广东省韶关市2020-2021学年高二下学期期末考试数学Word版含解析

《广东省韶关市2020-2021学年高二下学期期末考试数学Word版含解析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

2020-2021学年广东省韶关市高二（下）期末数学试卷一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．已知全集U＝R，集合A＝{x|x（x﹣1）＞0}，B＝{x|﹣1≤x≤1}，那么（∁UA）∩B＝（　　）A．（﹣1，1）B．（0，1）C．[0，1]D．（﹣∞，1）2．设i是虚数单位，若复数z（1+i）＝i，则|z|＝（　　）A．B．C．1D．3．“α是三角形的内角”是“sinα＞0”的（　　）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．如图，在直角三角形AOB中，OA＝1，C为边AB上一点，且AB＝4AC，则•＝（　　）A．B．﹣C．D．﹣5．已知α是第一象限，满足，则cos2α＝（　　）A．B．﹣C．D．±6．已知等比数列{an}的前n项和是Sn，若3a1+2a2＝4，9S3＝8S6，则S5＝（　　）A．或5B．或5C．D．7．已知某物种经过x年后的种群数量y近似满足冈珀茨模型：，当x＝0时，y的值表示2021年年初的种群数量．若t（t∈N*）年后，该物种的种群数量不超过2021年初种群数量的，则t的最小值为（　　）（参考值：ln2≈0.693）A．6B．7C．8D．98．已知函数f（x）＝﹣ax﹣1在R上恰有三个零点，则实数a的取值范围为（　　）A．B．

1C．D．二、多项选择题：木题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．某学校为研究高三800名学生的考试成绩，在高三的第一次模拟考试中随机抽取100名高三学生的化学成绩绘制成频率分布直方图（如图所示），把频率看作概率，同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，根据频率分布直方图，下列结论正确的是（　　）A．估计该校本次测试化学分数在区间[70，80）的人数为360B．估计该校本次测试化学平均分为71C．估计该校本次测试化学成绩的中位数是D．从高三学生中随机抽取4人，其中3人成绩在[80，90）内的概率为10．已知函数f（x）＝的最小正周期为，则（　　）A．函数f（x+）为奇函数B．函数f（x）在[，]上单调递增C．函数f（x）的图象关于直线x＝对称D．函数f（x）的图象向右平移个单位长度得到函数y＝﹣cos3x的图象11．如图1，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，DA＝AB＝BC＝，∠ADC＝，E为CD中点，将△DAE沿AE折起，使D点到达P的位置（点P不在平面ABCE内），连结PB，PC（如图2），则在翻折过程中，下列说法正确的是（　　）

2A．BC∥平面PAEB．PB⊥AEC．存在某个位置，使PC⊥平面PAED．PB与平面ABCE所成角的最大值为12．已知M（1，﹣3），过抛物线C：y2＝4x焦点F的直线与抛物线C交于A，B两点，P为C上任意一点，O为坐标原点，则下列说法正确的是（　　）A．过M与抛物线C有且只有一个公共点的直线有两条B．|PM|与P到抛物线C的准线距离之和的最小值为3C．若|AF|，|OM|，|BF|成等比数列，则|AB|＝10D．抛物线C在A、B两点处的切线互相垂直三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．二项式的展开式中常数项的值为　　．14．已知C（m，0），若以C为圆心的圆C与直线3x+y﹣1＝0相切于点T（1，n），则圆C的标准方程是　　．15．已知函数y＝loga（x﹣1）+1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，则点A的坐标为　　，若点A在椭圆＝2（m＞0，n＞0）上，则m+n的最小值为　　．16．已知三棱锥P﹣ABC中，AC⊥BC，AC＝BC＝4，平面PAC⊥平面ABC、若三棱锥P﹣ABC的外接球面积为68π，则三棱锥P﹣ABC的体积最大值为　　．四、解答题：本题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知数列{an}，若_____．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和Tn．从下列个条件中任选一个补充在上面的横线上，然后对题目进行求解．①a1+a2+a3+…+an＝n2；

