吉林省长春北师大附属学校2021-2022学年高二上学期期中考试数学试题（解析版）

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北师大长春附属学校2021~2022学年度高二年级上学期期中考试数学试卷考试时间：120分钟，满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每道题4个选项中只有一个符合题目要求.1.已知空间向量，且，则等于（）A.1B.2C.3D.【答案】B【解析】【分析】根据空间向量垂直的性质，结合空间向量数量积的坐标表示公式进行求解即可.【详解】由，故选：B2.经过两点的直线的方程为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由直线与两个坐标轴的交点坐标，写出直线的截距式方程，化简为一般式即可.【详解】因为直线经过，，直线在两坐标轴上的截距分别为2和-1，所以直线的截距式方程为，即.故选：A.3.若直线与圆相切，则的值是（）．A.或12B.2或C.或D.2或12【答案】D【解析】【分析】由于直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，从而可求出的值【详解】∵圆的标准方程为，∴圆心坐标，半径为1，∵直线与圆相切，第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司

1∴圆心到直线的距离等于圆的半径，即，解得或．故选：D4.如图，在平行六面体中，，，，，是与的交点，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用空间向量，表示，再由，，，，通过向量的模求解.【详解】设则则故选：D【点睛】方法点睛：利用棱柱的结构特征，结合空间向量求两点间的距离.5.若直线与圆无公共点，则点与圆的位置关系是（）A.点在圆上B.点在圆外C.点在圆内D.以上都有可能【答案】C【解析】【分析】利用圆心到直线的距离小于圆的半径可得出关于、的不等式，即可判断出点与圆第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司

2的位置关系.【详解】圆的圆心为，半径为，因为直线与圆无公共点，则，所以，，因此，点在圆内.故选：C.6.三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等边三角形，AA1⊥平面ABC，AA1＝AB，N，M分别是A1B1，A1C1的中点，则AM与BN所成角的余弦值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】取的中点，以为原点，建立空间直角坐标系，求得向量与的坐标，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】如图所示，取的中点，以为原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，不妨设，则，所以，设异面直线所成的角为，向量与所成的角为，所以,即异面直线所成的角的余弦值为.故选：C.7.在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为和第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司

3，另一组对边所在的直线方程分别为，，则（）A.B.C.2D.4【答案】B【解析】【分析】根据菱形的性质，结合平行线间距离公式进行求解即可.【详解】因为菱形四条边都相等，所以每边上的高也相等，且菱形对边平行，直线和之间的距离为：，和之间的距离为：，于是有：，解得，故选：B8.如图，ABCD－EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足，则P到AB的距离为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】以A为坐标原点，AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，计算出和的坐标，然后根据向量法求点到直线的距离公式即可求解.【详解】如图，以A为坐标原点，AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司

4则，，，因为，所以，，，，，所以点P到AB的距离．故选：C.二、多选题：本题共4小题.每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.有5件产品，其中3件正品，2件次品，从中任取2件，则互斥的两个事件是A.至少有1件次品与至多有1件正品B.至少有1件次品与都是正品C.至少有1件次品与至少有1件正品D.恰有1件次品与恰有2件正品.【答案】BD【解析】【分析】根据互斥事件的定义，对每个选项做出判断，从而得到结论．【详解】对于A，至少有1件次品与至多有1件正品不互斥，它们都包括了“一件正品与一件次品”的情况，故不满足条件；对于B，至少有1件次品与都是正品是对立事件，属于互斥事件，故满足条件；对于C，至少有1件次品与至少有1件正品不互斥，它们都包括了“一件正品与一件次品”的情况，故不满足条件；对于D，恰有1件次品与恰有2件正品是互斥事件，故满足条件．故选：BD．【点睛】本题考查互斥事件的判断，考查逻辑思维能力和分析求解能力，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于基础题.第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司

510.已知向量，则下列结论中正确的是（）A.若，则B.若，则C.存在实数，使得D.若，则【答案】AD【解析】【分析】根据空间向量的坐标运算求解即可.【详解】对于A，由解得，故A正确；对于B，因为，所以解得，故B错误；对于C，假设存在实数，使得，则，即无解，故C错误；对于D，解得，所以故D正确，故选:AD.11.已知直线l：，其中，下列说法正确的是（）A.当时，直线l与直线垂直B.若直线l与直线平行，则C.直线l过定点D.当时，直线l在两坐标轴上的截距相等【答案】AC【解析】【分析】对于A，代入，利用斜率之积为得知直线l与直线垂直；对于B，由两平行线的一般式有求得，从而可判断正误；对于C，求定点只需令参数的系数为0即可，故直线l过定点；对于D，代入，分别求得直线l在两坐标轴上的截距即可判断正误.【详解】对于A，当时，直线l的方程为，故l的斜率为1，直线的斜率为，因为，所以两直线垂直，所以A正确；第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司

6对于B，若直线l与直线平行，则，解得或，所以B错误；对于C，当时，则，所以直线过定点，所以C正确；对于D，当时，直线l的方程为，易得在x轴、y轴上的截距分别是，所以D错误.故选：AC.12.已知圆，圆，则下列选项正确是（）A.两圆相交B.两圆有2条公切线C.两圆的圆心距离是D.公共弦长【答案】ACD【解析】【分析】由圆方程确定圆的圆心及半径，求两圆的圆心距，判断C，再由圆的位置关系的定义判断两圆的位置关系及公切线条数，判断A，B，再求公共弦方程，结合弦长公式求公共弦长判断D.【详解】因方程可化为，可化为，所以圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，所以两圆的圆心距离，C正确，因为，所以圆和圆相交，且圆和圆有3条公切线，A正确，B错误，由方程与相减可得，所以圆和圆的公共弦所在的直线方程为，点到直线的距离为，所以圆和圆的公共弦长为，D正确，故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上.13.某人有3把钥匙，其中2把能打开门，如果随机地取一把钥匙试着开门，把不能打开门的钥匙扔掉，那么第二次才能打开门的概率为__________.【答案】【解析】【分析】分析试验过程，利用概率的乘法公式即可求出概率.第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司

