2022-2023学年数学人教A版2019必修一单元测试第三章 函数的概念与性质（通关原卷版）

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2022-2023学年数学人教A版2019必修一单元卷第三章函数的概念与性质专题详解一、函数的概念设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称：A→B为从集合A到集合B的一个函数。记作：。其中：叫做自变量，的取值范围A叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域注意：（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）。（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：①定义域一致；②表达式相同(两点必须同时具备)考点一：定义域的求法一．已知函数解析式型即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域求函数的定义域需要从这几个方面入手：（1）分母不为零（2）偶次根式的被开方数非负。（3）对数中的真数部分大于0。（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1（5）y=tanx中x≠kπ+π/2；y=cotx中x≠kπ等等。(6)中x例1：求下列函数的定义域（1）；（2）；（3）().二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能用常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的定义域，一般有两种情况。（一）已知的定义域，求的定义域。其解法是：已知的定义域是求的定义域是解，即为所求的定义域。例2：已知的定义域为，求的定义域。学科网（北京）股份有限公司

1举一反三已知函数f(x)的定义域是[-1，4]，求函数f(2x+1)的定义域.（二）已知的定义域，求的定义域。其解法是：已知的定义域是求的定义域的方法是：，求的值域，即所求的定义域。例3：已知的定义域为，求的定义域。举一反三已知函数的定义域为，求函数的定义域．（三）复合函数定义域综合求解例4：已知函数的定义域为，则的定义域为（       ）A．B．C．D．举一反三1．已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________.三、逆向思维型即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为,求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。例5：已知函数的定义域为求实数的取值范围。举一反三已知函数的定义域是，求实数的取值范围。考点二：求函数值域例1　已知函数在上满足：对任意，都有，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．二、值域是函数y=f(x)中y的取值范围。常用的求值域的方法：（1）直接法（2）图象法（数形结合）（3）函数单调性法（4）配方法（5）换元法（包括三角换元）（6）反函数法（逆求法）（7）分离常数法（8）判别式法（9）复合函数法（10）不等式法（11）平方法等等学科网（北京）股份有限公司

2这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。1.利用常见函数的值域来求（直接法）一次函数y=ax+b(a0)的定义域为R，值域为R；反比例函数的定义域为{x|x0}，值域为{y|y0}；二次函数的定义域为R，当a>0时，值域为{}；当a<0时，值域为{}.例2求下列函数的值域①y=3x+2(-1x1)②③（记住图像）2.二次函数在区间上的值域(最值)：例3求下列函数的最大值、最小值与值域：①；②；③；④；3.单调性法例4求函数y=4x－(x≤1/3)的值域。4.换元法例51.求函数的值域2.求函数y＝2x－的值域．5．平方法例7（选）求函数的值域解：函数定义域为：6．分离常数法学科网（北京）股份有限公司

3例8求函数的值域7，数型结合法例9已知函数.（1）用分段函数的形式表示该函数;（2）在所给的坐标系中画出该函数的图像,并根据图像直接写出该函数的定义域、值域(不要求写作图及解答过程)10，反解法例10函数的值域11、判别式法例11求函数的值域12.复合函数法7求函数的值域二、函数的三种表示法是：解析法；图象法；列表法。函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据；解析法：必须注明函数的定义域；图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．注意啊：解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值一：分段函数学科网（北京）股份有限公司

4在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集例1：已知若函数的值域为，则的最小值为______．举一反三1.已知狄利克雷函数，则下列结论正确的是（）A．的值域为B．定义域为C．D．的图象经过点2.已知函数f(x)=则不等式f(x)的解集是____.题型二：图像法例2：1．已知图①中的图象是函数的图象，则图②中的图象对应的函数可能是（）A．B．C．D．举一反三1．（多选）下列选项中所给图象是函数图象的为（）A．B．C．D．2（多选）．已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为V甲和V乙(如图所示).那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是（）A．在t1时刻，甲车的速度大于乙车的速度B．t0时刻后，甲车的速度小于乙车的速度学科网（北京）股份有限公司

5C．在t0时刻，两车的位置相同D．在t0时刻，甲车在乙车前面题型三：列表法例3：1．下表表示y是x的函数，则函数的值域是（）xy101A．B．C．D．举一反三已知下列表格表示的是函数,写出.001四：求解析式1.凑配法例4：已知f=x2+，求f(x)；2.换元法例5：1.已知数，则的解析式为（）A．B．C．D．3.待定系数法例6：已知一次函数满足，则＝________.4.方程组法例7：已知2f＋f(x)＝x(x≠0)，求f(x).5.赋值法例8：若函数满足，则（）A．4B．12C．16D．36四．函数的单调性1、定义：（1）设函数的定义域为A，区间MA，如果取区间M中的任意两个值,当改变量时，都有，那么就称函数在区间M上是增函数，如图（1）当改变量学科网（北京）股份有限公司

