《数学归纳法》示范公开课教学课件【高中数学北师大】

《《数学归纳法》示范公开课教学课件【高中数学北师大】》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

第一章数列数学归纳法

1了解数学归纳法原理，能用数学归纳法证明一些简单的命题．数学归纳法证明的原理及基本步骤．基本步骤的第二步推演过程．

2已知数列满足，，计算，，，猜想其通项公式，并证明你的猜想．已知，n1，，n2，．n3，猜想

3仅通过前几项能得出所有的结果吗？这样得出的猜想一定正确吗？不一定正确17世纪，法国大数学家费马发现，对于这个数，分别验证n=1，2，3，4，这个数均为质数，从而猜测：对于任意的自然数，这个数都是质数．半个世纪后欧拉举出了反例：当n=5时，该数可以拆成两个数的乘积．从某种意义上说，仅通过前几项不能得出所有的结果，这样得出的猜想未必是正确的．

4该如何证明这个猜想呢？一般来说，与正整数n有关的命题，当n比较小时可以逐个验证．但当n较大时，验证起来会很麻烦．尤其是我们这里要证明n取所有正整数都成立，这是一个无限的问题，逐一验证是不可能的，我们无法用常规方法严格证明．因此，我们很有必要寻求一种新的方法，这种方法能让我们通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数时命题都成立．

5将多米诺骨牌按一定间距排成一行，怎么做能让骨牌都倒下？可通过动手操作发现将骨牌保持适当的间距，碰倒第一块骨牌，骨牌都会倒下．如果碰倒第一块骨牌，是不是其余的骨牌都将被依次推倒呢？若骨牌间距过大，导致前一块骨牌无法推倒后一块骨牌，那就不能使所有骨牌都倒下．因此要让相邻两个骨牌之间保持合适的间距，这个间距要能保证任意相邻两块骨牌，前一块倒下一定能导致后一块倒下．

6多米诺骨牌游戏与证明猜想“数列的通项公式是”有相似性吗？所有骨牌都倒下：（1）第一块骨牌已倒；（2）前一块倒下一定能导致后一块倒下．得到通项公式：（1）；（2）骨牌原理假设有无限多块骨牌，我们可以想象前一块推倒后一块的动作将永远进行下去．也就是说，无论有多少块骨牌，只要保证这两个条件都成立，那么所有骨牌一定可以全部倒下．这就是骨牌原理．

7类比骨牌原理，证明问题1中的猜想需要几步？需要分成两步．多米诺骨牌游戏猜想的证明第一步确保第一块已经倒下证明猜想在n=1时成立第二步如果第k块骨牌倒下，那么第k+1块骨牌也能倒下．若n=k时猜想成立，则n=k+1时猜想也成立．

8数学归纳法：这种用来证明某些与正整数n有关的数学命题的方法，叫做数学归纳法．(1)证明：当n取第一个值(是一个确定的正整数，如或2等)时，命题成立；(2)假设当n=k(，k≥时命题成立，证明当n=k+1时，命题也成立．根据(1)(2)可以断定命题对一切从开始的正整数n都成立．数学归纳法的一般证明过程：所有命题都是从n=1开始成立吗？证明起点的选择不一定要取1，而是取证明命题成立的最小正整数．如：用数学归纳法证明命题“凸多边形的内角和为(n-2)180°”应从n=3开始验证．所以，证明的第一步是：证明当n=（）时命题成立．

9第二步中的k是怎样的正整数？k应该是大于或等于n0的正整数，不能把“k≥n0”改成“k＞n0”．数学归纳法适用于怎样的数学问题?数学归纳法用于证明一个与正整数n有关的命题，可以将这个关于正整数n的命题记为P(n)．数学归纳法这两个步骤之间有关系吗？这两个步骤之间既相互依存，又彼此联系，是一个有机的整体.第一步验证了当n＝n0时这个命题成立，即为真．第二步是假设为真，由“为真”推出“也为真”．第二步的这个关系所关注的不是和是否分别成立，而是命题“若为真，则也为真”是否成立，强调的是这二者之间是否有递推关系．

10下面这道题在应用数学归纳法证明的过程中，有没有错误？求证：．证明：假设当时，等式成立，即，则当时，有，所以当时等式也成立．由此得出，对任何，等式都成立．证法有错误．n=1时，未证明．n=k时猜想成立n=k+1时猜想也成立．

11用数学归纳法证明：首项为，公差为d的等差数列的前n项和公式为．证明：(1)当时，左边，右边，等式成立．第一步，证明n=1时公式成立：第二步：由n=k时猜想成立n=k+1时猜想也成立．(2)假设当时，等式成立，即成立．那么，当时，．这就是说，当时等式也成立．根据(1)和(2)，可知等式对任意正整数都成立．

12已知数列满足，，试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明．解：由和，得，，，，归纳上述结果，可得猜想．下面用数学归纳法证明这个猜想．(1)当时，左边，右边，等式成立．(2)假设当时，等式成立，即成立．那么，当时，．这就是说，当时等式也成立．根据(1)和(2)，可知猜想对任意正整数都成立．

13用数学归纳法证明：（其中，）．证明：(1)当时，左边，右边，命题成立．(2)假设当时，命题成立，即．那么，当时，因为，所以．根据假设知，，所以．因为，所以．这表明，当时命题也成立．根据(1)和(2)，该命题对于任意正整数都成立．

14已知数列{an}，an≥0，a1＝0，，求证：当时，an＜an+1．证明：(1)由题意得，当n＝1时，，因为an≥0，所以，即a1＜a2成立．(2)假设当n＝k(时，0≤ak＜ak+1，所以-，又an≥0，所以＞0，所以ak+1＜ak+2，即当n＝k＋1时，an＜an+1也成立．综上可知，an＜an+1对任意都成立．

15证明：(1)当n＝1时，，不等式成立．(2)假设当n＝k(k)时，不等式成立，即则当n＝k＋1时，，即当n＝k＋1时，不等式成立．由(1)和(2)可知，不等式对任意n都成立．用数学归纳法证明：(．

16数学归纳法：用来证明某些与正整数n有关的数学命题的方法，叫做数学归纳法．一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：（1）证明：当n取第一个值(是一个确定的正整数，如或2等)时，命题成立；（2）假设当n=k（，k≥）时命题成立，证明当n=k+1时，命题也成立．根据(1)(2)可以断定命题对一切从开始的正整数n都成立．

17教材第39页习题1-5第1，2，3题．

18谢谢大家！敬请各位老师提出宝贵意见！

19