7【详解】记事件A：第二次才能打开门.因为3把钥匙中有2把能打开门，而第一次没有打开，第二次必然能打开.所以.故答案为：.14.已知直线的倾斜角为，且，则直线的斜率的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系，结合角度范围即可得斜率的取值范围.【详解】解：直线的倾斜角为，则直线的斜率,又所以或，则直线的斜率的取值范围是.故答案为：.15.如图，在四面体中，在线段上，满足，是的中点，是线段上一点，且，若，则__________.【答案】【解析】【分析】由条件结合空间向量线性运算法则利用表示向量，根据空间向量基本定理求，由此可得.【详解】因为，，所以，因为是的中点，所以，第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司

8所以，所以，又，所以，故，故答案为：.16.曲线围成的图形的面积是__________．【答案】【解析】【详解】当，时，已知方程是，即．它对应的曲线是第一象限内半圆弧（包括端点），它的圆心为，半径为.同理，当，；，；，时对应的曲线都是半圆弧（如图）．它所围成的面积是.故答案为四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.求满足下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点坐标分别为，，经过点；（2）焦点在轴上的椭圆上任意一点到两个焦点的距离的和为.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设椭圆的标准方程为，依题意求出和可得结果；第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司

9（2）设椭圆的标准方程为，根据椭圆的定义求出，再根据求出后可得结果.【小问1详解】设椭圆的标准方程为，依题可得，将代入到方程中得，故，所以椭圆的标准方程为.【小问2详解】设椭圆的标准方程为，依题可得，即，所以，所以椭圆的标准方程为18.如图，在正方体中，为的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）以点为原点建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，利用向量法证明即可；（2）利用向量法求解即可.【小问1详解】第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司

10证明：如图，以点为原点建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则，则，设平面的法向量为，由于，可得，可取，因为，所以，又平面，所以平面；【小问2详解】解：，设直线与平面所成角，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.19.已知圆过点，且圆心在直线上.（1）求圆的标准方程；（2）过点的直线截圆所得的弦长为4，求直线的方程.【答案】（1）（2）或第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司

11【解析】【分析】（1）先求的中垂线方程，然后由两条直线的交点得出圆心坐标，再求出半径，得出结果；（2）根据勾股定理求出圆心到直线的距离，讨论直线的斜率是否存在，当斜率存在时，使用距离公式，解出直线的斜率，写出直线方程.【小问1详解】的中点坐标为，直线的斜率为，的垂直平分线的斜率为，所以的垂直平分线方程，联立方程，解得，所以圆心，又，求得，因此圆的标准方程.【小问2详解】直线截圆所得的弦长为4，圆的半径为，依题可得圆心到直线的距离.当不存在时，，符合题意；当存在时，，，解得，，整理得，综上所述，直线的方程为或.20.长春某旅游景区为了解决十一期间游园难题，推出自驾小蓝车服务，收费按每小时100元收取（不足一小时按一小时计算），现甲、乙两家人独立来该景区租用小蓝车，各租一次，设甲、乙两家租用不超过1小时的概率分别为，租用1小时以上且不超过2小时的概率分别为，租用2小时以上且不超过3小时的概率分别为，两家租用的时间都不超过4小时.（1）设甲、乙两家所付的费用都为400元的概率；（2）设甲、乙两家所付的费用和为400元的概率.【答案】（1）第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司

12（2）【解析】【分析】（1）根据独立事件的概率乘法公式即可求解，（2）根据互斥事件和独立事件的概率乘法公式即可求解，【小问1详解】设甲、乙两家租用不超过1小时事件为，租用1小时以上且不超过2小时事件为，租用2小时以上且不超过3小时事件为，租用3小时以上且不超过4小时事件为，则，互斥，与对立，则,同理，设甲、乙两家所付的费用都为400元的事件为，且独立，则，【小问2详解】设甲、乙两家所付的费用和为400元的事件为，则，故21.如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点.（1）求证：平面⊥平面；（2）若二面角为，求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由线面垂直得到，再由得到线面垂直，面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，设，根据二面角的大小求出第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司

13，利用空间向量求解点到平面的距离.小问1详解】底面，平面，，又，平面，，平面，又平面，平面⊥平面.【小问2详解】底面，平面，，因为，故以为正交基底，建立空间直角坐标系，设则，设平面的法向量为，由于，令，得：，故取，取平面的法向量为，则，解得：，第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司

14故，故点到平面的距离.22.已知顶点、坐标分别是、，内角的角平分线交于点，且满足的面积是面积的倍.（1）求动点的轨迹方程；（2）直线与的轨迹交于、两点，是否存在，使得以为直径的圆过原点？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】（1）设，分析可得，利用两点间的距离公式化简可得出点的轨迹方程，同时也要根据点不在轴，可得出，即可得出结果；（2）设、，将直线的方程与点的轨迹方程联立，由求出的取值范围，列出韦达定理，由已知可得出，利用平面向量数量积的坐标运算以及韦达定理求出实数的值，即可得解.【小问1详解】解：设，由题，可得，即，化简得，因为点不在轴，则，所以动点的轨迹方程是.【小问2详解】解：假设存在使得以为直径的圆过原点，设、，联立可得，令，得由韦达定理得，，第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司

15由，故，显然点O不在直线MN上，则由，可得，则，解得，满足，故存在满足条件.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为、；（2）联立直线与圆的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；（5）代入韦达定理求解.第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司