6时，都有，那么就称函数在区间M上是减函数，如图（2）注意：函数单调性定义中的x1,x2有三个特征,一是任意性，二是有大小，三是同属于一个单调区间．2、巩固概念：1、定义的另一种表示方法如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2,若即，则函数y=f(x)是增函数，若即，则函数y=f(x)为减函数。强调几点：①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性．②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)．③单调性是对定义域的某个区间上的整体性质，不能用特殊值说明问题。④函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上是增（或减）函数．熟记以下结论，可迅速判断函数的单调性．1．函数y＝－f（x）与函数y＝f（x）的单调性相反．2．当f（x）恒为正或恒为负时，函数y＝与y＝f（x）的单调性相反．3．在公共区间内，增函数＋增函数＝增函数，增函数－减函数＝增函数等3．判断函数单调性的方法（1）定义法．（2）直接法．运用已知的结论，直接得到函数的单调性，如一次函数，二次函数的单调性均可直接说出．（3）图象法．4.函数的单调性（1）设那么学科网（北京）股份有限公司

7上是增函数；上是减函数.5.单调性性质：①增函数+增函数=增函数；②减函数+减函数=减函数；③增函数-减函数=增函数；④减函数-增函数=减函数；注：上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的，是等号左边两个函数定义域的交集。6.复合函数单调性的判断方法：⑴如果函数和都是减函数（增函数）,则在公共定义域内,和函数也是减函数（增函数）;增函数增函数增函数增函数增函数增函数减函数减函数减函数减函数减函数减函数小结：同增异减。研究函数的单调性，定义域优先考虑。且复合函数的单调区间是它的定义域的某个子区间。⑵题型一：定义法证明或判断函数的单调性例1：（2020·山东·高考真题）已知函数的定义域是，若对于任意两个不相等的实数，，总有成立，则函数一定是（       ）A．奇函数B．偶函数C．增函数D．减函数题型二：求函数的单调区间例2：设函数,则（       ）A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减题型三：根据函数的单调性求参数例3：（2021·江西·模拟预测）若函数在上单调递减，则实数学科网（北京）股份有限公司

8的取值范围是（       ）A．B．C．D．题型四：根据图像判断函数的单调性例2：（2021·贵州·高二学业考试）定义在区间上的函数的图象如图所示，则的单调递减区间为（       ）A．B．C．D．题型五：复合函数的单调性例5：（2021·上海浦东新·三模）函数的单调递减区间为___________.题型六：根据函数的单调性解不等式例6：（2022·河北邢台·高考模拟）函数在上为增函数，且，则实数的取值范围是（       ）A．B．C．D．题型七：根据函数的单调性比较大小例7：（2021·全国·模拟预测（文））已知偶函数y=f(x)在区间上是减函数，则下列不等式一定成立的是（       ）A．B．C．D．题型8：根据解析式判断函数的单调性例8：（2021·福建省德化第一中学高一阶段练习）函数的单调递减区间是（       ）A．B．C．D．题型九：单调性综合应用例9：1．（2021·全国·高考真题（文））下列函数中是增函数的为（       ）A．B．C．D．五.奇函数、偶函数的定义（1）奇函数：设函数的定义域为，如果对内的任意一个，都有，则这个函数叫奇函数.学科网（北京）股份有限公司

9（2）偶函数：设函数的定义域为，如果对内的任意一个，都有，则这个函数叫做偶函数.（3）奇偶性：如果函数是奇函数或偶函数，那么我们就说函数具有奇偶性.（4）非奇非偶函数：无奇偶性的函数是非奇非偶函数.注意：（1）奇函数若在时有定义，则．（2）若且的定义域关于原点对称，则既是奇函数又是偶函数．2．奇(偶)函数的基本性质(1)对称性：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于轴对称．(2)单调性：奇函数在其对称区间上的单调性相同，偶函数在其对称区间上的单调性相反．3.判断函数奇偶性的方法（1）图像法（2）定义法首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；确定f(－x)与f(x)的关系；作出相应结论：若f(－x)=f(x)或f(－x)－f(x)=0，则f(x)是偶函数；若f(－x)=－f(x)或f(－x)＋f(x)=0，则f(x)是奇函数．题型一判断函数的奇偶性例1：判断下列函数的奇偶性：(1)；(2)；(3)；(4)．题型二利用函数的奇偶性求函数值例2：1．已知在上是偶函数，且满足，当时，，则（       ）A．B．C．D．举一反三已知函数是奇函数，当时，，则（       ）A．B．C．D．题型三利用函数的奇偶性求函数解析式例3：若是定义在上的奇函数，且是偶函数，当时，，则当时，学科网（北京）股份有限公司

