广东省东莞市2020-2021学年高二下学期教学检查（期末考试）数学Word版含解析

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广东省东莞市2020-2021学年高二下学期期末教学质量检查数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题給出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.1．已知函数f（x）＝cosx﹣sinx，则f'（x）＝（　　）A．﹣sinx+cosxB．sinx﹣cosxC．sinx+cosxD．﹣sinx﹣cosx2．设随机变量X服从正态分布N（3，16），若P（X＞c）＝P（X＜3），则c＝（　　）A．1B．2C．3D．43．A，B，C，D，E等5名学生进入学校劳动技能大赛决赛，并决出第一至第五名的名次（无并列名次）．已知学生A和B都不是第一名也都不是最后一名，则这5人最终名次的不同排列有（　　）A．18种B．36种C．48种D．54种4.某企业建立了风险分级管控和隐患排查治理的双重独立预防机制，已知两套机制失效的概率分别为和，则恰有一套机制失效的概率为（）A.B.C.D.5.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，毎一卦由六爻组成.有一种“金钱起卦法”，其做法为：取两枚相同的钱币合于双手中，上下摇动数下，再撒钱币到桌面或平盘等硬物上，此为一爻，重复六次，得到六爻.两枚钱币全部正面向上称为变爻，若每一枚钱币正面向上的概率为，则一卦中恰有两个变爻的概率为（）A.B.C.D.6.展开式中的常数项为（）A.-40B.-20C.20D.407．某放射性同位素在衰变过程中，其含量N（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足函数关系，其中N0为t＝0时该同位素的含量．已知t＝24时，该同位素含量的瞬时变化率为﹣e﹣1，则N（120）＝（　　）A．24贝克B．24e﹣5贝克C．1贝克D．e﹣5贝克

18．已知函数f（x）＝ex﹣2，g（x）＝1+lnx，若存在实数t1，t2使得f（t1）＝g（t2），则t1﹣t2的最大值为（　　）A．ln2B．1C．1+ln2D．2+ln2﹣e二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑9.下列结论正确的是（）A.若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1B.样本的回归直线至少经过其中一个样本点C.在回归方程中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量平均增加0.2个单位D.在线性回归模型中，用相关指数刻画拟合效果，的值越小，模型的拟合效果越好10．已知复数z满足|z|＝1，则|z﹣1﹣i|的可能取值有（　　）A．0B．1C．2D．311．如图是函数f（x）的导函数f'（x）的图象，则下列结论正确的是（　　）A．f（0）＞f（1）B．x＝1是f（x）的极小值点C．x＝﹣1是f（x）的极小值点D．x＝﹣3是f（x）的极大值点12．将3个不同的小球随机放入4个不同的盒子，用ξ表示空盒子的个数，则下列结论正确的是（　　）A.B.C.D.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡的相应位置上.13．在两名男生与三名女生中随机抽取两人进行某项体能测试，则在第1次抽到男生的条件下，第2次抽到女生的概率为　　．14．若复数（i是虚数单位）是纯虚数，则实数a＝　　．15.已知图2是“杨辉三角”，图3是“莱布尼茨三角”，两个“三角”之间具有关联性.已知“杨辉三角”中第n行第个数为，则“莱布尼茨三角”中第n行第个数为__________；已知“杨辉三角”

2中第n行和第行中的数满足关系式，类比写出“莱布尼茨三角”中第n行和第行中的数满足的关系式_______________．16．若f（x）＝ax与的图象有且仅有两个公共点，则实数a的取值范围为　　．四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分.解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效.17．已知函数f（x）＝x3+2x2+x+2．（1）求函数f（x）的极值；（2）若对任意的都有f（x）＜c成立，求c的取值范围．18．已知复数z1＝a+bi（a，b∈R），z2＝c+di（c，d∈R）．（1）当a＝1，b＝﹣1，c＝1，d＝2时，求|z1|，|z2|，|z1•z2|；（2）根据（1）的计算结果猜想|z1•z2|与|z1|•|z2|的关系，并证明该关系的一般性；（3）结合（2）的结论进行类比或推广，写出一个复数的模的运算性质（不用证明）．19．为了了解员工长假的出游意愿，某单位从“70后”至“00后”的人群中按年龄段分层抽取了100名员工进行调查．调查结果如图4所示，已知每个员工仅有“有出游意愿”和“无出游意愿”两种回答，且样本中“00后”与“90后”员工占比分别为10%和30%．（1）现从“00后样本中随机抽取3人，记3人中“无出游意愿”的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期；（2）若把“00后”和“90后”定义为青年，“80后”和“70后”定义为中年，结合样本数据完成2×2列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为该单位员工长假的出游意愿与年龄段有关？

