广东省汕尾市2020-2021学年高二下学期教学质量测试（期末考试）数学Word版含解析

《广东省汕尾市2020-2021学年高二下学期教学质量测试（期末考试）数学Word版含解析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

2020-2021学年广东省汕尾市高二（下）期末教学质量测试数学试卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|x2﹣3x＜0}，则A∩B＝（　　）A．{1，2}B．{0，1，2}C．{1，2，3}D．{0，1，2，3}2．在等差数列{an}中，已知a3+a5+a7＝15，则该数列前9项和S9＝（　　）A．18B．27C．36D．453．已知直线x+y＝0与圆（x﹣1）2+（y﹣b）2＝2相切，则b＝（　　）A．﹣3B．1C．﹣3或1D．4．已知函数，下面结论错误的是（　　）A．函数f（x）的最小正周期为2πB．函数（x）在区间上是增函数C．函数f（x）的图象关于直线x＝0对称D．函数f（x）是偶函数5．某校高三年级1班有45名学生，经初步计算，今年广东一模数学考试全班平均分为70分，标准差为s，后来发现甲、乙两名同学的成绩录入有误，甲实际为60分，被误录入为50分，乙实际为40分，被误录入为50分更正后重新计算，得到全班数学成绩的标准差为s1，则s与s2的大小关系为（　　）A．s＜s1B．s＞s1C．s＝s1D．不能确定6．若直线y＝x+1与曲线相切，则a的值为（　　）A．0B．﹣1C．1D．27．如图所示，为平行四边形对角线上一点，，若，则（）A.B.C.D.

18.已知双曲线左､右焦点分别为，过点作直线交双曲线的右支于两点，其中点在第一象限，且.若，则双曲线的离心率为（）A.B.2C.D.4二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．已知复数z＝i（2+i），则（　　）A．＝﹣1﹣2iB．|z|＝5C．z对应的点位于第二象限D．z虚部为2i10．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，则下列结论正确的有（　　）A．抛物线C上一点M到焦点F的距离为4，则点M的横坐标为3B．过焦点F的直线被抛物线所截的弦长最短为4C．过点（0，2）与抛物线C有且只有一个公共点的直线有2条D．过点（2，0）的直线1与抛物线c交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），则y1y2＝﹣811.已知函数，则（）A.函数的增区间为B.函数的极小值为C.若方程有三个互不相等的实数根，则D.函数图像关于点对称12.下列命题中，正确的是（）A.已知随机变量服从正态分布，若，则B.已知随机变量的分布列为，则C.用表示次独立重复试验中事件发生的次数，为每次试验中事件发生的概率，若，则

2D.已知某家系有甲和乙两种遗传病，该家系成员患甲病的概率为，患乙病的概率为，甲乙两种病都不患的概率为.则家系成员在患甲病的条件下，患乙病的概率为三、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分。13．命题：“∀x∈N，x3＞x2”的否定是　　、14．已知的展开式中各项的二项式系数的和为128，则这个展开式中x3项的系数是　　．15．某中学举行“唱响红色主旋律，不忘初心跟党走”的文艺活动．活动共有9个节目，其中高中部有4个参演节目，初中部有5个参演节目．根据节目内容，第一个节目一定是初中部的，且高中部的4个参演节目均不相邻演出，则共有　　种不同的演出顺序．（用数字回答）16．如图，一个圆锥形物体的母线长为6，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处，若该小虫爬行的最短路程为．则该圆锥形物体的底面半径等于　　．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝2，c＝4．（1）若acosB＝（2c﹣b）•cosA，求△ABC的面积；（2）若A＝2B，求边a．18．已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝2n+1﹣2（n∈N+）．（1）求an；（2）已知_____，求数列{bn}的前n项和Tn．从下列三个条件中任选一个，补充在上面问题的横线中，然后对第（2）问进行解答．条件：①bn＝（2n+1）an（n∈N+）；②；③bn＝（﹣1）n•log2a2n+1（n∈N+）．

