四川省南充高级中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学（文科）Word版含解析

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2020-2021学年四川省南充高级中学高二（下）期中考试数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．命题“若”，则tana＝1“的否命题是（　　）A．“若“，则tana≠1”B．“若“，则tana＝1”C．“若，则tana≠1”D．“若tana≠1，则”2．函数f（x）＝ln2+cosx的导数为（　　）A．B．﹣sinxC．sinxD．3．若直线3x+y+a＝0过圆x2+y2+2x﹣4y＝0的圆心，则a的值为（　　）A．﹣1B．1C．3D．﹣34．球的体积是，则此球的表面积是（　　）A．B．16πC．D．5．如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入a，b分别为2，6，则输出的a等于（　　）A．4B．0C．2D．146．“k＞1”是“函数f（x）＝kx﹣lnx在区间[1，+∞）单调递增”的（　　）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件

17．洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．如图，若从四个阴数和五个阳数中分别随机各选取1个数，则其和等于9的概率是（　　）A．B．C．D．8．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（　　）A．B．C．D．9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）A．B．C．D．10．已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）＝1，且f（x）的导数f′（x）＞，则不等式f（x2）＜的解集为（　　）A．（﹣∞，﹣1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）D．（﹣1，1）11．已知离心率为2的双曲线C：的左右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），直线与双曲线C在第一象限的交点为P，∠PF1F2的角平分线与PF2交于点Q，若|PF2|＝λ|PQ|，则λ的值是（　　）A．B．C．D．12．已知a＞0，b∈R，且ex≥a（x﹣1）+b对x∈R恒成立，则a2b的最大值为（　　）

2A．B．C．D．二、填空题：本题共4个小题，每个小题5分，共20分。13．相关变量的样本数据如表：经回归分析可得y与x线性相关，并由最小二乘法求得回归直线方程为y＝10x+a，则a＝　　x1234y2030304014．若命题“∀x∈R，x2+ax+1≥0”是真命题，则实数a的取值范围为　　．15．如图，已知圆柱和半径为的半球O，圆柱的下底面在半球O底面所在平面上，圆柱的上底面内接于球O，则该圆柱的体积的最大值为　　．16．已知f（x）＝kex﹣x2（k∈R），下列结论正确的是　　．①当k＝1时，f（x）≥0恒成立；②若f（x）在R上单调，则；③当k＝2时，f（x）的零点为x0且；④若f（x）有三个零点，则实数k的取值范围为．三、解答题：本题6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．设命题p：实数x满足（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足4≤2x≤8．（1）若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18．已知函数．（1）求函数f（x）的图象在点x＝0处的切线方程；（2）求函数f（x）的极值．19．“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员，面向全社会的优质平台，现日益成为老百姓了解国家动态，紧跟时代脉搏的热门APP，某市宣传部门为了解全民利用“学习强国”了解国家动态的情况，从全市抽取2000名人员进行调查，统计他们每周利用“学习强国”的时长，下图是根据调查结果绘制的频率分布直方图（1）根据上图，求所有被抽查人员利用“学习强国”的平均时长和中位数；（2）宣传部为了了解大家利用“学习强国”

3的具体情况，准备采用分层抽样的方法从[8，10]和[10，12]组中抽取50人了解情况，则两组各抽取多少人？再利用分层抽样从抽取的50人中选5人参加一个座谈会．现从参加座谈会的5人中随机抽取两人发言，求[10，12]小组中至少有1人发言的概率？20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，M为PD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝4，AB＝2．（1）求证：AM⊥平面MCD；（2）求点M到平面PAC的距离．21．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为1，过点M（3，0）的直线与椭圆C相交于两点A，B（1）求椭圆C的方程；（2）设P为椭圆上一点，且满足+＝t（O为坐标原点），当|AB|＜时，求实数t的取值范围．22．已知函数h（x）＝alnx+x2﹣（a+2）x，g（x）＝（a﹣1）lnx+（1+a）x2﹣4x．（1）讨论h（x）的单调性；（2）设函数f（x）＝h（x）﹣g（x），若对任意x＞0，恒有f（x）≤0，求a的取值范围．