3②a1＝1，a4＝7，2an＝an﹣1+an+1（n∈N*，n≥2）；③a1＝1，点A（n，an），B（n+1，an+1）在斜率是2的直线上．18．已知△ABC中，AB＝AC＝4，sinA＝，内角A为锐角，点D为AB延长线上一点，BD＝2，连接CD．（1）求边BC的长；（2）求△BDC的面积．19．已知几何体ABCDEF中，平面ABCD⊥平面CDEF，ABCD是边长为4的菱形，∠BCD＝60°，CDEF是直角梯形，EF∥CD，ED⊥CD，且EF＝ED＝2．（1）求证：AC⊥BE；（2）求平面ADE与平面BCF所成角的余弦值．20．某校为了提升学生的科学素养、本学期初开始动员学生利用课外时间阅读科普读物、为了了解学生平均每周课外阅读科普读物所花的时间、学期末该校通过简单随机抽样的方法收集了20名学生平均每周课外阅读的时间（分钟）的数据、得到如表统计表（设x表示阅读时间，单位：分钟）组别时间分组频数男生人数女生人数130≤x＜60211260≤x＜901046390≤x＜1204314120≤x＜1502115150≤x＜180220（1）完成下面的2×2列联表、并回答能有90%的把认为“平均每周至少阅读120分钟与性别有关”？

4平均每周阅读时间不少于120分钟平均每周阅读时间少于120分钟合计男女合计附：．P（K2≥k0）0.1500.1000.0500.0100.0050.001k02.0722.7063.8416.6357.87910.828（2）为了选出1名选手代表学校参加全市中小学生科普知识比赛，学校组织了考组对选手人选进行考核，经过层层筛选，甲、乙两名学生成为进入最后阶段的备选选手．考核组设计了最终确定人选的方案：请甲、乙两名学生从6道试题中随机抽取3道试题作答，已知这6道试题中，甲可正确回答其中的4道题目，而乙能正确回答每道题目的概率均为，甲、乙两名学生对每题的回答都是相互独立，互不影响的．若从数学期望和方差的角度进行分析，请问：甲、乙中哪位学生最终入选的可能性更大？21．已知函数f（x）＝alnx﹣2x，g（x）＝f（x）+x2．（1）若a＝2e，求函数f（x）的最大值；（2）当a＞0时，若函数g（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），且不等式g（x1）≥λx2恒成立，试求实数λ的取值范围．

5参考答案一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．已知全集U＝R，集合A＝{x|x（x﹣1）＞0}，B＝{x|﹣1≤x≤1}，那么（∁UA）∩B＝（　　）A．（﹣1，1）B．（0，1）C．[0，1]D．（﹣∞，1）解：全集U＝R，集合A＝{x|x（x﹣1）＞0}＝{x|x＜0或x＞1}，B＝{x|﹣1≤x≤1}，∴∁UA＝{x|0≤x≤1}，∴（∁UA）∩B＝{x|0≤x≤1}＝[0，1]．故选：C．2．设i是虚数单位，若复数z（1+i）＝i，则|z|＝（　　）A．B．C．1D．解：∵复数z（1+i）＝i，∴z＝＝＝+i，则|z|＝＝．故选：B．3．“α是三角形的内角”是“sinα＞0”的（　　）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：①若α是三角形的内角，则α∈（0°，180°），∴sinα＞0，故充分性成立，②若sinα＞0，可得0°+k•360°＜α＜180°+k•360°，（k∈Z），故必要性不成立，综上所述，p是条件q的充分不必要条件．故选：A．4．如图，在直角三角形AOB中，OA＝1，C为边AB上一点，且AB＝4AC，则•＝（　　）