319．汕尾市陆河县因盛产青梅，被誉为“中国青梅之乡”．该县某企业旗下的青梅产品深受广大消费者的青睐．该企业产品分正品和次品两种，每箱产品有200件，每件产品为次品的概率为0.1，且是否为次品相互独立．近期该企业举办了“青梅节”抽奖活动和促销活动．（1）“青梅节”抽奖活动，共有10张奖券，其中一等奖1张，每张价值500元；二等奖3张，每张价值100元；其余6张没有奖励、顾客A从10张奖券中随机抽出2张．求顾客A获奖的总价值X（单位：元）的分布列；（2）“青梅节”促销活动，每箱产品交付给顾客前都要进行检验，每件产品的检验费为2元．若检验出次品，则要更换为正品（更换的产品无需再付检验费）．若因没有检验导致次品流入顾客手中，每件流入顾客手中的次品，企业要向顾客支付25元的赔偿费．现有以下两种方案，请你以检验费与赔偿费之和的期望值为决策依据，帮助企业决定应该选择那种方案？方案一：从每箱200件产品中随机抽查检验20件产品；方案二：对每箱200件产品进行逐一检验．20．如图1所示，在凸四边形ABCD中，，AB＝4，点E为AB的中点，M为线段AC上的一点，且ME⊥AB，沿着AC将△DAC折起来，使得平面DAC⊥平面BAC，如图2所示．（1）证明：BC⊥AD；（2）求平面MDE与平面DEB所成锐二面角的余弦值．21．李华找了一条长度为8的细绳，把它的两端固定于平面上两点F1，F2处，|F1F2|＜8，套上铅笔，拉紧细绳，移动笔尖一周，这时笔尖在平面上留下了轨迹C，当笔尖运动到点M处时，经测量此时，且△F1MF2的面积为4．（1）以F1，F2所在直线为x轴，以F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，求李华笔尖留下的轨迹C的方程（铅笔大小忽略不计）；（2）若直线1与轨迹C交于A，B两点，且弦AB的中点为N（2，1），求△OAB的面积．22．已知函数．（1）若函数f（x）在定义域上单调递增，求实数a的取值范围；

4（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，且，证明：|f（x1）﹣f（x2）|≤10ln2﹣6．

5参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．设集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|x2﹣3x＜0}，则A∩B＝（　　）A．{1，2}B．{0，1，2}C．{1，2，3}D．{0，1，2，3}解：∵集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|x2﹣3x＜0}＝{x|0＜x＜3}，∴A∩B＝{1，2}．故选：A．2．在等差数列{an}中，已知a3+a5+a7＝15，则该数列前9项和S9＝（　　）A．18B．27C．36D．45解：由等差数列的性质可得：a3+a5+a7＝15＝3a5，解得a5＝5．则该数列的前9项和＝＝9a5＝45．故选：D．3．已知直线x+y＝0与圆（x﹣1）2+（y﹣b）2＝2相切，则b＝（　　）A．﹣3B．1C．﹣3或1D．解：圆（x﹣1）2+（y﹣b）2＝2的圆心坐标为（1，b），半径为．由圆心到切线的距离等于半径，得，∴|1+b|＝2，解得b＝1或b＝﹣3．故选：C．4．已知函数（x）＝sin（x+）（x∈R），下面结论错误的是（　　）A．函数f（x）的最小正周期为2πB．函数（x）在区间[0，]上是增函数C．函数f（x）的图象关于直线x＝0对称D．函数f（x）是偶函数解：对于函数（x）＝sin（x+）＝cosx（x∈R），

6它的最小正周期为2π，故A正确；显然，函数（x）在区间[0，]上是减函数，故B错误；由于f（x）为偶函数，故它的图象关于直线x＝0对称，故C、D正确，故选：B．5．某校高三年级1班有45名学生，经初步计算，今年广东一模数学考试全班平均分为70分，标准差为s，后来发现甲、乙两名同学的成绩录入有误，甲实际为60分，被误录入为50分，乙实际为40分，被误录入为50分更正后重新计算，得到全班数学成绩的标准差为s1，则s与s2的大小关系为（　　）A．s＜s1B．s＞s1C．s＝s1D．不能确定解：由题意可知，改动前后的平均分不变，还是70分，但是计算方差的时候，因为（50﹣70）2+（50﹣70）2＜（60﹣70）2+（40﹣70）2，所以s＜s1．故选：A．6．若直线y＝x+1与曲线y＝+a相切，则a的值为（　　）A．0B．﹣1C．1D．2解：∵直线y＝x+1与曲线y＝f（x）＝+a相切，设切点为P（x0，y0），∴f′（x）＝（）＝＝1，∴lnx0＝1﹣，∴x0＝1，∴y0＝+a＝a＝x0+1＝2，故选：D．7．如图所示，F为平行四边形ABCD对角线BD上一点，＝，若＝x+y，则xy＝（　　）A．﹣B．﹣C．D．解：∵＝，

