（原创）高中复习 函数、导数及其应用（第九节）.ppt

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第二章函数、导数及其应用 第九节　函数模型及其应用基础知识自主学习热点命题深度剖析思想方法感悟提升 最新考纲1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义；2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用。 J基础知识自主学习 1．三种函数模型之间增长速度的比较函数性质y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增减性____________________________增长速度越来越快越来越慢相对平稳图像的变化随x的增大逐渐表现为与______平行随x的增大逐渐表现为与______平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x>x0时，有logax0)，通过图像可以直观地认识它，特例是正比例函数模型y＝_____________。(3)指数函数模型：y＝a·bx＋c(b>0，b≠1，a≠0)型，图像增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快(底数b>1，a>0)，常形象地称为指数爆炸。(4)对数函数模型：y＝mlogax＋n(a>0，a≠1，m≠0)型，图像增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢(底数a>1，m>0)。kx＋b(k≠0)kx(k>0) (5)幂函数模型：y＝a·xn＋b(a≠0)型，其中最常见的是二次函数模型：_________________(a≠0)，图像增长特点是随着自变量的增大，函数值先减小，后增大(a>0)。y＝ax2＋bx＋c [判一判](1)函数y＝2x的函数值在(0，＋∞)上一定比y＝x2的函数值大。()解析错误。当x＝2和4时，相等。(2)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xα(α>0)的增长速度。()解析正确。(3)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻。()解析错误。当a>0，b>1时，结论成立。×√× (4)幂函数增长比直线增长更快。()解析错误。对于幂函数y＝xα，在(0，＋∞)上，当α>1时，其增长速度比直线增长快；当0<α<1时，比直线增长慢；当α<0时，为减函数。(5)指数函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题中。()解析正确。×√ 2．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据。现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是()x1.953.003.945.106.12y0.971.591.982.352.61解析由表格数据可知，y的增长速度随x的增大而减小，符合对数函数的特点。答案B 3．(2015·四川卷)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)。若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是()A．16小时B．20小时C．24小时D．28小时 4．(2016·苏州模拟)某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元。每提高一个档次，每件利润增加2元。用同样工时，可以生产最低档产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品。则获得利润最大时生产产品的档次是________。解析由题意，第k档次时，每天可获利润为：y＝[8＋2(k－1)][60－3(k－1)]＝－6k2＋108k＋378(1≤k≤10)，配方可得y＝－6(k－9)2＋864，∴k＝9时，获得利润最大。9 R热点命题深度剖析 【例1】提高市内跨江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数。桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时。研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数。(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；考点一一次函数、二次函数模型 (2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值。(精确到1辆/时) 【规律方法】一次函数、二次函数模型问题的常见类型及解题策略(1)直接考查一次函数、二次函数模型。解决此类问题应注意三点：①二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；②确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法；③解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题。(2)以分段函数的形式考查。解决此类问题应关注以下三点：①实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解；②构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏；③分段函数的最值是各段的最大(或最小)者的最大者(最小者)。 (2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？ 考点二 (2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值。 变式训练2某村计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室，在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大面积是多少？ 考点三指数函数的模型 (2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ 【规律方法】(1)指数函数模型常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来表示。(2)应用指数函数模型时，关键是对模型的判断，先设定模型将有关已知数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型。(3)y＝a(1＋x)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解。 变式训练3一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg/mL，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过________小时才能开车。(精确到1小时)解析设至少经过x小时才能开车。由题意得0.3(1－25%)x≤0.09，∴0.75x≤0.3，x≥log0.750.3≈5。5 S思想方法感悟提升 ⊙1个防范——实际问题的定义域要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域。⊙4个步骤——解决实际应用问题的一般步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义。以上过程用框图表示如下：