4参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．命题“若”，则tana＝1“的否命题是（　　）A．“若“，则tana≠1”B．“若“，则tana＝1”C．“若，则tana≠1”D．“若tana≠1，则”解：命题“若”，则tana＝1“的否命题是“若“，则tana≠1”故选：A．2．函数f（x）＝ln2+cosx的导数为（　　）A．B．﹣sinxC．sinxD．解：f′（x）＝0﹣sinx＝﹣sinx．故选：B．3．若直线3x+y+a＝0过圆x2+y2+2x﹣4y＝0的圆心，则a的值为（　　）A．﹣1B．1C．3D．﹣3解：圆x2+y2+2x﹣4y＝0的圆心为（﹣1，2），代入直线3x+y+a＝0得：﹣3+2+a＝0，∴a＝1，故选：B．4．球的体积是，则此球的表面积是（　　）A．B．16πC．D．解：根据题意，设球的半径为R，若球的体积是，则有V＝＝，解可得R＝2，则其表面积S＝4πR2＝16π，故选：B．5．如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入a，b分别为2，6，则输出的a等于（　　）

5A．4B．0C．2D．14解：若输入a，b分别为2，6，因为a≠b，执行左支，2＜6，执行右支，b＝6﹣2＝4，返回进入第二次循环，a＝2，b＝4，再执行一次，得到a＝2，b＝2，此时a＝b，执行右支，得到a＝2，故选：C．6．“k＞1”是“函数f（x）＝kx﹣lnx在区间[1，+∞）单调递增”的（　　）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：f′（x）＝k﹣，∵函数f（x）＝kx﹣lnx在区间[1，+∞）单调递增，∴f′（x）≥0在区间[1，+∞）上恒成立．∴k≥，而y＝在区间[1，+∞）上单调递减，∴k≥1．故“k＞1”是“函数f（x）＝kx﹣lnx在[1，+∞）单调递增“充分不必要条件故选：A．7．洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．如图，若从四个阴数和五个阳数中分别随机各选取1个数，则其和等于9的概率是（　　）

6A．B．C．D．解：从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数，基本事件总数n＝4×5＝20，其和等于9包含的基本事件有：（7，2），（3，6），（5，4），（1，8），共4个，∴其和等于9的概率p＝＝．故选：A．8．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（　　）A．B．C．D．解：由y2＝2px，得2p＝3，p＝，则F（，0）．∴过A，B的直线方程为y＝（x﹣），即x＝y+．联立，得4y2﹣12y﹣9＝0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2＝3，y1y2＝﹣．∴S△OAB＝S△OAF+S△OFB＝×|y1﹣y2|＝＝×＝．故选：D．9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）

7A．B．C．D．解：该几何体为三棱柱与三棱锥的组合体，如右图，三棱柱的底面是等腰直角三角形，其面积S＝×1×2＝1，高为1；故其体积V1＝1×1＝1；三棱锥的底面是等腰直角三角形，其面积S＝×1×2＝1，高为1；故其体积V2＝×1×1＝；故该几何体的体积V＝V1+V2＝；故选：A．10．已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）＝1，且f（x）的导数f′（x）＞，则不等式f（x2）＜的解集为（　　）A．（﹣∞，﹣1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）D．（﹣1，1）解：根据题意，设g（x）＝f（x）﹣，其导数g′（x）＝f′（x）﹣＞0，则函数g（x）在R上为增函数，