7∴＝由图可得：＝＝+＝+（）＝，则x＝，y＝，所以xy＝，故选：C．8．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作直线l交双曲线C的右支于A，B两点，其中点A在第一象限，且|AF2|＝3|BF2|．若|AB|＝|AF1|，则双曲线C的离心率为（　　）A．B．2C．D．4解：设|BF2|＝x，因为|AF2|＝3|BF2|，则|AF2|＝3x，由双曲线的定义可得|AF1|＝2a+3x，|BF1|＝2a+x，因为|AB|＝|AF1|⇒4x＝2a+3x⇒x＝2a，所以|BF2|＝2a，|AF2|＝6a，|AF1|＝8a，|BF1|＝4a，因为∠F1F2B+∠F1F2A＝π，所以cos∠F1F2B+cos∠F1F2A＝0，由余弦定理可得，即，解得．故选：B．

8二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．已知复数z＝i（2+i），则（　　）A．＝﹣1﹣2iB．|z|＝5C．z对应的点位于第二象限D．z虚部为2i解：∵z＝i（2+i）＝﹣1+2i，∴＝﹣1﹣2i，∴||＝＝，∴A对B错；复数z对应点坐标为（﹣1，2）在第二象限，∴C对；z的虚部为2，∴D错．故选：AC．10．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，则下列结论正确的有（　　）A．抛物线C上一点M到焦点F的距离为4，则点M的横坐标为3B．过焦点F的直线被抛物线所截的弦长最短为4C．过点（0，2）与抛物线C有且只有一个公共点的直线有2条D．过点（2，0）的直线1与抛物线c交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），则y1y2＝﹣8解：抛物线C：y2＝4x的焦点为F（1，0），准线方程为x＝﹣1，对于A，设M的横坐标为x0，则由抛物线的定义可得，MF＝x0+1＝4，解得x0＝3，故选项A正确；对于B，过焦点F的直线被抛物线所截的弦长最短为通径长，又通径长为2p＝4，故选项B正确；

9对于C，当直线的斜率不存在时，直线为x＝0，与抛物线有一个公共点；当直线与抛物线的对称轴平行，即直线为y＝2时，与抛物线有一个公共点；当直线斜率存在且不为0时，设直线的方程为y＝kx+2，联立方程组，可得k2x2+4（k﹣1）x+4＝0，则△＝16（k﹣1）2﹣16k2＝0，解得，此时直线方程为，与抛物线有一个公共点．综上所述，过点（0，2）与抛物线C有且只有一个公共点的直线有3条，故选项C错误；设过点（2，0）的直线方程为x＝my+2，联立方程组，可得y2﹣4my﹣8＝0，则y1y2＝﹣8，故选项D正确．故选：ABD．11．已知函数f（x）＝3x3﹣x+1，则（　　）A．函数f（x）的增区间为（﹣∞，﹣）∪（，+∞）B．函数f（x）的极小值为C．若方程f（x）＝a有三个互不相等的实数根，则≤a≤D．函数f（x）的图像关于点（0，1）对称解：f（x）＝3x3﹣x+1，f′（x）＝9x2﹣1，令f′（x）＞0，得x＞或x＜﹣，令f′（x）＜0，得﹣＜x＜，所以f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣），（，+∞），单调递减区间为（﹣，），故A错误；f（x）极小值＝f（）＝3×（）3﹣+1＝，故B正确；f（x）极大值＝f（﹣）＝3×（﹣）3+＝1＝，作出f（x）的图象：

