吉林省长春北师大附属学校2021-2022学年高三上学期期中考试数学（文）试题（解析版）

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北师大长春附属学校2021—2022学年度高三年级上学期期中考试数学（文）试卷考试时间：120分钟满分：150分第I卷选择题一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据交集定义可直接得到结果.【详解】由交集定义知：.故选：C.2.已知复数（其中i是虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【分析】对复数进行计算，再确定所在复平面的象限.【详解】因为，所以在复平面对应的点位于第四象限.故选：D.3.设x，y满足约束条件则的最大值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】【分析】画出可行域，由变为，平移直线，由直线在y第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司

1轴上的截距最大时，目标函数取得最大值求解.【详解】由x，y满足约束条件画出可行域，如图所示阴影部分：将变为，平移直线，当直线经过点A时，直线在y轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值，最大值为4，故选：D4.已知向量，且，则实数（）A.B.C.3D.【答案】C【解析】【分析】先求出，根据，即可求得实数的值.【详解】由已知得，.又，所以，即.解得，故选：C.5.以椭圆＋＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是（）A.B.C.D.第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司

2【答案】B【解析】【分析】根据椭圆的几何性质求椭圆的焦点坐标和长轴端点坐标，由此可得双曲线的a，b，c，再求双曲线的标准方程.【详解】∵椭圆的方程为＋＝1，∴椭圆的长轴端点坐标为，，焦点坐标为，，∴双曲线的焦点在y轴上，且a＝1，c＝2，∴b2＝3，∴双曲线方程为，故选：B.6.如图，矩形的长为6，宽为4，在矩形内随机撒300颗黄豆，落在椭圆外的绿豆数为96，以此试验数据为依据可以估计出椭圆的面积为（）A.16.32B.15.32C.8.68D.7.68【答案】A【解析】【分析】欲估计出椭圆的面积，可利用概率模拟，只要利用平面图形的面积比求出落在椭圆外的概率即可．【详解】解：设椭圆的面积为，则黄豆落在椭圆外的概率为：即：解得：．故选：A．7.设函数，则下列结论错误的是（）A.的最小正周期为B.的图象关于直线对称C.的图象关于点对称D.在区间上单调递增【答案】D【解析】第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司

3【分析】根据正弦函数的性质求出函数的最小正周期，利用整体代换法即可求出函数的对称轴、对称中心和单调区间.【详解】A:，的最小正周期为，故正确；B：令，解得，，当时，，即的图象关于直线对称，故B正确；C：令，解得，，即关于，对称，当时，，即的图象关于点对称，故C正确；D：令，解得，即的单调递增区间为，，当时，单调递增区间为，故D错误；故选：D.8.在空间中，设m、n是两条直线，α、β表示两个平面，如果m⊂α，α∥β，那么“m⊥n”是“n⊥β”的（　　）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要【答案】B【解析】【分析】利用线面垂直和线面平行的判定和性质，充分条件和必要条件的应用即可．【详解】①当m⊥n时，∵m⊂α，α∥β，则n与β可能平行，∴充分性不成立，②当n⊥β时，∵α∥β，∴n⊥α，∵m⊂α，∴m⊥n，∴必要性成立，∴m⊥n是n⊥β的必要不充分条件，故选：B．第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司

49.在公比为2的等比数列中，，则的值是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用等比数列的通项公式基本运算，及三角函数的二倍角公式可得解.【详解】在等比数列中，由，，，．令，，所以．故选：D.【点睛】思路点睛：等比数列的基本量运算问题的常见类型及解题策略：（1）化基本量求通项．求等比数列的和，通项便可求出，或利用知三求二，用方程求解．（2）化基本量求特定项．利用通项公式或者等比数列的性质求解．（3）化基本量求公比．利用等比数列的定义和性质，建立方程组求解．（4）化基本量求和．直接将基本量代入前项和公式求解或利用等比数列的性质求解．10.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0，1]上是减函数，则有（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用，得到，再利用奇偶性和单调性判断即可.【详解】，则，奇函数在上为减函数，在上为减函数，，第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司