3有出游意愿无出游意愿合计青年中年合计附：P（K2≥k0）0.0500.0100.0050.001k03.8416.6357.87910.828，其中n＝a+b+c+d．20．已知函数f（x）＝lnx+ax．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若a＞0，且g（x）＝f（x）﹣sinx在上有且仅有1个极值点，求a的取值范围．21．共享单车以低碳、环保、节能、健康的理念，成为解决市民出行“最后一公里”的有力手段．某公司调研部门统计了最近5个季度本公司的共享单车使用次数（万次），结果如下：季度序号x12345使用次数y（万次）11.21.51.82.2（1）（i）根据上表，画出散点图并根据所画散点图，判断能否用线性回归模型拟合使用次数y与季度序号x之间的关系，如果能，求出y关于x的线性回归方程；如果不能，请说明理由．

4（ii）如果你是公司主管领导，你会在下一季度向市场增加投放共享单车吗？请说明理由．（2）为进一步开拓市场做准备，公司目前接受报价的有两款车型：A型单车每辆500元，第一年收入500元，以后逐年递减80元；B型单车每辆300元，第一年收入500元，以后逐年递减100元．经市场调研，两款车型使用寿命频数统计如表：车型\使用寿命1年2年3年4年总计A10203040100B10353025100不考虑除采购成本以外的其它成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，用频率估计概率，以1辆单车所产生的利润的数学期望为决策依据，如果你是公司负责人，会选择哪款车型？参考数据：，.参考公式：，.22．已知函数f（x）＝x2﹣x﹣xlnx，g（x）＝x3﹣3ax+e．（1）证明f（x）≥0恒成立；（2）用max{m，n}表示m，n中的最大值．已知函数，记函数φ（x）＝max{h（x），g（x）}，若函数φ（x）在（0，+∞）上恰有2个零点，求实数a的取值范围．

5参考答案一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．已知函数f（x）＝cosx﹣sinx，则f'（x）＝（　　）A．﹣sinx+cosxB．sinx﹣cosxC．sinx+cosxD．﹣sinx﹣cosx【分析】由导数运算公式可解决此题．解：f′（x）＝（cosx）′﹣（sinx）′＝﹣sinx﹣cosx．故选：D．2．设随机变量X服从正态分布N（3，16），若P（X＞c）＝P（X＜3），则c＝（　　）A．1B．2C．3D．4【分析】利用正态分布曲线的对称性以及参数μμ，σ的含义进行分析求解，即可得到答案．解：因为P（X＞c）＝P（X＜3），所以，解得c＝3．故选：C．3．A，B，C，D，E等5名学生进入学校劳动技能大赛决赛，并决出第一至第五名的名次（无并列名次）．已知学生A和B都不是第一名也都不是最后一名，则这5人最终名次的不同排列有（　　）A．18种B．36种C．48种D．54种【分析】先排乙，有3种情况；再排甲，有2种情况；余下3人有A33种排法，最后相乘即可求解．解：由题意，甲、乙都不是第一名且不是最后一名；故先排乙，有3种情况；再排甲，有2种情况；余下3人有A33种排法．故共有3×2×A33＝36种不同的情况．故选：B．4．某企业建立了风险分级管控和隐患排查治理的双重独立预防机制，已知两套机制失效的概率分别为和，则恰有一套机制失效的概率为（　　）A．B．C．D．【分析】利用分类计数原理以及相互独立事件的概率乘法公式求解即可．