8又由f（1）＝1，则g（1）＝f（1）﹣＝，不等式f（x2）＜⇒f（x2）﹣＜⇒g（x2）＜g（1），又由g（x）在R上为增函数，则x2＜1，解可得：﹣1＜x＜1，即不等式的解集为（﹣1，1）；故选：D．11．已知离心率为2的双曲线C：的左右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），直线与双曲线C在第一象限的交点为P，∠PF1F2的角平分线与PF2交于点Q，若|PF2|＝λ|PQ|，则λ的值是（　　）A．B．C．D．解：∵直线；所以其过左焦点，且∠PF1F2＝30°；如图：∵∠PF1F2的角平分线与PF2交于点Q，且|PF2|＝λ|PQ|，∴＝＝⇒|PF1|＝×2c；∵离心率为2＝⇒c＝2a⇒|PF2|＝|PF1|﹣2a＝；∴cos∠PF1F2＝⇒＝＝；⇒＝＝＝⇒λ＝．故选：B．

912．已知a＞0，b∈R，且ex≥a（x﹣1）+b对x∈R恒成立，则a2b的最大值为（　　）A．B．C．D．解：设f（x）＝ex﹣a（x﹣1）﹣b，可得f′（x）＝ex﹣a，当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）递增，f（x）无最小值；当a＞0时，x＞lna时，f′（x）＞0，f（x）递增；x＜lna时，f′（x）＜0，f（x）递减，可得x＝lna处，f（x）取得最小值2a﹣alna﹣b，由ex≥a（x﹣1）+b对x∈R恒成立，可得b≤2a﹣alna，则a2b≤2a3﹣a3lna，设g（a）＝2a3﹣a3lna，g′（a）＝6a2﹣（3a2lna+a2）＝5a2﹣3a2lna＝a2（5﹣3lna），当a＞e时，g′（a）＜0，g（a）递减；当0＜a＜e时，g′（a）＞0，g（a）递增，可得a＝e处，g（a）取得最大值2e5﹣e5＝e5．即有a2b的最大值为e5．故选：B．二、填空题：本题共4个小题，每个小题5分，共20分。13．相关变量的样本数据如表：经回归分析可得y与x线性相关，并由最小二乘法求得回归直线方程为y＝10x+a，则a＝　5　x1234y20303040解：，．把样本点的中心的坐标（2.5，30）代入y＝10x+a，得30＝10×2.5+a，即a＝5．故答案为：5．14．若命题“∀x∈R，x2+ax+1≥0”是真命题，则实数a的取值范围为　[﹣2，2]　．解：因为命题“∀x∈R，x2+ax+1≥0”是真命题，所以不等式x2+ax+1≥0在x∈R上恒成立．

10由函数y＝x2+ax+1的图象是一条开口向上的抛物线可知，判别式△≤0即a2﹣4≤0⇒﹣2≤a≤2，所以实数a的取值范围是[﹣2，2]．故答案为：[﹣2，2]．15．如图，已知圆柱和半径为的半球O，圆柱的下底面在半球O底面所在平面上，圆柱的上底面内接于球O，则该圆柱的体积的最大值为　2π　．解：设圆柱的底面圆半径为r，高为h；则h2+r2＝R2＝3；所以圆柱的体积为V＝πr2h＝π（3﹣h2）h＝π（3h﹣h3）；则V′（h）＝π（3﹣3h2），令V′（h）＝0，解得h＝1；所以h∈（0，1）时，V′（h）＞0，V（h）单调递增；h∈（1，）时，V′（h）＜0，V（h）单调递减；所以h＝1时，V（h）取得最大值为V（1）＝2π．故答案为：2π．16．已知f（x）＝kex﹣x2（k∈R），下列结论正确的是　②③④　．①当k＝1时，f（x）≥0恒成立；②若f（x）在R上单调，则；③当k＝2时，f（x）的零点为x0且；④若f（x）有三个零点，则实数k的取值范围为．解：①当k＝1时，f（x）＝ex﹣x2，f（﹣1）＝﹣1＜0，故①错误；②f（x）＝kex﹣x2，则f′（x）＝kex﹣2x，