10由图可知f（x）＝a有三个互不相等的实数根，所以＜a＜，故C错误；f（0﹣x）＝f（﹣x）＝3（﹣x）3﹣（﹣x）+1＝﹣3x3+x+1，f（0+x）＝f（x）＝x3﹣x+1，所以f（0﹣x）+f（0+x）＝2，所以f（x）的图象关于点（0，1）对称，故D正确．故选：BD．12．下列命题中，正确的是（　　）A．已知随机变量X服从正态分布N（1，σ2），若P（X≤0）＝0.2，则P（X＜2）＝0.8B．已知随机变量X的分布列为P（X＝i）＝（i＝1，2，3，⋯，100），则a＝C．用X表示n次独立重复试验中事件A发生的次数，P为每次试验中事件A发生的概率，若E（X）＝50，D（X）＝30，则P＝D．已知某家系有甲和乙两种遗传病，该家系成员A患甲病的概率为，患乙病的概率为，甲乙两种病都不患的概率为．则家系成员A在患甲病的条件下，患乙病的概率为解：对于A：随机变量X服从正太分布N（1，δ2），所以P（X≤0）＝0.2，所以P（0≤X≤1）＝0.5﹣0.2＝0.3，所以P（1≤X≤2）＝P（0≤X≤1）＝0.3，所以P（X＜2）＝0.5+0.3＝0.8，故A正确；

11对于B：由于已知随机变量X的分布列为P（X＝i）＝（i＝1，2，3，⋯，100），所以P（X＝1）+P（X＝2）+P（X＝3）+...+P（X＝100）＝1，所以+++...+＝1，所以a[（1﹣）+（﹣）+...+（﹣）]＝1，所以a（1﹣）＝1，所以a＝，故B错误；对于C：因为随机变量服从二项分布B（n，p），E（X）＝50，D（X）＝30，所以np＝50，np（1﹣p）＝30，解得p＝，故C正确；对于D：设甲乙两种病都患的概率为p，﹣p+﹣p+p+＝1，解得p＝，所以家系成员A在患甲病的条件下，患乙病的概率为＝，故D正确，故选：ACD．三、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分。13．命题：“∀x∈N，x3＞x2”的否定是　∃x∈N，x3≤x2　、解：由一个命题的否定的定义可知：改变相应的量词，然后否定结论．故答案是∃x∈N，x3≤x214．已知（2x﹣）n的展开式中各项的二项式系数的和为128，则这个展开式中x3项的系数是　672　．解：∵2n＝128，∴n＝7．∴（2x﹣）7的展开式的通项Tr+1＝••（2x）7﹣r＝27﹣r•（﹣1）r••x7﹣2r，令7﹣2r＝3，得r＝2，∴T3＝25•x3＝32×21＝672，故答案为：672．

1215．某中学举行“唱响红色主旋律，不忘初心跟党走”的文艺活动．活动共有9个节目，其中高中部有4个参演节目，初中部有5个参演节目．根据节目内容，第一个节目一定是初中部的，且高中部的4个参演节目均不相邻演出，则共有　14400　种不同的演出顺序．（用数字回答）解：根据题意，分2步进行分析：①将初中部的5个节目全排列，有＝120种安排方法，②排好后，除去前端空位不可用，有5个空位可用，在其中任选4个，安排高中部的4个节目，有＝120种安排方法，则有120×120＝14400种安排方法，故答案为：14400．16．如图，一个圆锥形物体的母线长为6，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处，若该小虫爬行的最短路程为6．则该圆锥形物体的底面半径等于　　．解：根据圆锥的侧面展开图：得知OA＝OB＝6，AB＝6，所以OA2+OB2＝AB2，所以∠AOB＝，设圆锥的底面半径为r，所以6×＝2πr，解得r＝，故答案为：．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答写出文字说明、证明过程或演算步骤。

1317．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝2，c＝4．（1）若acosB＝（2c﹣b）•cosA，求△ABC的面积；（2）若A＝2B，求边a．解：（1）∵acosB＝（2c﹣b）•cosA，∴acosB+bcosA＝2ccosA，即sinAcosB+cosAsinB＝2sinCcosA，则sin（A+B）＝2sinCcosA，∵sin（A+B）＝sinC≠0，∴cosA＝，又∵A∈（0，π），∴A＝，则S△ABC＝bcsinA＝＝2．（2）∵A＝2B，∴sinA＝sin2B＝2sinBcosB，即有a＝2bcosB，又∵cosB＝，∴＝，整理可得8a²＝4（a²+12），即a²＝12，解得a＝2．18．已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝2n+1﹣2（n∈N+）．（1）求an；（2）已知_____，求数列{bn}的前n项和Tn．从下列三个条件中任选一个，补充在上面问题的横线中，然后对第（2）问进行解答．条件：①bn＝（2n+1）an（n∈N+）；②bn＝（n∈N+）；③bn＝（﹣1）n•log2a2n+1（n∈N+）．解：（1）根据题意，当n＝1时，有a1＝22﹣2＝2；当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n+1﹣2﹣（2n﹣2）＝2n，又a1＝2满足上式，所以an＝2n；（2）若选择条件①：由（1）可知an＝2n；所以bn＝（2n+1）•an＝（2n+1）•2n，所以Tn＝b1+b2+…+bn＝3×21+5×22+…+（2n+1）×2n；2Tn＝3×22+5×23+…+（2n+1）×2n+1，