6解：因为两套机制是相互独立的，且两套机制失效的概率分别为和，则恰有一套机制失效的概率为．故选：C．5．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一卦由六爻组成．有一种“金钱起卦法”，其做法为：取两枚相同的钱币合于双手中，上下摇动数下，再撒钱币到桌面或平盘等硬物上，此为一爻，重复六次，得到六爻．两枚钱币全部正面向上称为变爻，若每一枚钱币正面向上的概率为，则一卦中恰有两个变爻的概率为（　　）A．B．C．D．【分析】先求出变爻的概率，利用六爻实际为6次独立重复试验，由此求出一卦中恰有两个变爻的概率即可．解：由题意可知变爻的概率为，因为六爻实际为6次独立重复试验，所以一卦中恰有两个变爻的概率为＝．故选：A．6．（）（2x）5的展开式中常数项为（　　）A．﹣40B．﹣20C．20D．40【分析】由（2x）5的通项公式Tr+1＝＝，求出其含有x与的项，进而得到常数项．解：由（2x）5的通项公式Tr+1＝＝，①当5﹣2r＝﹣1即r＝3时，＝﹣40．②当5﹣2r＝1即r＝2时，＝80．∴（）（2x）5的展开式中常数项＝﹣40+80＝40．故选：D．7．某放射性同位素在衰变过程中，其含量N（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足函数关系

7，其中N0为t＝0时该同位素的含量．已知t＝24时，该同位素含量的瞬时变化率为﹣e﹣1，则N（120）＝（　　）A．24贝克B．24e﹣5贝克C．1贝克D．e﹣5贝克【分析】先求出N'（t），然后利用利用N'（24）＝﹣e﹣1，求出N0，再求解N（120）即可．解：因为，则，因为t＝24时，该同位素含量的瞬时变化率为﹣e﹣1，则，所以N0＝24，故N（120）＝贝克．故选：B．8．已知函数f（x）＝ex﹣2，g（x）＝1+lnx，若存在实数t1，t2使得f（t1）＝g（t2），则t1﹣t2的最大值为（　　）A．ln2B．1C．1+ln2D．2+ln2﹣e【分析】设f（t1）＝g（t2）＝t，用t表示出t1﹣t2，构造函数h（t）＝2+lnt﹣et﹣1（t＞0），利用导数研究h（t）的单调性以及最值，即可得到答案．解：设f（t1）＝g（t2）＝t，则，所以t1＝2+lnt，，故，令h（t）＝2+lnt﹣et﹣1（t＞0），则，h''（t）＝恒成立，则h'（t）在（0，+∞）上单调递减，且h'（1）＝0，当0＜t＜1时，h'（t）＞0，则h（t）单调递增，当t＞1时，h'（t）＜0，则h（t）单调递减，所以h（t）在t＝1处取得极大值，即最大值，故h（t）的最大值为h（1）＝2+ln1﹣e1﹣1＝1，所以t1﹣t2的最大值为1．

8故选：B．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑9．下列结论正确的是（　　）A．若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则相关系数r的绝对值|r|越接近于1B．样本（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），⋯，（xn，yn）的回归直线至少经过其中一个样本点C．在回归方程中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量平均增加0.2个单位D．在线性回归模型中，用相关指数R2刻画拟合效果，R2的值越小，模型的拟合效果越好【分析】根据线性相关性判断A；回归直线方程的性质判断B；回归直线方程的性质判断C；根据相关指数R2越大拟合效果越好，可判定D．解：两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则相关系数r的绝对值|r|越接近于1，满足相关关系的性质，所以A正确；样本（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），⋯，（xn，yn）的回归直线不一定经过其中一个样本点，故B不正确；在回归方程中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量平均增加0.2个单位，满足回归直线方程的性质，故C正确；R2越大拟合效果越好，故B不正确，故D不正确；故选：AC．10．已知复数z满足|z|＝1，则|z﹣1﹣i|的可能取值有（　　）A．0B．1C．2D．3【分析】由已知可得|z﹣1﹣i|的几何意义是单位圆上的点与（1，1）的距离之和，进而可以求解．解：复数z满足|z|＝1，则|z﹣1﹣i|的几何意义是单位圆上的点与（1，1）的距离之和，所以和的最大值为原点与（1，1）的距离加半径，即+1，和的最小值为原点与（1，1）的距离减去半径，即﹣1，所以|z﹣1﹣i|的取值范围为[]，故1，2满足题意，0，3不满足，故选：BC．