6A．B．﹣C．D．﹣解：∵OA＝1，AB＝4AC，且OA⊥OB，∴•＝＝＝．故选：D．5．已知α是第一象限，满足，则cos2α＝（　　）A．B．﹣C．D．±解：∵，∴cos（）＝，∵α是第一象限，∴是第二象限角，则sin（）＝，∴cos2α＝sin（2α+）＝2sin（α+）cos（α+）＝2×＝．故选：B．6．已知等比数列{an}的前n项和是Sn，若3a1+2a2＝4，9S3＝8S6，则S5＝（　　）A．或5B．或5C．D．解：等比数列{an}的前n项和是Sn，3a1+2a2＝4，9S3＝8S6，∴当公比q＝1时，，无解，当公比q≠1时，，解得a1＝1，q＝，

7∴S5＝＝．故选：C．7．已知某物种经过x年后的种群数量y近似满足冈珀茨模型：，当x＝0时，y的值表示2021年年初的种群数量．若t（t∈N*）年后，该物种的种群数量不超过2021年初种群数量的，则t的最小值为（　　）（参考值：ln2≈0.693）A．6B．7C．8D．9解：由题意可知，，∴，即k•，∴，即．故选：B．8．已知函数f（x）＝﹣ax﹣1在R上恰有三个零点，则实数a的取值范围为（　　）A．B．C．D．解：函数f（x）＝﹣ax﹣1在R上恰有三个零点，即方程有三个根，也就是函数y＝与y＝ax+1的图象有三个交点，如图，当x≥0时，y＝＝，y′＝，设直线y＝ax+1与切于（），则曲线y＝在切点处的切线方程为y﹣＝（x﹣x0），

8把（0，1）代入，可得，解得x0＝4，则直线y＝ax+1与y＝相切时的切线的斜率为a＝．结合图象及对称性可知，要使函数f（x）＝﹣ax﹣1在R上恰有三个零点，则实数a的取值范围为．故选：A．二、多项选择题：木题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．某学校为研究高三800名学生的考试成绩，在高三的第一次模拟考试中随机抽取100名高三学生的化学成绩绘制成频率分布直方图（如图所示），把频率看作概率，同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，根据频率分布直方图，下列结论正确的是（　　）A．估计该校本次测试化学分数在区间[70，80）的人数为360B．估计该校本次测试化学平均分为71C．估计该校本次测试化学成绩的中位数是D．从高三学生中随机抽取4人，其中3人成绩在[80，90）内的概率为解：对于A，本次测试化学分数在区间[70，80）的频率为：1﹣（0.010+0.015+0.015+0.025+0.005）×10＝0.3，∴估计该校本次测试化学分数在区间[70，80）的人数为800×0.3＝240人，故A错误；对于B，估计该校本次测试化学平均分为：＝45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05＝71，故B正确；对于C，[40，70）的频率为：（0.010+0.015+0.015）×10＝0.4，[70，80）的频率为：0.3，∴估计该校本次测试化学成绩的中位数是：70+＝，故C正确；

9对于D，成绩在[80，90）内的频率为0.25＝，∴从高三学生中随机抽取4人，其中3人成绩在[80，90）内的概率为：P＝＝，故D错误．故选：BC．10．已知函数f（x）＝的最小正周期为，则（　　）A．函数f（x+）为奇函数B．函数f（x）在[，]上单调递增C．函数f（x）的图象关于直线x＝对称D．函数f（x）的图象向右平移个单位长度得到函数y＝﹣cos3x的图象解：函数f（x）＝的最小正周期为＝，∴ω＝3，f（x）＝sin（3x﹣）．故函数f（x+）＝sin3x为奇函数，故A正确；在[，]上，3x﹣∈[0，]，函数f（x）没有单调性，故B错误；令x＝，求得f（x）＝1，为最大值，故f（x）的图象关于直线x＝对称，故C正确；函数f（x）的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝sin（3x﹣π）＝﹣sinx的图象，故D错误，故选：AC．11．如图1，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，DA＝AB＝BC＝，∠ADC＝，E为CD中点，将△DAE沿AE折起，使D点到达P的位置（点P不在平面ABCE内），连结PB，PC（如图2），则在翻折过程中，下列说法正确的是（　　）A．BC∥平面PAEB．PB⊥AE