14两式相减得﹣Tn＝6+2（21+22+…+2n）﹣（2n+1）•2n+1＝6+2×﹣（2n+1）•2n+1，即﹣Tn＝6﹣2×（4﹣2n+1）﹣（2n+1）•2n+1＝﹣2﹣（2n﹣1）•2n+1，所以Tn＝（2n﹣1）•2n+1+2；若选择条件②：由（1）可知an＝2n；所以bn＝＝＝﹣（n∈N+），所以Tn＝b1+b2+…+bn＝（﹣）+（﹣）++（﹣）＝1﹣；若选择条件③：由（1）可知an＝2n；所以bn＝（﹣1）n•log2a2n+1＝（﹣1）n•（2n+1），所以当n为偶数时，Tn＝（b1+b2）+（b3+b4）+…+（bn﹣1+bn），即Tn＝（﹣3+5）+（﹣7+9）+…+[﹣（2n﹣1）+（2n+1）]＝2×＝n；当n为奇数时，Tn＝b1+（b2+b3）+（b4+b5）+…+（bn﹣1+bn），即Tn＝（﹣3）+（﹣2）+（﹣2）++（﹣2）＝3+（﹣2）×＝﹣n﹣2，综上所述，Tn＝（n∈N+）．19．汕尾市陆河县因盛产青梅，被誉为“中国青梅之乡”．该县某企业旗下的青梅产品深受广大消费者的青睐．该企业产品分正品和次品两种，每箱产品有200件，每件产品为次品的概率为0.1，且是否为次品相互独立．近期该企业举办了“青梅节”抽奖活动和促销活动．（1）“青梅节”抽奖活动，共有10张奖券，其中一等奖1张，每张价值500元；二等奖3张，每张价值100元；其余6张没有奖励、顾客A从10张奖券中随机抽出2张．求顾客A获奖的总价值X（单位：元）的分布列；（2）“青梅节”促销活动，每箱产品交付给顾客前都要进行检验，每件产品的检验费为2元．若检验出次品，则要更换为正品（更换的产品无需再付检验费）．若因没有检验导致次品流入顾客手中，每件流入顾客手中的次品，企业要向顾客支付25元的赔偿费．现有以下两种方案，请你以检验费与赔偿费之和的期望值为决策依据，帮助企业决定应该选择那种方案？方案一：从每箱200件产品中随机抽查检验20件产品；方案二：对每箱200件产品进行逐一检验．解：（1）X的所有可能值为0，100，200，500，600，

15，，，，，∴奖品总价值X的分布列为X0100200500600P（2）设检验费用与赔偿费用之和为W，当选择方案一时，设剩下的180件产品中，次品数为ξ，由题意可得，ξ～B（180，0.1），∴E（ξ）＝180×0.1＝18，∴W＝40+25×18＝490，当选项方案二时，W＝2×200＝400，由于400＜490，故选方案二．20．如图1所示，在凸四边形ABCD中，∠ACB＝∠ADC＝，∠DAC＝∠CAB＝，AB＝4，点E为AB的中点，M为线段AC上的一点，且ME⊥AB，沿着AC将△DAC折起来，使得平面DAC⊥平面BAC，如图2所示．（1）证明：BC⊥AD；（2）求平面MDE与平面DEB所成锐二面角的余弦值．【解答】（1）证明：如图，∵平面DAC⊥平面BAC，且平面DAC∩平面BAC＝AC，BC⊂平面BAC，且BC⊥AC，∴BC⊥平面DAC，而AD⊂平面DAC，∴BC⊥AD；