911．如图是函数f（x）的导函数f'（x）的图象，则下列结论正确的是（　　）A．f（0）＞f（1）B．x＝1是f（x）的极小值点C．x＝﹣1是f（x）的极小值点D．x＝﹣3是f（x）的极大值点【分析】根据导数值与0的关系判断各个选项即可．解：由图象得：﹣3＜x＜﹣1时，f′（x）＜0，﹣1＜x时，f′（x）≥0，其中f′（1）＝0，∴f（x）在（﹣3，﹣1）递减，在（﹣1，+∞）递增，f（0）＜f（1），所以A不正确；x＝1不是f（x）的极小值点，所以B不正确；x＝﹣1是f（x）的极小值点，所以C正确；x＝﹣3是f（x）的极大值点，所以D正确；故选：CD．12．将3个不同的小球随机放入4个不同的盒子，用ξ表示空盒子的个数，则下列结论正确的是（　　）A．B．C．D．【分析】分别计算出ξ＝1，ξ＝2，ξ＝3的概率，再结合期望公式，即可求解．解：当ξ＝1时，把三个小球放在4个不同的盒子里，3个小球恰在3个不同的盒子内的方法有＝24种，将三个不同的小球随意放入4个不同的盒子里的所有方法有4×4×4＝64种，则3个小球恰在3个不同的盒子内的概率为，即P（ξ＝1）＝，故选项正确，当ξ＝3时，即表示三个不同的小球同时放入其中的一个盒子中，共有4种情况，则P（ξ＝3）＝＝，故C选项错误，∵ξ的取值只可能为1，2，3，∴P（ξ＝2）＝，故B选项错误，E（ξ）＝，故D选项正确．故选：AD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡的相应位置上.

1013．在两名男生与三名女生中随机抽取两人进行某项体能测试，则在第1次抽到男生的条件下，第2次抽到女生的概率为　　．【分析】利用条件概率的含义结合古典概型的概率公式求解即可．解：因为第一次抽到的是男生，所以还剩下1名男生和3名女生，故第2次抽到女生的概率为．故答案为：．14．若复数（i是虚数单位）是纯虚数，则实数a＝　1　．【分析】先利用复数的除法运算进行化简，然后由纯虚数的定义求解即可．解：复数＝为纯虚数，所以2a﹣2＝0且a+4≠0，所以a＝1．故答案为：1．15．已知图1是“杨辉三角”，图2是“莱布尼茨三角”，两个“三角”之间具有关联性．已知“杨辉三角”中第n行第r+1个数为，则“莱布尼茨三角”中第n行第r+1个数为　　；已知“杨辉三角”中第n行和第n+1行中的数满足关系式，类比写出“莱布尼茨三角”中第n行和第n+1行中的数满足的关系式　　．【分析】对照图1和图2，可得图2中的每一数的分母即为图1中的对应数的2倍，3倍，...，（n+1）倍，第n行第r+1个数即为第n+1行第r+1个数和第r+2个数的和．可得所求结论．解：对照图1和图2，可得图2中的每一数的分母即为图1中的对应数的2倍，3倍，...，（n+1）倍，所以“莱布尼茨三角”中第n行第r+1个数为；

11由图2可得，第n行第r+1个数即为第n+1行第r+1个数和第r+2个数的和．即为+＝．故答案为：；+＝．16．若f（x）＝ax与的图象有且仅有两个公共点，则实数a的取值范围为　　．【分析】若f（x）＝ax与的图象有且仅有两个公共点，a＝有两个根，令g（x）＝，（x＞0），求导分析单调性，最值，作出g（x）大致图象，结合图象即可得出答案．解：若f（x）＝ax与的图象有且仅有两个公共点，则ax＝有两个根，即a＝有两个根，令g（x）＝，（x＞0）g′（x）＝＝，所以在（0，e）上，g′（x）＞0，g（x）单调递增，在（e，+∞）上，g′（x）＜0，g（x）单调递减，所以g（x）max＝g（e）＝＝，又在（0，1）上g（x）＜0；在（1，+∞）上g（x）＞0，作出g（x）大致图象：

12所以实数a的取值范围为（0，）．故答案为：（0，）．四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分.解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效.17．已知函数f（x）＝x3+2x2+x+2．（1）求函数f（x）的极值；（2）若对任意的都有f（x）＜c成立，求c的取值范围．【分析】（1）求出导函数，求解极值点，判断函数的单调性，然后求解函数的极值即可．（2）由（1）求出函数的极值以及端点值，即可得到函数的最值，然后推出c的范围即可．解：（1）因为f（x）＝x3+2x2+x+2，所以f'（x）＝3x2+4x+1，．…………………………（1分）令f'（x）＝0，解得或x＝﹣1，当f'（x）＞0，即或x＜﹣1；当f'（x）＜0，即，．………………………………故f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1）和，单调递减区间为，．………………所以，x＝﹣1时，f（x）有极大值f（﹣1）＝2，．………………………………………………当时，f（x）有极小值．……………………………………………………（2）由（1）知f（x）在上单调递减，在上单调递增，．…………………………

