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时间:2023-03-06
《《数学归纳法》示范公开课教案【高中数学北师大】》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
第一章数列5.1数学归纳法◆教学目标了解数学归纳法原理,能用数学归纳法证明一些简单的命题.◆教学重难点◆重点:数学归纳法证明的原理及基本步骤.难点:基本步骤的第二步推演过程.◆教学过程一、新课导入问题1:已知数列an满足a1=1,an+1=12-ann∈N+,计算a2,a3,a4,猜想其通项公式,并证明你的猜想.答案:已知反映相邻两项关系的递推公式,又已知首项,那么就可以求出该数列的每一项.令n=1,就有a2=12-a1,把a1=1代入,可得a2=1.同理,令n=2,就有a3=12-a2,把a2=1代入,可得a3=1.看上去这个数列的每一项都是1,由此猜想,该数列的通项公式就是an=1n∈N+.追问1:仅通过前几项能得出所有的结果吗?这样得出的猜想一定正确吗?答案:仅通过前几项不能得出所有的结果,这样得出的猜想不一定正确.如:17世纪,法国大数学家费马发现,对于22n+1这个数,分别验证n=1,2,3,4,这个数均为质数,从而猜测:对于任意的自然数,这个数都是质数.半个世纪后欧拉举出了反例:当n=5时,该数可以拆成两个数的乘积.通过以上反例,可看出从某种意义上说,仅通过前几项不能得出所有的结果,这样得出的猜想未必是正确的.追问2:该如何证明这个猜想呢?答案:一般来说,与正整数n有关的命题,当n比较小时可以逐个验证.但当n
1较大时,验证起来会很麻烦.尤其是我们这里要证明n取所有正整数都成立,这是一个无限的问题,逐一验证是不可能的,我们无法用常规方法严格证明.因此,我们很有必要寻求一种新的方法,这种方法能让我们通过有限个步骤的推理,证明n取所有正整数时命题都成立.二、新知探究问题2:将多米诺骨牌按一定间距排成一行,怎么做能让骨牌都倒下?答案:可通过动手操作发现将骨牌保持适当的间距,碰倒第一块骨牌,骨牌都会倒下.追问1:如果碰倒第一块骨牌,是不是其余的骨牌都将被依次推倒呢?答案:若骨牌间距过大,导致前一块骨牌无法推倒后一块骨牌,那就不能使所有骨牌都倒下.因此要让相邻两个骨牌之间保持合适的间距,这个间距要能保证任意相邻两块骨牌,前一块倒下一定能导致后一块倒下.追问2:如果保证了前一块一定能把后一块推倒,那么它们倒了吗?答案:如果第一块骨牌不倒,那么后面的骨牌自然也不会倒.所以第一块骨牌倒下,给所有骨牌倒下提供了基础,这个条件必不可少.进而归纳得出使所有骨牌都倒下的条件有两个:(1)第一块骨牌已倒;(2)前一块倒下一定能导致后一块倒下.追问3:条件(1)与条件(2)有何联系?答案:如果要所有骨牌都倒下,就要保证“从第一块开始,如果前一块倒下,那么后一块也能跟着倒下.”为了表示起来更方便,引入一个字母k,表述上把“前一块”给换成“第k块”.条件(2)就是若第k块倒,则第k+1块也一定能倒.关于k的取值,首先它是正整数,其次,还必须保证k能取从1开始的正整数,所以k≥1.类似的,如果要求从第二块开始后面的骨牌都倒下,那么需要满足的条件是第二块骨牌已经倒下,并且从第二块开始,前一块倒下一定能导致后一块倒下,即k≥2.一般的,如果要求从第n0n0∈N+块开始,后面的骨牌都倒下,那么需要满足的条件是:第n0块骨牌已经倒下,并且从第n0块开始,前一块倒下一定能导致后一块倒下,也就是k≥n0.因此,条件(2)中k的最小值就是条件(1)中骨牌倒下的初始值.
