《数学归纳法》示范公开课教案【高中数学北师大】

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第一章数列5.1数学归纳法◆教学目标了解数学归纳法原理，能用数学归纳法证明一些简单的命题．◆教学重难点◆重点：数学归纳法证明的原理及基本步骤．难点：基本步骤的第二步推演过程．◆教学过程一、新课导入问题1：已知数列an满足a1=1，an+1=12-ann∈N+，计算a2，a3，a4，猜想其通项公式，并证明你的猜想．答案：已知反映相邻两项关系的递推公式，又已知首项，那么就可以求出该数列的每一项．令n=1，就有a2=12-a1，把a1=1代入，可得a2=1．同理，令n=2，就有a3=12-a2，把a2=1代入，可得a3=1．看上去这个数列的每一项都是1，由此猜想，该数列的通项公式就是an=1n∈N+．追问1：仅通过前几项能得出所有的结果吗？这样得出的猜想一定正确吗？答案：仅通过前几项不能得出所有的结果，这样得出的猜想不一定正确.如：17世纪，法国大数学家费马发现，对于22n+1这个数，分别验证n=1，2，3，4，这个数均为质数，从而猜测：对于任意的自然数，这个数都是质数．半个世纪后欧拉举出了反例：当n=5时，该数可以拆成两个数的乘积．通过以上反例，可看出从某种意义上说，仅通过前几项不能得出所有的结果，这样得出的猜想未必是正确的．追问2：该如何证明这个猜想呢？答案：一般来说，与正整数n有关的命题，当n比较小时可以逐个验证．但当n

1较大时，验证起来会很麻烦．尤其是我们这里要证明n取所有正整数都成立，这是一个无限的问题，逐一验证是不可能的，我们无法用常规方法严格证明．因此，我们很有必要寻求一种新的方法，这种方法能让我们通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数时命题都成立．二、新知探究问题2：将多米诺骨牌按一定间距排成一行，怎么做能让骨牌都倒下？答案：可通过动手操作发现将骨牌保持适当的间距，碰倒第一块骨牌，骨牌都会倒下．追问1：如果碰倒第一块骨牌，是不是其余的骨牌都将被依次推倒呢？答案：若骨牌间距过大，导致前一块骨牌无法推倒后一块骨牌，那就不能使所有骨牌都倒下．因此要让相邻两个骨牌之间保持合适的间距，这个间距要能保证任意相邻两块骨牌，前一块倒下一定能导致后一块倒下．追问2：如果保证了前一块一定能把后一块推倒，那么它们倒了吗？答案：如果第一块骨牌不倒，那么后面的骨牌自然也不会倒．所以第一块骨牌倒下，给所有骨牌倒下提供了基础，这个条件必不可少．进而归纳得出使所有骨牌都倒下的条件有两个：（1）第一块骨牌已倒；（2）前一块倒下一定能导致后一块倒下．追问3：条件（1）与条件（2）有何联系？答案：如果要所有骨牌都倒下，就要保证“从第一块开始，如果前一块倒下，那么后一块也能跟着倒下．”为了表示起来更方便，引入一个字母k，表述上把“前一块”给换成“第k块”．条件（2）就是若第k块倒，则第k+1块也一定能倒．关于k的取值，首先它是正整数，其次，还必须保证k能取从1开始的正整数，所以k≥1．类似的，如果要求从第二块开始后面的骨牌都倒下，那么需要满足的条件是第二块骨牌已经倒下，并且从第二块开始，前一块倒下一定能导致后一块倒下，即k≥2．一般的，如果要求从第n0n0∈N+块开始，后面的骨牌都倒下，那么需要满足的条件是：第n0块骨牌已经倒下，并且从第n0块开始，前一块倒下一定能导致后一块倒下，也就是k≥n0．因此，条件（2）中k的最小值就是条件（1）中骨牌倒下的初始值．