13又，f（1）＝6，．…………………………………………………………………………所以时，f（x）max＝6，．……………………………………………………………………因为对任意的都有f（x）＜c成立，所以c＞6．………………………………………………18．已知复数z1＝a+bi（a，b∈R），z2＝c+di（c，d∈R）．（1）当a＝1，b＝﹣1，c＝1，d＝2时，求|z1|，|z2|，|z1•z2|；（2）根据（1）的计算结果猜想|z1•z2|与|z1|•|z2|的关系，并证明该关系的一般性；（3）结合（2）的结论进行类比或推广，写出一个复数的模的运算性质（不用证明）．【分析】（1）把a＝1，b＝﹣1，c＝1，d＝2代入，利用复数模的计算公式求|z1|，|z2|，利用复数代数形式的乘除运算求z1•z2，再由复数模的计算公式求|z1•z2|；（2）直接求|z1•z2|与|z1|•|z2|，即可得结论；（3）类比（2）中的结论，可得复数商的模等于模的商（或三个及三个以上复数乘积的模等于模的乘积）．解：（1）由题知，，∵z1⋅z2＝（1﹣i）×（1+2i）＝3+i，∴；（2）猜想|z1⋅z2|＝|z1|⋅|z2|，证明：∵，，∴，∵z1⋅z2＝（a+bi）×（c+di）＝（ac﹣bd）+（ad+bc）i，∴．故|z1⋅z2|＝|z1|⋅|z2|成立；（3），或|z1⋅z2⋅z3|＝|z1|⋅|z2|⋅|z3|，或|z1⋅z2⋅⋯⋅zn|＝|z1|⋅|z2|⋅⋯⋅|zn|．19．为了了解员工长假的出游意愿，某单位从“70后”至“00后”的人群中按年龄段分层抽取了100名员工进行调查．调查结果如图4所示，已知每个员工仅有“有出游意愿”和“无出游意愿”两种回答，且样本中“00后”与“90后”员工占比分别为10%和30%．（1）现从“00后样本中随机抽取3人，记3人中“无出游意愿”的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期；

14（2）若把“00后”和“90后”定义为青年，“80后”和“70后”定义为中年，结合样本数据完成2×2列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为该单位员工长假的出游意愿与年龄段有关？有出游意愿无出游意愿合计青年中年合计附：P（K2≥k0）0.0500.0100.0050.001k03.8416.6357.87910.828，其中n＝a+b+c+d．【分析】（1）抽到“无出游意愿”的人数X的所有可能取值为0，1，2，求出概率，随机变量X的分布列，然后求解随机变量X的期望．（2）推出2×2列联表，求出k2，即可判断不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为该单位员工长假的出游意愿与年龄段有关．解：（1）由题知，样本中“00后”员工人数n1＝100×10%＝10人，．…………………………（1分）由图4知，其中8人有出游意愿，2人无出游意愿，从中随机抽取3人，抽到“无出游意愿”的人数X的所有可能取值为0，1，2，．……………………

15，，，随机变量X的分布列为X012P.………………………………………………………………………………………………………………随机变量X的期望．………………………………………………（2）由题知，样本中中年员工占比为1﹣10%﹣30%＝60%，人数n2＝100×60%＝60人，青年员工人数n3＝100×40%＝40人，．………………………………………………………………………………结合图3得到如下2×2列联表，有出游意愿无出游意愿合计青年301040中年402060合计7030100.…………………………………………………………………………………………………………假设“有岀游意愿与年龄段无关”，则k2＝，．……………………………………………∴不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为该单位员工长假的出游意愿与年龄段有关．………………20．已知函数f（x）＝lnx+ax．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若a＞0，且g（x）＝f（x）﹣sinx在上有且仅有1个极值点，求a的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，通过①当a≥0时，②当a＜0时，判断导函数的符号，判断函数的单调性即可．（2）通过g'（x）＝0，得，g（x）在上有且仅有1个极值点，推出与y＝cosx在的图象有且仅有一个交点，通过①当时，②当时，判断交点个数，推出a的取值范围．