10C．存在某个位置，使PC⊥平面PAED．PB与平面ABCE所成角的最大值为解：∵AB＝CD，E为CD中点，∴AB＝CE，∵AB∥CE，所以四边形ABCE为平行四边形，所以BC∥AE，因为BC⊄平面PAE，AE⊂平面PAE，所以BC∥平面PAE，故A正确；连接BE，取AE中点O，连接PO，BO，由PO⊥AE，BO⊥AE，∵PO∩BO＝O，PO，BO⊂平面POB，∴AE⊥平面POB，∵PB⊂平面POB，∴AE⊥PB，故B正确；若PC⊥平面PAE，则PC⊥PE，在Rt△PEC中，必有EC＞PE，与EC＝PE矛盾，故C错误；∠PBO为直线PB与平面ABCE所成的角，显然∠PBO∈（0，），故D错误；故选：AB．12．已知M（1，﹣3），过抛物线C：y2＝4x焦点F的直线与抛物线C交于A，B两点，P为C上任意一点，O为坐标原点，则下列说法正确的是（　　）A．过M与抛物线C有且只有一个公共点的直线有两条B．|PM|与P到抛物线C的准线距离之和的最小值为3C．若|AF|，|OM|，|BF|成等比数列，则|AB|＝10D．抛物线C在A、B两点处的切线互相垂直解：过M与抛物线C相切的直线由两条，y＝﹣3与抛物线C相交且有一个公共点，共3条，故A错误；F（1，0），|PM|与P到抛物线C的准线距离之和等于|PM|+|PF|≥|MF|＝3，故B正确；设A（x1，y1），B（x2，y2），直线BA的方程为x＝my+1，代入抛物线的方程可得y2﹣4my﹣4＝0，所以y1y2＝﹣4，x1x2＝＝1，因为|AF||BF|＝（x1+1）（x2＝1）＝x1x2+x1+x2+1＝x1+x2+2＝|OM|2＝10，

11所以|AB|＝|AF|+|BF|＝x1+x2+2＝10，故C正确；不妨设y2＜0＜y1，由y＝2得y′＝，由y＝﹣2得y′＝﹣，所以抛物线C在A处的切线的斜率为，在B处的切线的斜率为﹣，因为•（﹣）＝﹣＝﹣1，所以两条切线相互垂直，故D正确．故选：BCD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．二项式的展开式中常数项的值为　20　．解：展开式的通项为Tr+1＝C6rx6﹣2r令6﹣2r＝0得r＝3故展开式的常数项为T4＝C63＝20故答案为2014．已知C（m，0），若以C为圆心的圆C与直线3x+y﹣1＝0相切于点T（1，n），则圆C的标准方程是　（x﹣7）2+y2＝40．　．解：根据题意，圆C与直线3x+y﹣1＝0相切于点T（1，n），则T（1，n）在直线3x+y﹣1＝0上，则有3+n﹣1＝0，解可得n＝﹣2，又由圆心C的坐标为（m，0），直线3x+y﹣1＝0的斜率为﹣3，则有＝，解可得m＝7，圆的半径r＝|TC|＝＝，故圆C的标准方程是（x﹣7）2+y2＝40；故答案为：（x﹣7）2+y2＝40．15．已知函数y＝loga（x﹣1）+1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，则点A的坐标为　（2，1）　，若点A在椭圆＝2（m＞0，n＞0）上，则m+n的最小值为　　．解：对于函数y＝loga（x﹣1）+1（a＞0，且a≠1）的图象，令x﹣1＝1，求得x＝2，y＝1，可得它的图象恒过定点A（2，1）．