2追问4:多米诺骨牌游戏与证明猜想“数列an的通项公式是an=1n∈N+”有相似性吗?答案:一方面,为了保证所有骨牌都倒下,两个条件缺一不可.而问题1中“a1=1”和“an+1=12-ann∈N+”这两个条件但凡有一个不知道,就无法写出任意一项.另一方面,问题1中之所以可以顺利地依次根据前一项写出后一项,“an+1=12-ann∈N+”这个递推关系至关重要.而多米诺骨牌游戏中的条件(2)实际上也是给出了一个递推关系:“第k块骨牌倒下”能推出“第k+1块骨牌倒下”.假设有无限多块骨牌,我们可以想象前一块推倒后一块的动作将永远进行下去.也就是说,无论有多少块骨牌,只要保证这两个条件都成立,那么所有骨牌一定可以全部倒下.这就是骨牌原理.这二者有一定的相似性,可以试着将多米诺骨牌游戏的两个条件类比、迁移到证明问题1中.问题3:类比骨牌原理,证明问题1中的猜想需要几步?答案:需要分成两步.追问1:多米诺骨牌游戏的条件(1)是确保第一块已经倒下.那么猜想的证明中第一步应该是什么呢?答案:第一步应该证明猜想在n=1时成立.追问2:骨牌原理的条件(2)是确保“如果第k块骨牌倒下,那么第k+1块骨牌也能倒下.”类似的,猜想的证明中就是要证明什么呢?答案:第二步应该证明若n=k时猜想成立,则n=k+1时猜想也成立.如果能证明这一点,那么就可以由“n=1时猜想成立”推出“n=2时猜想成立”,再由“n=2时猜想成立”推出“n=3时猜想成立”,依此类推,就可以使这个猜想成立的范围从1开始,向后一个数接一个数地传递到1以后地每一个数,从而完成证明. 数学归纳法:这种用来证明某些与正整数n有关的数学命题的方法,叫做数学归纳法.
3问题4:你能从这个具体问题的解决办法中,抽象概括出数学归纳法的一般证明过程吗?答案:一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:(1)证明:当n取第一个值n0(n0是一个确定的正整数,如n0=1或2等)时,命题成立;(2)假设当n=k(n∈N+,k≥n0)时命题成立,证明当n=k+1时,命题也成立.根据(1)(2)可以断定命题对一切从n0开始的正整数n都成立.追问1:所有命题都是从n=1开始成立吗?答案:证明起点的选择不一定要取1,而是取证明命题成立的最小正整数.如:用数学归纳法证明命题“凸多边形的内角和为(n-2)180。”应从n=3开始验证.所以,证明的第一步是:证明当n=n0(n0∈N+)时命题成立.追问2:第二步中的k是怎样的正整数?答案:k应该是大于或等于n0的正整数,不能把“k≥n0”改成“k>n0”.追问3:数学归纳法适用于怎样的数学问题?答案:数学归纳法用于证明一个与正整数n有关的命题,可以将这个关于正整数n的命题记为P(n).追问4:数学归纳法这两个步骤之间有关系吗?答案:这两个步骤之间既相互依存,又彼此联系,是一个有机的整体.第一步验证了当n=n0时这个命题成立,即Pn0为真.第二步是假设Pkk∈N+,k≥n0为真,由“Pk为真”推出“Pk+1也为真”.第二步的Pk→Pk+1这个关系所关注的不是Pk和Pk+1是否分别成立,而是命题“若Pk为真,则Pk+1也为真”是否成立,强调的是这二者之间是否有递推关系.三、应用举例例1下面这道题在应用数学归纳法证明的过程中,有没有错误?求证:12+22+⋯+n2=16nn+12n+1n∈N+.
4证明:假设当n=kk∈N+时,等式成立,即12+22+⋯+k2=16kk+12k+1,则当n=k+1时,有12+22+⋯+k+12=16k+1k+1+12k+1+1,所以当n=k+1时等式也成立.由此得出,对任何n∈N+,等式都成立.答案:证法有错误.追问1:这道题需要证明n=1的情况吗?答案:这道题需要证明n=1的情况.这个证法只有第二步,而缺少了第一步,没有证明n=1的情况.第一步是后面递推的出发点,没有它,递推就成为无源之水.所以,我们应该先考虑当n=1时该式是否成立.当n=1时,该式的左边.而右边.左边等于右边,所以n=1时该式成立.追问2:上述证法如果加上证明n=1的情况,还有错误吗?答案:这个证法当n=k+1时,有,直接把k给换成k+1.然后就说当n=k+1时也成立.而把k换成k+1的前提是当n=k+1时成立,这正是我们要证明的结论,不能把它当作已经条件.追问3:如何修改上述证法?答案:首先要明确目标:我们是假设n=k时该式成立,并以此为条件证明n=k+1时该式也成立,从而证明命题的成立具有递推性.所以,这个式子是需要我们证明的,是我们的目标.那该怎么证明呢?我们一定要用上假设.既然假设当n=k时该式成立,那么这个式子就成了已知条件.然后比较一下已知条件和要证明的式子,等号左边多了一个这一项,那不妨在式子两边同时加上,就有