2追问4：多米诺骨牌游戏与证明猜想“数列an的通项公式是an=1n∈N+”有相似性吗？答案：一方面，为了保证所有骨牌都倒下，两个条件缺一不可．而问题1中“a1=1”和“an+1=12-ann∈N+”这两个条件但凡有一个不知道，就无法写出任意一项．另一方面，问题1中之所以可以顺利地依次根据前一项写出后一项，“an+1=12-ann∈N+”这个递推关系至关重要．而多米诺骨牌游戏中的条件（2）实际上也是给出了一个递推关系：“第k块骨牌倒下”能推出“第k+1块骨牌倒下”．假设有无限多块骨牌，我们可以想象前一块推倒后一块的动作将永远进行下去．也就是说，无论有多少块骨牌，只要保证这两个条件都成立，那么所有骨牌一定可以全部倒下．这就是骨牌原理．这二者有一定的相似性，可以试着将多米诺骨牌游戏的两个条件类比、迁移到证明问题1中．问题3：类比骨牌原理，证明问题1中的猜想需要几步？答案：需要分成两步．追问1：多米诺骨牌游戏的条件（1）是确保第一块已经倒下．那么猜想的证明中第一步应该是什么呢？答案：第一步应该证明猜想在n=1时成立．追问2：骨牌原理的条件（2）是确保“如果第k块骨牌倒下，那么第k+1块骨牌也能倒下．”类似的，猜想的证明中就是要证明什么呢？答案：第二步应该证明若n=k时猜想成立，则n=k+1时猜想也成立．如果能证明这一点，那么就可以由“n=1时猜想成立”推出“n=2时猜想成立”，再由“n=2时猜想成立”推出“n=3时猜想成立”，依此类推，就可以使这个猜想成立的范围从1开始，向后一个数接一个数地传递到1以后地每一个数，从而完成证明．　数学归纳法：这种用来证明某些与正整数n有关的数学命题的方法，叫做数学归纳法．

3问题4：你能从这个具体问题的解决办法中，抽象概括出数学归纳法的一般证明过程吗？答案：一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：（1）证明：当n取第一个值n0(n0是一个确定的正整数，如n0=1或2等)时，命题成立；（2）假设当n=k（n∈N+，k≥n0）时命题成立，证明当n=k+1时，命题也成立．根据(1)(2)可以断定命题对一切从n0开始的正整数n都成立．追问1：所有命题都是从n=1开始成立吗？答案：证明起点的选择不一定要取1，而是取证明命题成立的最小正整数．如：用数学归纳法证明命题“凸多边形的内角和为(n-2)180。”应从n=3开始验证．所以，证明的第一步是：证明当n=n0（n0∈N+）时命题成立．追问2：第二步中的k是怎样的正整数？答案：k应该是大于或等于n0的正整数，不能把“k≥n0”改成“k＞n0”．追问3：数学归纳法适用于怎样的数学问题?答案：数学归纳法用于证明一个与正整数n有关的命题，可以将这个关于正整数n的命题记为P(n)．追问4：数学归纳法这两个步骤之间有关系吗？答案：这两个步骤之间既相互依存，又彼此联系，是一个有机的整体.第一步验证了当n＝n0时这个命题成立，即Pn0为真．第二步是假设Pkk∈N+，k≥n0为真，由“Pk为真”推出“Pk+1也为真”．第二步的Pk→Pk+1这个关系所关注的不是Pk和Pk+1是否分别成立，而是命题“若Pk为真，则Pk+1也为真”是否成立，强调的是这二者之间是否有递推关系．三、应用举例例1下面这道题在应用数学归纳法证明的过程中，有没有错误？求证：12+22+⋯+n2=16nn+12n+1n∈N+．

4证明：假设当n=kk∈N+时，等式成立，即12+22+⋯+k2=16kk+12k+1，则当n=k+1时，有12+22+⋯+k+12=16k+1k+1+12k+1+1，所以当n=k+1时等式也成立．由此得出，对任何n∈N+，等式都成立．答案：证法有错误．追问1：这道题需要证明n=1的情况吗？答案：这道题需要证明n=1的情况．这个证法只有第二步，而缺少了第一步，没有证明n=1的情况．第一步是后面递推的出发点，没有它，递推就成为无源之水．所以，我们应该先考虑当n=1时该式是否成立．当n=1时，该式的左边．而右边.左边等于右边，所以n=1时该式成立．追问2：上述证法如果加上证明n=1的情况，还有错误吗？答案：这个证法当n=k+1时，有，直接把k给换成k+1.然后就说当n=k+1时也成立．而把k换成k+1的前提是当n=k+1时成立，这正是我们要证明的结论，不能把它当作已经条件．追问3：如何修改上述证法？答案：首先要明确目标：我们是假设n=k时该式成立，并以此为条件证明n=k+1时该式也成立，从而证明命题的成立具有递推性．所以，这个式子是需要我们证明的，是我们的目标．那该怎么证明呢？我们一定要用上假设.既然假设当n=k时该式成立，那么这个式子就成了已知条件．然后比较一下已知条件和要证明的式子，等号左边多了一个这一项，那不妨在式子两边同时加上，就有