12若点A（2，1）在椭圆＝2（m＞0，n＞0）上，则+＝2，即+＝1，则m+n＝（m+n）•（+）＝++≥+2＝，当且仅当m＝n时，等号成立，故m+n的最小值为，故答案为：（2，1）；．16．已知三棱锥P﹣ABC中，AC⊥BC，AC＝BC＝4，平面PAC⊥平面ABC、若三棱锥P﹣ABC的外接球面积为68π，则三棱锥P﹣ABC的体积最大值为　　．解：如图，分别取AB、AC的中点M、E，连接PE，则M为三角形ABC的外心，当P到平面ABC的距离最大时，三棱锥P﹣ABC的体积最大，此时PE⊥AC，即PA＝PC，由平面PAC⊥平面ABC，得PE⊥平面ABC，设D为△PAC的外心，O为三棱锥P﹣ABC的外接球的球心，由球的性质可知OD⊥平面ABC，OM⊥平面ABC，则四边形OMED为矩形，由三棱锥P﹣ABC的外接球面积为68π，得OB＝OP＝，PD＝，OM＝DE＝，又PE＝PD+DE＝4，∴．故答案为：．四、解答题：本题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知数列{an}，若_____．（1）求数列{an}的通项公式；

13（2）求数列{}的前n项和Tn．从下列个条件中任选一个补充在上面的横线上，然后对题目进行求解．①a1+a2+a3+…+an＝n2；②a1＝1，a4＝7，2an＝an﹣1+an+1（n∈N*，n≥2）；③a1＝1，点A（n，an），B（n+1，an+1）在斜率是2的直线上．解：若选①，则（1）由a1+a2+a3+…+an＝n2，所以n≥2，a1+a2+a3+…+an﹣1＝（n﹣1）2，两式相减可得：n≥2，an＝n2﹣（n﹣1）2＝2n﹣1，而在a1+a2+a3+…+an＝n2中令n＝1可得：a1＝1，符合上式，故an＝2n﹣1．（2）由（1）知：，所以Tn＝[（1﹣）+（﹣）+…+]＝＝．若选②，则（1）由2an＝an﹣1+an+1（n∈N*，n≥2）可得：数列{an}为等差数列，又因为a1＝1，a4＝7，所以a4﹣a1＝3d，即d＝2，所以an＝1+（n﹣1）×2＝2n﹣1．（2）同上．若选③，则（1）由点A（n，an），B（n+1，an+1）在斜率是2的直线上得：，即an+1﹣an＝2，所以数列{an}为等差数列且an＝1+（n﹣1）×2＝2n﹣1．（2）同上．18．已知△ABC中，AB＝AC＝4，sinA＝，内角A为锐角，点D为AB延长线上一点，BD＝2，连接CD．（1）求边BC的长；（2）求△BDC的面积．解：（1）因为sinA＝，内角A为锐角，所以cosA＝＝，所以BC2＝AB2+AC2﹣2AB•AC•cosA＝42+42﹣2×4×4×＝4，可得BC＝2．（2）因为＝，即＝，

14所以sin∠ABC＝，所以sin∠CBD＝sin（π﹣∠ABC）＝，故S△BDC＝×2×2×＝．19．已知几何体ABCDEF中，平面ABCD⊥平面CDEF，ABCD是边长为4的菱形，∠BCD＝60°，CDEF是直角梯形，EF∥CD，ED⊥CD，且EF＝ED＝2．（1）求证：AC⊥BE；（2）求平面ADE与平面BCF所成角的余弦值．【解答】（1）证明：连接BD，交AC于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵平面ABCD⊥平面CDEF，平面ABCD∩平面CDEF＝CD，ED⊥CD，∴ED⊥平面ABCD，∵AC⊂平面ABCD，∴ED⊥AC，又BD∩ED＝D，BD、ED⊂平面BDE，∴AC⊥平面BDE，∵BE⊂平面BDE，∴AC⊥BE．（2）解：取AB的中点M，连接DM，∵ABCD是边长为4的菱形，∠BCD＝60°，∴DM⊥AB，DM⊥AC，