5，即.故选：C.【点睛】本题主要考查了利用奇偶性和单调性比较大小的问题.属于较易题.11.中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由题意，p＝10，S，利用基本不等式，即可得出结论．【详解】由题意，p＝10，S8，∴此三角形面积的最大值为8．故选C．【点睛】本题考查三角形的面积的计算，考查基本不等式的运用，属于中档题．12.关于函数，有如下列结论：①函数有极小值也有最小值；②函数有且只有两个不同的零点；③当时，恰有三个实根；④若时，，则的最小值为．其中正确结论的个数是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求导后，根据正负可确定的单调性；根据在上恒成立，结合极值和最值的定义可知①正确；利用零点存在定理可说明②正确；作出图象，将问题转化为与的交点个数问题，采用数形结合的方式可确定③错误；根据图象和函数值域可确定④正确.【详解】，第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司

6当时，；当时，；在，上单调递减，在上单调递增；对于①，在处取得极小值，极小值为，当时，恒成立，在上恒成立，为的最小值，则既有极小值也有最小值，①正确；对于②，，，，在和上各有一个零点，又当时，恒成立，有且只有两个不同的零点，②正确；对于③，，图象如下图所示，由图象可知：当时，与有且仅有两个不同交点，即当时，有且仅有两个不等实根，③错误；对于④，若时，，结合图象可知：，即的最小值为，④正确.故选：C.【点睛】方法点睛：本题考查利用导数研究函数的相关性质的问题，其中考查了方程根的个数问题，解决此类问题的基本方法有：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根来确定根的个数；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.第II卷非选择题第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司

7二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知向量，且，则______．【答案】2【解析】【分析】根据向量垂直得到方程，求出.【详解】由题意得：，故.故答案为：214.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为．则“将军饮马”的最短总路程为_______．【答案】5【解析】【分析】作出图示，先求得点关于直线的对称点C的坐标，在直线上取点，由对称性可得，则，根据两点间距离公式，即可得答案.详解】作出图示，设点关于直线的对称点为，在直线上取点，由对称性可得，所以，当且仅当A、、三点共线时，等号成立，因此，“将军饮马“的最短总路程为.故答案为：.15.将正整数排成如图所示的三角形数阵，则数阵中第行的第85个数是________．第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司

8【答案】2021【解析】【分析】根据题意可知第行有个数，根据等差数列的求和公式可得第行的最后一个数为，进而可求结果.【详解】由题意可知：第行有个数，则前行共有个数，即第行的最后一个数为，则数阵中第行的第85个数是.故答案为：2021.16.已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径若平面平面SCB，，，三棱锥的体积为9，则球O的表面积为______．【答案】36π【解析】【详解】三棱锥S−ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径，若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S−ABC的体积为9，可知三角形SBC与三角形SAC都是等腰直角三角形，设球的半径为r，可得，解得r=3.球O的表面积为：.点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.三、解答题：（本大题共6小题，共70分）17.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）点为曲线上一动点，求点到直线l的最大距离．第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司

9【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换即可解之.（2）利用圆心到直线的距离公式的应用求出结果.【小问1详解】直线的参数方程消去，可得普通方程为，即，曲线C的极坐标方程为，根据，转换为直角坐标方程为，即，即曲线C为圆.【小问2详解】由（1）可知，曲线C为，圆心到直线的距离为,所以点到直线l的最大距离为．18.设函数．（1）求函数的最小正周期；（2）若的内角所对的边分别为，且，的面积为，，求的值．【答案】（1）（2），或，【解析】【分析】（1）利用两角和差正弦公式和辅助角公式化简解析式，根据正弦型函数最小正周期求法可求得结果；（2）由可求得；利用三角形面积公式和余弦定理可构造方程组求得.【小问1详解】第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司