10的解析式为（       ）A．B．C．D．举一反三1.若定义在R上的偶函数和奇函数满足，求.类型四：根据奇偶性求参数例4：若函数是偶函数，则（       ）A．-1B．0C．1D．举一反三1.已知为奇函数，则______．类型五：利用奇偶性求范围问题例4：定义在上的偶函数在上单调递减，且，若不等式的解集为，则的值为（       ）A．B．C．D．六、函数的周期性周期函数的定义：对于定义域内的每一个，都存在非零常数，使得恒成立，则称函数具有周期性，叫做的一个周期，则（）也是的周期，所有周期中的最小正数叫的最小正周期.几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：函数满足对定义域内任一实数（其中为常数）,①，则是以为周期的周期函数；②，则是以为周期的周期函数；③，则是以为周期的周期函数；④，则是以为周期的周期函数；⑤，则是以为周期的周期函数.⑥，则是以为周期的周期函数.⑦，则是以为周期的周期函数.学科网（北京）股份有限公司

11类型一：判断周期函数例7：定义在上的函数满足，则下列函数中是周期函数的是（       ）A．B．C．D．类型二：周期性求值求值例8：已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0

12题型二：由函数对称性求函数值例12：函数为偶函数，且图象关于直线对称，，则（       ）A．3B．4C．D．题型三：由周期性与对称性求函数解析式例13：函数的图象与曲线关于轴对称，则（       ）A．B．C．D．题型四：由周期性与对称性比较大小例14：已知函数是奇函数，且，若在上是增函数，的大小关系是（ ）A．B．C．D．题型五函数性质的综合应用例15：　（2022·重庆·西南大学附中模拟预测）函数满足，，当时，，则关于x的方程在上的解的个数是（       ）A．1010B．1011C．1012D．1013奇偶性周期性及对称性综合应用1．（2022·全国·高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（       ）A．B．C．0D．1八．幂函数1.概念：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．2．幂函数的图像及性质学科网（北京）股份有限公司

13y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝x－1定义域RRR[0，＋∞){x|x∈R且x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R且y≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性增x∈[0，＋∞)时，增；x∈(－∞，0]时，减增增x∈(0，＋∞)时，减；x∈(－∞，0)时，减3.幂值的大小比较（1）直接法:当幂指数相同时,可直接利用幂函数的单调性来比较.（2）转化法:当幂指数不同时,可以先转化为相同幂指数,再运用单调性比较大小.（3）中间值法:当底数不同且幂指数也不同而不能运用单调性比较大小时,可选取适当的中间值与两数分别比较,从而达到比较大小的目的.4.幂函数性质的应用利用幂函数的性质解不等式,实际上就是利用幂函数的单调性,将不等式的大小关系转化为自变量的大小关系,解不等式(组)求参数范围时,注意分类讨论思想的应用。题型一：幂函数的定义例1：（2021·江西·模拟预测）已知幂函数的图象过点，则（       ）A．0B．2C．4D．5题型二：幂函数的定义域例2：（2022·上海·高考真题）下列幂函数中，定义域为的是（       ）A．B．C．D．题型三：幂函数的值域例3：（2020·江苏·高考真题）已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时，，则f(-8)的值是____.题型四：幂函数的单调性例4：（2011·上海·高考真题（文））下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为（）A．B．C．D．题型五：幂函数的奇偶性例5：（2022·吉林吉林·模拟预测（文））设，使函数学科网（北京）股份有限公司

14的定义域是R，且为偶函数的所有的值是（       ）A．2B．1，2C．，2D．，1，2题型六：幂函数的图像判断与应用例6：（2021·河北石家庄·模拟预测）已知幂函数与的部分图象如图所示，直线，与，的图象分别交于A､B､C､D四点，且，则（       ）A．B．1C．D．2题型七：幂函数过定点问题例7：（2021·浙江浙江·高一期末）以下结论正确的是（）A．当时，函数的图象是一条直线B．幂函数的图象都经过、两点C．若幂函数的图象关于原点对称，则在定义域内随的增大而增大D．幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限题型八：幂函数中的参数问题例8：（2021·福建·漳州三中高一期中）已知函数是幂函数，且在上递增，则实数（）A．2B．C．4D．2或学科网（北京）股份有限公司