16解：（1）由题得，函数定义域为（0，+∞），，．……………………………………（1分）①当a≥0时，f'（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，所以函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；．………………………………………………………………②当a＜0时，由，得，当f'（x）＞0时，；当f'（x）＜0时，，所以f（x）在上单调递增，在上单调递减，．……………………………………综上所述，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＜0时，f（x）在上单调递增，在上单调递减．………………………………（2）由题得，令g'（x）＝0，得，．……………………因为g（x）在上有且仅有1个极值点，所以与y＝cosx在的图象有且仅有一个交点，．…………………………①当时，，此时与y＝cosx没有交点，．……………………②当时，由前面的分析得，两个函数图象在上有且仅有一个交点，则，即，．……………………………………………………综上所述，a的取值范围为．…………………………………………………………21．共享单车以低碳、环保、节能、健康的理念，成为解决市民出行“最后一公里”的有力手段．某公司调研部门统计了最近5个季度本公司的共享单车使用次数（万次），结果如下：季度序号x12345使用次数y（万次）11.21.51.82.2（1）（i）根据上表，画出散点图并根据所画散点图，判断能否用线性回归模型拟合使用次数y与季度序号x之间的关系，如果能，求出y关于x的线性回归方程；如果不能，请说明理由．（ii）如果你是公司主管领导，你会在下一季度向市场增加投放共享单车吗？请说明理由．（2）为进一步开拓市场做准备，公司目前接受报价的有两款车型：A

17型单车每辆500元，第一年收入500元，以后逐年递减80元；B型单车每辆300元，第一年收入500元，以后逐年递减100元．经市场调研，两款车型使用寿命频数统计如表：车型\使用寿命1年2年3年4年总计A10203040100B10353025100不考虑除采购成本以外的其它成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，用频率估计概率，以1辆单车所产生的利润的数学期望为决策依据，如果你是公司负责人，会选择哪款车型？参考数据：，．参考公式：，．【分析】（1）（i）利用已知条件，画出散点图，设回归方程为，求解回归直线方程的系数，推出结果．（ii）参考答案一：下一季度可以向市场增加投放共享单车，理由：①由（i）中散点图判断可预估下季度市场对本公司单车使用次数会持续上涨；②由（i）中使用次数y关于季度序号x的线性回归方程可知，下季度市场对本公司单车下一季度的使用次数会持续上涨0.3万次左右，因此需要向市场增加投放共享单车．参考答案二：下一季度可以先不向市场增加投放共享单车，理由：题中只给出了使用次数这一方面的数据，是否增加投放共享单车还要考察单车的使用率高低，单车的区域分布是否合理，单车使用后的回收与分配是否及时等等因素，这些都会影响投放单车的决策，因此要进行进一步调查过后才能决定．（2）设1辆A型单车产生的毛利润为随机变量X1，则X1

18的所有可能取值为500，920，1260，1520，用频率估计概率，画出分布列求出辆A型单车毛利润的数学期望，求出1辆A型单车纯利润的数字期望为1220﹣500＝720，设1辆B型单车产生的毛利润为随机变量X2，则X2的所有可能取值为500，900，1200，1400，用频率估计概率，则1辆B型单车产生毛利润的分布列，求解1辆B型单车毛利润的数学期望，比较期望的大小，即可判断结论．解：（1）（i）散点图如图所示：根据散点图，可以用线性回归模型拟合使用次数y与次季度序号x之间的关系，设回归方程为，则，由＝3，＝1.54，得，所以y关于x的线性回归方程为．（ii）开放型答案，根据学生理由叙述情况，酌情给分．参考答案一：下一季度可以向市场增加投放共享单车，理由：①由（i）中散点图判断可预估下季度市场对本公司单车使用次数会持续上涨；②由（i）中使用次数y关于季度序号x的线性回归方程可知，下季度市场对本公司单车下一季度的使用次数会持续上涨0.3万次左右，因此需要向市场增加投放共享单车．说明：答出一种理由即可给满（1分），其他理由酌情给分．………………………………………………参考答案二：下一季度可以先不向市场增加投放共享单车，理由：题中只给出了使用次数这一方面的数据，是否增加投放共享单车还要考察单车的使用率高低，单车的区域分布是否合理，单车使用后的回收与分配是否及时等等因素，这些都会影响投放单车的决策，因此要进行进一步调查过后才能决定．