11若f（x）在R上单调递增，则f′（x）≥0，即k≥恒成立，令g（x）＝，则g'（x）＝＝0，得x＝1，即g（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减，所以g（x）max＝g（1）＝，故k≥；若f（x）在R上单调递减，则f′（x）≤0，即k≤恒成立，当x→﹣∞时，→﹣∞，g（x）无最小值，故k≤不恒成立，即f（x）不会单调递减，综上：若f（x）在R上单调，则；故②正确；③当k＝2时，f（x）＝2ex﹣x2，f′（x）＝2（ex﹣x），令g（x）＝ex﹣x，则g′（x）＝ex﹣1，令g′（x）＝0，解得：x＝0，故g（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增，故g（x）≥g（0）＝1，故f（x）在R上单调递增，∵f（﹣1）＝﹣1＜0，f（﹣）＝＞0，由函数零点存在性定理知，存在x0∈（﹣1，﹣），使得f（x0）＝0，故③正确；④f（x）有3个零点等价于方程kex﹣x2＝0有3个根，即方程k＝有3个根，令F（x）＝，F′（x）＝，故F（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，2）递增，在（2，+∞）递减，而F（0）＝0，F（2）＝，大致图像如图示：故k的取值范围是（0，），故④正确；故答案为：②④．

12三、解答题：本题6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．设命题p：实数x满足（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足4≤2x≤8．（1）若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．解：（1）命题p：实数x满足（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0，解得a＜x＜3a．命题q中：实数x满足4≤2x≤8可得2≤x≤3．若a＝1，则p中：1＜x＜3，∵p且q为真，∴，解得2≤x＜3，故所求x∈[2，3）．（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件，∴，解得1＜a＜2，∴a的取值范围是（1，2）．18．已知函数．（1）求函数f（x）的图象在点x＝0处的切线方程；（2）求函数f（x）的极值．解：（1），f'（x）＝x2﹣2x﹣3，从而f（0）＝1，f'（0）＝﹣3，因此，函数f（x）点x＝0处的切线方程为：y＝﹣3x+1．（2）令f'（x）＝x2﹣2x﹣3＝0，得x＝﹣1或x＝3．则当x变化时，f（x）与f'（x）的变化情况如下表x（﹣∞，﹣1）﹣1（﹣1，3）3（3，+∞）f'（x）+0﹣0+f（x）递增递减﹣8递增∴函数f（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣1），（3，+∞），函数f（x）的单调递减区间是（﹣1，3）；当x＝﹣1时，f（x）取得极大值，极大值为；当x＝3时，f（x）取得极小值，极小值为﹣8．19．“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员，面向全社会的优质平台，现日益成为老百姓了解国家动态，紧跟时代脉搏的热门

13APP，某市宣传部门为了解全民利用“学习强国”了解国家动态的情况，从全市抽取2000名人员进行调查，统计他们每周利用“学习强国”的时长，下图是根据调查结果绘制的频率分布直方图（1）根据上图，求所有被抽查人员利用“学习强国”的平均时长和中位数；（2）宣传部为了了解大家利用“学习强国”的具体情况，准备采用分层抽样的方法从[8，10]和[10，12]组中抽取50人了解情况，则两组各抽取多少人？再利用分层抽样从抽取的50人中选5人参加一个座谈会．现从参加座谈会的5人中随机抽取两人发言，求[10，12]小组中至少有1人发言的概率？解：（1）设抽查人员利用“学习强国”的平均时长为，中位数为y，+0.25×5+0.3×7+0.15×9+0.1×11+0.05×13＝6.8，设抽查人员利用“学习强国”的中位数为y＝0.05+0.1+0.25+0.15×（y﹣6）＝0.5，解得y＝，即抽查人员利用“学习强国”的平均时长为6.8，中位数为．（2）[8，10]组的人数为2000×0.15＝300人，设抽取的人数为a，[10，12]组的人数为2000×0.1＝200人，设抽取的人数为b，则，解得a＝30，b＝20，所以在[8，10]和[10，12]两组中分别抽取30人和20人，在抽取5人，两组分别抽取3人和2人，将[]8，10组中被抽取的工作人员标记为a，b，c，将[10，12]中的标记为A，B．则抽取的情况如下：{a，b}，{a，c}，{a，A}，{a，B}，{b，c}，{b，A}，{b，B}，{c，A}，{c，B}，{A，B}共10种情况，其中在[10，12]中至少抽取1人有7种，则P＝．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，M为PD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝4，AB＝2．（1）求证：AM⊥平面MCD；（2）求点M到平面PAC的距离．