5.再进行化简,我们的目标就达成了.说明n=k时该式成立能推出n=k+1时该式也成立,加之k的任意性,我们由这两个步骤就可知:对任何n∈N+,等式都成立.方法归纳怎样正确地使用数学归纳法?答案:首先,一定不要忘了验证第一步,我们称这一步为归纳奠基,它为后续的证明奠定了基础,是必不可少的.其次,我们的第二步是在第一步基础上证明命题的成立具有递推性,这实际上是以逻辑的推理代替了无限的验证过程.假设P(k)为真,要用上假设,以此为已知条件,证明P(k+1)也为真,要明确“用上假设,递推才真”.例2用数学归纳法证明:首项为a1,公差为d的等差数列an的前n项和公式为sn=na1+nn-1d2.证明:(1)当n=1时,左边=s1=a1,右边=1∙a1+1∙1-1d2=a1,等式成立.(2)假设当n=kk≥1时,等式成立,即sk=ka1+kk-1d2成立.那么,当n=k+1时,sk+1=sk+ak+1=ka1+kk-1d2+a1+k+1-1d=k+1a1+kk-1d+2kd2=k+1a1+kk+1d2=k+1a1+k+1k+1-1d2.这就是说,当n=k+1时等式也成立.根据(1)和(2),可知等式对任意正整数n都成立.例3 已知数列an满足an+1=12-an,a1=0,试猜想数列an的通项公式,并用数学归纳法证明.解由an+1=12-an和a1=0,得a2=12-a1=12-0=12,a3=12-a2=12-12=23,a4=12-a3=12-23=34,a5=12-a4=12-34=45,⋯归纳上述结果,可得猜想an=n-1n.
6下面用数学归纳法证明这个猜想.(1)当n=1时,左边=a1=0,右边=1-11=0,等式成立.(2)假设当n=kk≥1时,等式成立,即ak=k-1k成立.那么,当n=k+1时,ak+1=12-ak=12-k-1k=kk+1=k+1-1k+1.这就是说,当n=k+1时等式也成立.根据(1)和(2),可知猜想an=n-1n对任意正整数n都成立.总结:通过例题可以体会归纳和数学归纳的区别:(1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题;(2)在用数学归纳法证明中,两个基本步骤缺一不可.例4 用数学归纳法证明:1+an≥1+na(其中a>-1,n∈N+).证明:(1)当n=1时,左边=1+a,右边=1+a,命题成立.(2)假设当n=kk≥1时,命题成立,即1+ak≥1+ka.那么,当n=k+1时,因为a>-1,所以1+a>0.根据假设知,1+ak≥1+ka,所以1+ak+1=1+ak1+a≥1+ka1+a=1+k+1a+ka2.因为ka2≥0,所以1+k+1a+ka2≥1+k+1a.这表明,当n=k+1时命题也成立.根据(1)和(2),该命题对于任意正整数n都成立.四、课堂练习1.已知数列{an},an≥0,a1=0,an+12+an+1-1=an2,求证:当n∈N+时,an<an+1.2.用数学归纳法证明:1+12+13+⋯+12n≤12+n(n∈N+).参考答案:
71.证明:(1)由题意得,当n=1时,a22+a2-1=0,因为an≥0,所以a2=5-12,即a1<a2成立.(2)假设当n=k(n∈N+)时,0≤ak<ak+1,所以ak+12-ak2=ak+22+ak+2-1-ak+12+ak+1-1=ak+2-ak+1ak+2+ak+1+1>0,又an≥0,所以ak+2+ak+1+1>0,所以ak+1<ak+2,即当n=k+1时,an<an+1也成立.综上可知,an<an+1对任意n∈N+都成立.2.证明:(1)当n=1时,1+12=32,不等式成立.(2)假设当n=k(k∈N+)时,不等式成立,即1+12+13+⋯+12k≤12+k则当n=k+1时,1+12+13+⋯+12k+12k+1+122+2+⋯+12k+2k<12+k+2k∙12k=12+k+1,即当n=k+1时,不等式成立.由(1)和(2)可知,不等式对任意n∈N+都成立.五、课堂小结数学归纳法:用来证明某些与正整数n有关的数学命题的方法,叫做数学归纳法.一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:(1)证明:当n取第一个值n0(n0是一个确定的正整数,如n0=1或2等)时,命题成立;(2)假设当n=k(n∈N+,k≥n0)时命题成立,证明当n=k+1时,命题也成立.根据(1)(2)可以断定命题对一切从n0开始的正整数n都成立.六、布置作业教材第39页习题1-5第1,2,3题.
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