15以D为原点，DM，DC，DE所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，4，0），F（0，2，2），∴＝（﹣2，2，0），＝（0，﹣2，2），设平面BCF的法向量为＝（x，y，z），则，即，令y＝，则x＝1，z＝，∴＝（1，，），同理可得，平面ADE的一个法向量为＝（1，，0），∴cos＜，＞＝＝＝，由图知，平面ADE与平面BCF所成角为锐角，故平面ADE与平面BCF所成角的余弦值为．20．某校为了提升学生的科学素养、本学期初开始动员学生利用课外时间阅读科普读物、为了了解学生平均每周课外阅读科普读物所花的时间、学期末该校通过简单随机抽样的方法收集了20名学生平均每周课外阅读的时间（分钟）的数据、得到如表统计表（设x表示阅读时间，单位：分钟）组别时间分组频数男生人数女生人数130≤x＜60211260≤x＜901046390≤x＜1204314120≤x＜1502115150≤x＜180220（1）完成下面的2×2列联表、并回答能有90%的把认为“平均每周至少阅读120分钟与性别有关”？平均每周阅读时间不少于120分钟平均每周阅读时间少于120分钟合计男女合计

16附：．P（K2≥k0）0.1500.1000.0500.0100.0050.001k02.0722.7063.8416.6357.87910.828（2）为了选出1名选手代表学校参加全市中小学生科普知识比赛，学校组织了考组对选手人选进行考核，经过层层筛选，甲、乙两名学生成为进入最后阶段的备选选手．考核组设计了最终确定人选的方案：请甲、乙两名学生从6道试题中随机抽取3道试题作答，已知这6道试题中，甲可正确回答其中的4道题目，而乙能正确回答每道题目的概率均为，甲、乙两名学生对每题的回答都是相互独立，互不影响的．若从数学期望和方差的角度进行分析，请问：甲、乙中哪位学生最终入选的可能性更大？解：（1）由频数分布表，可推得2×2列联表：每周阅读时间不少于120分钟每周阅读时间少于120分钟总计男3811女189总计41620∵，∴没有90%的把握认为“平均每周至少阅读120分钟与性别有关”．（2）设甲学生正确作答的题数为X，则X的取值分别为1，2，3，P（X＝1）＝，P（X＝2）＝，P（X＝3）＝，故X的分布列为：X123P∴E（X）＝，D（X）＝＝，设乙学生正确作答的题数为Y，Y～B（3，）则E（Y）＝3×，D（Y）＝3×＝，∵E（X）＝E（Y），D（X）＜D（Y），

17∴甲学生入选的可能性更大．21．已知函数f（x）＝alnx﹣2x，g（x）＝f（x）+x2．（1）若a＝2e，求函数f（x）的最大值；（2）当a＞0时，若函数g（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），且不等式g（x1）≥λx2恒成立，试求实数λ的取值范围．解：（1）当a＝2e时，f（x）＝2elnx﹣2x，所以f′（x）＝﹣2＝，x∈（0，+∞），令f′（x）＝0，得x＝e，当0＜x＜e时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x＞e时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，所以当x＝e时，f（x）有最大值为f（e）＝2e﹣2e＝0．（2）因为g（x）＝x2﹣2x+alnx的定义域为（0，+∞），g′（x）＝2x﹣2+＝，令g′（x）＝0⇒2x²﹣2x+a＝0，又因为函数g（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），所以2x²﹣2x+a＝0有两个不等实数根x1，x2（x1＜x2），所以Δ＞0⇒0＜a＜，且x1+x2＝1，a＝2x1﹣2x1²，从而0＜x1＜＜x2＜1，由不等式g（x1）≥λx2恒成立，所以λ≤＝恒成立，又＝＝（1﹣x1）﹣+2x1lnx1，令h（t）＝1﹣t﹣+2tlnt（0＜t＜），所以h′（t）＝1﹣+2lnt＜0，当0＜t＜时恒成立，所以函数h（t）在（0，）上单调递减，所以h（t）＞h（）＝﹣﹣ln2，故实数λ的取值范围是（﹣∞，﹣﹣ln2]．

18