16（2）解：以C为原点，分别以CA、CB所在直线为x、y轴建立空间直角坐标系，在图1中，∵∠ACB＝∠ADC＝，∠DAC＝∠CAB＝，AB＝4，∴BC＝2，AC＝，CD＝，CM＝AC﹣AM＝，∴M（，0，0），E（，1，0），B（0，2，0），D（，0，），∴，，．设平面MDE的一个法向量为，由，取z1＝1，可得；设平面DEB的法向量为，由，取x2＝1，得．设平面MDE与平面DEB所成锐二面角为θ，则cosθ＝．故平面MDE与平面DEB所成锐二面角的余弦值为．21．李华找了一条长度为8的细绳，把它的两端固定于平面上两点F1，F2处，|F1F2|＜8，套上铅笔，拉紧细绳，移动笔尖一周，这时笔尖在平面上留下了轨迹C，当笔尖运动到点M处时，经测量此时∠F1MF2＝，且△F1MF2的面积为4．（1）以F1，F2所在直线为x轴，以F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，求李华笔尖留下的轨迹C的方程（铅笔大小忽略不计）；（2）若直线1与轨迹C交于A，B两点，且弦AB的中点为N（2，1），求△OAB的面积．

17解：（1）设椭圆的标准方程为，由椭圆的定义知2a＝8，故a2＝16．∵在Rt△F1MF2中，|F1F2|＝2c，假设|MF1|＝x，|MF2|＝y（x，y＞0），又∵△F1MF2的面积为4cm2，，故4c2＝x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝48，∴c2＝12，b2＝a2﹣c2＝4，∴椭圆的标准方程为．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），∵弦AB的中点为N（2，1），∴x1+x2＝4，y1+y2＝2且x1≠x2．又∵A，B均在椭圆上，∴，得，即（x1+x2）⋅（x1﹣x2）＝﹣4（y1+y2）⋅（y1﹣y2）．∴（x1﹣x2）＝﹣2（y1﹣y2）．∵x1≠x2，∴故直线AB的方程为：x+2y﹣4＝0．联立，整理得x2﹣4x＝0．得x1＝0，x2＝4，∴A（0，2），B（4，0），∴．∴△OAB的面积为4cm2．22．已知函数f（x）＝alnx﹣+2x（a∈R）．（1）若函数f（x）在定义域上单调递增，求实数a的取值范围；（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，且|x1﹣x2|≤，证明：|f（x1）﹣f（x2）|≤10ln2﹣6．解：（1）因为f（x）＝alnx﹣+2x（a∈R），

18所以f′（x）＝++2＝（x＞0），因为f（x）在（0，+∞）上为增函数，所以任意x∈（0，+∞），有f′（x）＝++2≥0，整理得a≥﹣（2x+）恒成立，因为x＞0，所以由基本不等式知，2x+≥4，从而有﹣（2x+）≤﹣4，当且仅当x＝1时等号成立，所以[﹣（2x+）]max＝﹣4，所以a≥﹣4，所以实数a的取值范围为[﹣4，+∞）．（2）因为f（x）有两个极值点x1，x2，所以方程2x2+ax+2＝0有两个正根x1，x2，从而有△＝a2﹣16≥0且x1+x2＝﹣，x1x2＝1，因为x1x2＝1且x1，x2均为正数，所以可设0＜x1≤1≤x2①，当x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0恒成立，所以f（x）在（x1，x2）上为减函数，从而有f（x1）≥f（x2），令Z＝|f（x1）﹣f（x2）|＝f（x1）﹣f（x2），则Z＝alnx1﹣+2x1﹣alnx2+﹣2x2＝aln+4（x1﹣x2）＝﹣2（x1+x2）lnx22+4（x1﹣x2）＝﹣4（x1+x2）lnx2+4（x1﹣x2）＝4[x1﹣﹣（x1+）lnx1]，又因为|x1﹣x2|≤，所以﹣x1≤，即2x12+3x1﹣2≥0②，由①②，得≤x1≤1，令h（x）＝x﹣﹣（x+）lnx（≤x≤1），则h′（x）＝﹣（1﹣）lnx，因为≤x≤1，所以h′（x）≤0，

19所以h（x）在[，1]上为减函数，所以h（x）max＝h（）＝﹣2﹣ln＝ln2﹣，所以Zmax＝4h（x）max＝10ln2﹣6，所以|f（x1）﹣f（x2）|≤10ln2﹣6，得证．