19说明：答出一种理由即可给满（1分），其他理由酌情给分．……………………………………………………（2）设1辆A型单车产生的毛利润为随机变量X1，则X1的所有可能取值为500，920，1260，1520，．……．……………………………………………………………………………………用频率估计概率，则1辆A型单车产生毛利润的分布列为毛利润X150092012601520概率P1.………………………………………………………………………………………………………………则1辆A型单车毛利润的数学期望，故1辆A型单车纯利润的数字期望为1220﹣500＝720，．………………………………………………………………设1辆B型单车产生的毛利润为随机变量X2，则X2的所有可能取值为500，900，1200，1400，．……用频率估计概率，则1辆B型单车产生毛利润的分布列为毛利润X250090012001400概率P2………………………………则1辆B型单车毛利润的数学期望，故1辆B型单车纯利润的数学期望为1075﹣300＝775，…………………………………………………………因为1辆B型单车纯利润的数学期望大于1辆A型单车的，所以选择B型单车．………………………22．已知函数f（x）＝x2﹣x﹣xlnx，g（x）＝x3﹣3ax+e．（1）证明f（x）≥0恒成立；（2）用max{m，n}表示m，n中的最大值．已知函数，记函数φ（x）＝max{h（x），g（x）}，若函数φ（x）在（0，+∞）上恰有2个零点，求实数a的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，构造函数ϕ（x）＝x﹣1﹣lnx，利用导函数，判断函数的单调性，然后转化推出结果．（2）求出h（x）＝1﹣lnx，判断①当0＜x＜e时，有无零点；②当x＝e时，h（e）＝0，g（e）＝e3﹣3ae+e，判断函数有1个零点；③当x＞e时，h（x）＜0恒成立，因此只需考虑g（x）在（e，+∞）上的零点情况．结合函数的导数，求解函数的极值，推出函数有两个零点推出a的范围．【解答】（1）证明：由题得f（x）的定义域为（0，+∞），

20则x2﹣x﹣xlnx≥0在x∈（0，+∞）上恒成立等价于x﹣1﹣lnx≥0在x∈（0，+∞）上恒成立，．……（1分）记ϕ（x）＝x﹣1﹣lnx，则，．……………………………………………………当ϕ'（x）＜0时，0＜x＜1；ϕ'（x）＞0时，x＞1，故ϕ（x）在（0，1）上单调递减，（1，+∞）上单调递增，．……………………………………………………所以ϕ（x）≥ϕ（1）＝0，即f（x）≥0恒成立．………………………………………………………………（2）解：由题得h（x）＝1﹣lnx，①当0＜x＜e时，φ（x）≥h（x）＞0，此时无零点．……………………………………………………②当x＝e时，h（e）＝0，g（e）＝e3﹣3ae+ea．当g（e）＝e3﹣3ae+e≤0，即时，x＝e是φ（x）的一个零点；b．当g（e）＝e3﹣3ae+e＞0，即时，x＝e不是φ（x）的一个零点；．…………………………③当x＞e时，h（x）＜0恒成立，因此只需考虑g（x）在（e，+∞）上的零点情况．由g'（x）＝3x2﹣3aa．当a≤e2时，g'（x）＞0，g（x）在（e，+∞）上单调递增，且g（e）＝e3﹣3ae+e，当时，g（e）＞0，则g（x）在（e，+∞）上无零点，故φ（x）在（0，+∞）上无零点；当时，g（e）＝0，则g（x）在（e，+∞）上无零点，故φ（x）在（0，+∞）上有1个零点；当时，由g（e）＜0，g（2e）＝8e3﹣6ae+e≥8e3﹣6e3+e＞0，得g（x）在（e，+∞）上仅有一个零点，故φ（x）在（0，+∞）上有2个零点；所以，．…………………………………………………………………………b．当a＞e2时，由g'（x）＝0得，由g'（x）＜0时，；当g'（x）＞0时，g'（x）＜0，故g（x）在上单调递减，g（x）在上单调递增；由g（e）＜0，g（2a）＝8a3﹣6a2+e≥2a2+e＞0，得g（x）在（e，+∞）上仅有一个零点，故φ（x）在（0，+∞）上有2个零点；所以a＞e2，．…………………………………………………………………………………………

21综上所述，时，φ（x）在（0，+∞）上恰有两个零点．………………………………………………