）解：∵AB＝PA＝2，∴由（1）知△PAB，△ABD中边长为2的正三角形，则PO＝，BO＝，∵PB＝，∴PO2+BO2＝PB2，即PO⊥BO，又由（1）知，BO⊥AD，PO⊥AD，∴以O为原点，OA，OB，OP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图，则D（﹣1，0，0），P（0，0，），C（﹣2，，0），B（0，，0），＝（0，），＝（1，0，），＝（1，﹣，0），设＝（x，y，z）是平面PCD，∴，取y＝1，得＝（），设直线PB与平面PDC所成角为θ，则sinθ＝＝＝，∴直线PB与平面PDC所成角的正弦值为．

1418．2021年五一期间，某家具城举办了一次家具有奖促销活动，消费每超过1万元（含1万元），均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种．方案一：从装有10个形状与大小完全相同的小球（其中红球2个，白球1个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，则打6折；若摸出2个红球和1个黑球，则打7.2折；若摸出1个白球2个黑球，则打9.6折：其余情况不打折；方案二：从装有10个形状与大小完全相同的小球（其中红球2个，黑球8个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元．（1）若一位顾客消费了1万元，且选择抽奖方案一，试求该顾客享受7.2折优惠的概率；（2）若某顾客消费恰好满1万元，试分析该顾客选择哪种抽奖方案更合算，并说明理由．解：（1）∵摸出2个红球和1个黑球，则打7.2折，∴顾客享受7.2折优惠的概率P＝．（2）选择方案一，设所付金额为X元，则X的所有可能取值为6000，7200，9600，10000，P（X＝6000）＝，P（X＝7200）＝，P（X＝9600）＝，P（X＝10000）＝，E（X）＝，选择方案二，设摸到的红球的个数为Y，所付金额为Z，Z＝10000﹣2000Y，Y～B（3，），E（Y）＝，E（Z）＝10000﹣2000E（Y）＝8800，∵E（X）＞E（Z），∴第二种方案更省钱．19．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0），F（，0）为其右焦点，过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为1．

15（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l：y＝kx+m（﹣1＜k≤2）与椭圆C相交于A，B两点，＝+，其中点P在椭圆C上，O为坐标原点，求|OP|的取值范围．解：（1）把x＝c，代入椭圆C：＝1（a＞b＞0），解得y＝±，所以过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为＝1，所以2b2＝a，①由c＝②，a2＝b2+c2，③由①②③解得b2＝1或﹣（舍）所以a2＝4，所以椭圆C：+y2＝1．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），由已知得＝+，所以x0＝x1+x2，y0＝y1+y2，由，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，所以x1+x2＝，所以y1+y2＝k（x1+x2）+2m＝，又x02+4y02＝4，所以+＝4，解得m2＝，又△＝64k2m2﹣16（1+4k2）（m2﹣1）＝16（1+4k2﹣m2）＝12（1+4k2）＞0，所以|OP|2＝x02+y02＝4﹣3y02＝4﹣＝4﹣，因为0≤|k|≤2，所以1≤1+4k2≤17，所以1≤4﹣≤，1≤|OP|2≤，

16所以|OP|的取值范围是[1，]．20．已知函数，f'（x）是f（x）的导函数．（1）证明：当m＝2时，f'（x）在（0，+∞）上有唯一零点；（2）若存在x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2时，f（x1）＝f（x2），证明：．【解答】证明：（1）当m＝2时，，，当x∈（0，π）时，f'（x）为增函数，且，，∴f'（x）在（0，π）上有唯一零点，当x∈[π，+∞）时，，∴f'（x）在[π，+∞）上没有零点，综上知，f'（x）在（0，+∞）上有唯一零点；（2）不妨设0＜x1＜x2，由f（x1）＝f（x2）得＝，∴，设g（x）＝x﹣sinx，则g'（x）＝1﹣cosx≥0，故g（x）在（0，+∞）为增函数，∴x2﹣sinx2＞x1﹣sinx1，从而x2﹣x1＞sinx2﹣sinx1，∴＝，∴，下面证明：，令，则t＞1，即证明，只要证明，（*）设，则，∴h（t）在（1，+∞）单调递减，当t＞1时，h（t）＜h（1）＝0，从而（*）得证，即，∴，即．

17