14【解答】（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．∵四边形ABCD是矩形，∴AD⊥CD，又PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，又AM⊂平面PAD，∴CD⊥AM．∵PA＝AD，M为PD的中点，∴AM⊥MD，又CD∩MD＝D，∴AM⊥平面MCD．（2）解：∵M是PD的中点，∴VM﹣PAC＝VD﹣PAC＝VP﹣ACD＝•4＝，又AC＝＝2，∴S△PAC＝＝4，设点M到平面PAC的距离为d，则VM﹣PAC＝S△PAC•d＝．∴＝，解得：．即M到平面PAC的距离是．21．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为1，过点M（3，0）的直线与椭圆C相交于两点A，B（1）求椭圆C的方程；（2）设P为椭圆上一点，且满足+＝t（O为坐标原点），当|AB|＜时，求实数t的取值范围．解：（1）∵椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为1，∴e＝，，又a2＝b2+c2，

15解得a＝2，b＝1，c＝，∴椭圆方程为．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），设AB：y＝k（x﹣3），联立，得（1+4k2）x2﹣24k2x+36k2﹣4＝0，△＝242k4﹣16（9k2﹣1）（1+4k2）＞0，解得，，x1•x2＝，＝（x1+x2，y1+y2）＝t（x，y），x＝，＝，由点P在椭圆上得，36k2＝t2（1+4k2），又曲|AB|＝，∴（1+k2）（x1﹣x2）2＜3，（1+k2）[（x1+x2）2﹣4x1x2]＜3，（1+k2）[]＜3，∴（8k2﹣1）（16k2+13）＞0，∴8k2﹣1＞0，，∴，由36k2＝t2（1+4k2），得，∴3＜t2＜4，∴﹣2＜t＜﹣或．22．已知函数h（x）＝alnx+x2﹣（a+2）x，g（x）＝（a﹣1）lnx+（1+a）x2﹣4x．（1）讨论h（x）的单调性；（2）设函数f（x）＝h（x）﹣g（x），若对任意x＞0，恒有f（x）≤0，求a的取值范围．解：（1），

16①当a≤0时，h'（x）＞0⇒x＞1，h'（x）＜0⇒0＜x＜1．∴h（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；②当a＝2时，，∴h（x）在（0，+∞）上单调递增；③当0＜a＜2时，，h′（x）＞0⇒0＜x＜或x＞1，h′（x）＜0⇒＜x＜1，∴h（x）在（0，），（1，+∞）上单调递增，在上单调递减；④当a＞2时，，h′（x）＞0⇒0＜x＜1或x＞，h′（x）＜0⇒1＜x＜，∴h（x）在（0，1），（，+∞）上单调递增，在上单调递减；（2）f（x）＝h（x）﹣g（x）＝lnx﹣ax2﹣（a﹣2）x，若a≤0，则f'（x）＞0恒成立，f（x）在（0，+∞）上递增，f（1）＝2﹣2a＞0，与已知f（x）≤0不符合，舍去；当a＞0时，，．∴f（x）在上单调递增，在上单调递减，∴＝．∵x＞0时，恒有f（x）≤0，∴只需，即．设φ（a）＝﹣lna+，a＞0，则φ′（a）＝＜0，∴φ（a）在（0，+∞）上单调递减．又φ（1）＝0，∴使得φ（a）≤0的a∈[1，+∞）．故a的取值范围是[1，+∞）．