5．再进行化简，我们的目标就达成了．说明n=k时该式成立能推出n=k+1时该式也成立，加之k的任意性，我们由这两个步骤就可知：对任何n∈N+，等式都成立．方法归纳怎样正确地使用数学归纳法？答案：首先，一定不要忘了验证第一步，我们称这一步为归纳奠基，它为后续的证明奠定了基础，是必不可少的．其次，我们的第二步是在第一步基础上证明命题的成立具有递推性，这实际上是以逻辑的推理代替了无限的验证过程．假设P(k)为真，要用上假设，以此为已知条件，证明P(k+1)也为真，要明确“用上假设，递推才真”．例2用数学归纳法证明：首项为a1，公差为d的等差数列an的前n项和公式为sn=na1+nn-1d2．证明：(1)当n=1时，左边=s1=a1，右边=1∙a1+1∙1-1d2=a1，等式成立．(2)假设当n=kk≥1时，等式成立，即sk=ka1+kk-1d2成立．那么，当n=k+1时，sk+1=sk+ak+1=ka1+kk-1d2+a1+k+1-1d=k+1a1+kk-1d+2kd2=k+1a1+kk+1d2=k+1a1+k+1k+1-1d2．这就是说，当n=k+1时等式也成立．根据(1)和(2)，可知等式对任意正整数n都成立．例３　已知数列an满足an+1=12-an，a1=0，试猜想数列an的通项公式，并用数学归纳法证明．解由an+1=12-an和a1=0，得a2=12-a1=12-0=12，a3=12-a2=12-12=23，a4=12-a3=12-23=34，a5=12-a4=12-34=45，⋯归纳上述结果，可得猜想an=n-1n．

6下面用数学归纳法证明这个猜想．(1)当n=1时，左边=a1=0，右边=1-11=0，等式成立．(2)假设当n=kk≥1时，等式成立，即ak=k-1k成立．那么，当n=k+1时，ak+1=12-ak=12-k-1k=kk+1=k+1-1k+1．这就是说，当n=k+1时等式也成立．根据(1)和(2)，可知猜想an=n-1n对任意正整数n都成立．总结：通过例题可以体会归纳和数学归纳的区别：(1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题；(2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．例4　用数学归纳法证明：1+an≥1+na（其中a>-1，n∈N+）．证明：(1)当n=1时，左边=1+a，右边=1+a，命题成立．(2)假设当n=kk≥1时，命题成立，即1+ak≥1+ka．那么，当n=k+1时，因为a>-1，所以1+a>0．根据假设知，1+ak≥1+ka，所以1+ak+1=1+ak1+a≥1+ka1+a=1+k+1a+ka2．因为ka2≥0，所以1+k+1a+ka2≥1+k+1a．这表明，当n=k+1时命题也成立．根据(1)和(2)，该命题对于任意正整数n都成立．四、课堂练习1.已知数列{an}，an≥0，a1＝0，an+12+an+1-1=an2，求证：当n∈N+时，an＜an+1．2.用数学归纳法证明：1+12+13+⋯+12n≤12+n（n∈N+）．参考答案：

71.证明：(1)由题意得，当n＝1时，a22+a2-1=0，因为an≥0，所以a2=5-12，即a1＜a2成立．(2)假设当n＝k（n∈N+）时，0≤ak＜ak+1，所以ak+12-ak2=ak+22+ak+2-1-ak+12+ak+1-1=ak+2-ak+1ak+2+ak+1+1>0，又an≥0，所以ak+2+ak+1+1＞0，所以ak+1＜ak+2，即当n＝k＋1时，an＜an+1也成立．综上可知，an＜an+1对任意n∈N+都成立．2.证明：(1)当n＝1时，1+12＝32，不等式成立．(2)假设当n＝k（k∈N+）时，不等式成立，即1+12+13+⋯+12k≤12+k则当n＝k＋1时，1+12+13+⋯+12k+12k+1+122+2+⋯+12k+2k<12+k+2k∙12k=12+k+1，即当n＝k＋1时，不等式成立．由（1）和（2）可知，不等式对任意n∈N+都成立．五、课堂小结数学归纳法：用来证明某些与正整数n有关的数学命题的方法，叫做数学归纳法．一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：（1）证明：当n取第一个值n0(n0是一个确定的正整数，如n0=1或2等)时，命题成立；（2）假设当n=k（n∈N+，k≥n0）时命题成立，证明当n=k+1时，命题也成立．根据(1)(2)可以断定命题对一切从n0开始的正整数n都成立．六、布置作业教材第39页习题1-5第1，2，3题．