10，的最小正周期.【小问2详解】由（1）得：，，，，，解得：；，，由余弦定理得：，，，或，.19.已知等比数列的前项和为，若，，且．（1）求数列通项公式以及前项和；（2）设，记数列的前项和，若恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1），；（2）,.【解析】【分析】(1)根据题意和等比数列的性质求出和公比，结合等比数列的通项公式和前n项求和公式计算即可求解；(2)由(1)，结合对数的运算性质可得，利用裂项相消求和法即可求解.【小问1详解】设等比数列的公比为，由，得.由，且．得，又，得，即，解得或（舍）．所以，．【小问2详解】．第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司

11所以，显然．所以,．20.某高三理科班共有60名同学参加某次考试，从中随机挑出5名同学，他们的数学成绩x与物理成绩y如下表：数学成绩x145130120105100物理成绩y110901027870（1）数据表明y与x之间有较强的线性关系，求y关于x的线性回归方程；（2）本次考试中，规定数学成绩达到125分为优秀，物理成绩达到100分为优秀．若该班数学优秀率与物理优秀率分别为50%和60%，且除去抽走的5名同学外，剩下的同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有5人，请把下面的列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为数学优秀与物理优秀有关？物理优秀物理不优秀合计数学优秀数学不优秀合计60参考数据：，，K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d．P（>)0.500.400.250150.100.050.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）；（2）列联表见解析，可以在犯错误概率不超过0.01的前提下认为数学优秀与物理优秀有关.【解析】【分析】（1）先求出，根据最小二乘法求出，进而求出即可；（2第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司

12）根据题意中的数据分析可得列联表，利用卡方公式计算和题意的数据表，结合独立性检验的思想即可下结论.【小问1详解】由题意可得，，，所以，故关于的线性回归方程是．【小问2详解】由题意可知，该班数学优秀人数及物理优秀人数分别为30，36，抽出的5人中，数学优秀但是物理不优秀的共有1人，故全班数学优秀但是物理不优秀的共有6人，于是得到列联表为：物理优秀物理不优秀合计数学优秀24630数学不优秀121830合计362436于是的观测值为，因此，可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为数学优秀与物理优秀有关.21.已知点A(0，－2)，椭圆E：(a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点.(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点.当△OPQ的面积最大时，求l的方程.【答案】（1）（2）【解析】第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司

13【详解】试题分析：设出，由直线的斜率为求得，结合离心率求得，再由隐含条件求得，即可求椭圆方程；（2）点轴时，不合题意；当直线斜率存在时，设直线，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于零求得的范围，再由弦长公式求得，由点到直线的距离公式求得到的距离，代入三角形面积公式，化简后换元，利用基本不等式求得最值，进一步求出值，则直线方程可求.试题解析：（1）设，因为直线的斜率为，所以，.又解得，所以椭圆的方程为.（2）解：设由题意可设直线的方程为：，联立消去得，当，所以，即或时.所以点到直线的距离所以，第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司

14设，则，，当且仅当，即，解得时取等号，满足所以的面积最大时直线的方程为：或.【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的.22.已知函数.（1）当时，求曲线在点，处的切线方程；（2）若存在，，使得不等式成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用导数，结合切点和斜率求得切线方程.（2）将不等式转化为，利用构造函数法，结合导数以及对进行分类讨论，来求得的取值范围.【详解】（1）当时，，则，，，所以曲线在点，处的切线方程为，即；（2）由题意知，存在，，使得不等式成立，即存在，，使得成立，令，，，第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司

15则，，，①当时，，所以函数在，上单调递减，所以（2）成立，解得，所以.②当时，令，解得；令，解得.所以函数在，上单调递增，在，上单调递减，又，所以（2），解得，与矛盾，舍去.③当时，，所以函数在，上单调递增，所以，不符合题意，舍去.综上所述，的取值范围为.第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司