重庆市西南大学附属中学2021-2022学年高一下学期期末数学试题 Word版含解析.docx

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西南大学附中2021—2022学年度高一下期期末考试数学试题（满分：150分：考试时问：120分钟）注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上．2．答选择题时，必须使用2B铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无数；保持答卷清洁、完整．3．考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设m、n是两条不同的直线，α是一个平面，下列选项中可以判定“的是（）A.且B.且C.且D.且【答案】D【解析】【分析】对于选项A、B、C通过举例可排除，对于选项D，根据线面垂直的关系可判断.【详解】如图所示：正方体中，对于A，取直线为，直线为，平面为面，显然不成立，故A错误；对于B，取直线为，直线为，平面为面，显然不成立，故B错误；对于C，取直线为，直线为，平面为面，显然不成立，故C错误；对于D，根据垂直于同一平面的两条不同直线平行可知D正确. 故选：D.2.缗云山是著名的旅游胜地．天气预报中秋节连续三天，每天下雨的概率为0.5，现用随机模拟的方法估计三天中至少有两天下雨的概率：先由计算器产生0到9之间的整数值的随机数，指定0，1，2，3，4表示当天下雨，5，6，7，8，9表示当天不下雨，每3个随机数为一组，代表三天是否下雨的结果，经随机模拟产生了20组随机数：926446072021392077663817325615405858776631700259305311589258据此估计三天中至少有两天下雨的概率约为（）A.0.45B.0.5C.0.55D.0.6【答案】B【解析】【分析】根据给定数据，求出三天中至少有两天下雨的随机数组数即可计算作答.【详解】依题意，20组随机数中，表示三天中至少有两天下雨的随机数有：446，072，021，392，325，405，631，700，305，311，共10组，所以三天中至少有两天下雨的概率约为.故选：B3.将半径为3，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的体积为（）A.πB.πC.2πD.4π【答案】A【解析】【分析】利用扇形弧长等于圆锥的底面周长求出求出圆锥的底面半径，利用勾股定理求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积．【详解】设圆锥的底面半径为，则，，∴圆锥的高为，∴圆锥的体积. 故选:A4.已知A和B是随机试验E中的两个随机事件，事件，下列选项中正确的是（）A.A与B互斥B.A与C互斥C.A与B相互独立D.A与C相互独立【答案】C【解析】【分析】根据公式可判断A；由可判断B；由公式先求，然后根据可判断C；根据可知可知，然后判断是否相等可判断D.【详解】由题知，，因为，故A错误；因为，A发生时C一定发生，故B错误；因为，所以，又，所以，故C正确；因为，所以，由，，故D错误.故选：C5.已知向量，满足，则与的夹角为（）AB.C.D.【答案】B【解析】【分析】由向量，满足，求得且，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】因为向量，满足，由，可得，即，即又由，可得， 即，解得，即，又因为，因为，所以，即与夹角为.故选：B.6.正四面体ABCD中，E，F分别是AB和CD的中点，则异面直线CE和AF所成角的余弦值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】连接，取的中点，连接，则可得∥，所以可得异面有线CE和AF所成角，然后利用余弦定理求解即可【详解】连接，取的中点，连接，因为为的中点，所以∥，所以为异面有线CE和AF所成角或其补角，设正四面体的棱长为2，则，,所以，所以在中，由余弦定理得,所以异面有线CE和AF所成角的余弦值为，故选：C 7.边长为2的正六边形ABCDEF中，M为边CD上的动点，则的最小值为（）A.B.6C.4D.【答案】A【解析】【分析】建立坐标系，利用平面向量的坐标运算结合二次函数的性质求解即可【详解】如图：以正六边形的中心为原点，所在直线为轴，垂直平分线所在直线为轴建立平面直角坐标系，则，设，则，，因为M为边CD上的动点，所以，即，解得所以，令，则结合二次函数的性质可知，故选：A 8.已知正方体的棱长为1，E为中点，F为棱CD上异于端点的动点，若平面BEF截该正方体所得的截面为四边形，则线段CF的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据给定的几何体，利用面面平行的性质结合平面的基本事实，探讨截面形状确定F点的位置，推理计算作答.【详解】在正方体中，平面平面，而平面，平面，平面平面，则平面与平面的交线过点B，且与直线EF平行，与直线相交，令交点为G，如图，而平面，平面，即分别为与平面所成的角，而，则，且有，当F与C重合时，平面BEF截该正方体所得的截面为四边形，，即G为棱中点M，当点F由点C向点D移动过程中，逐渐增大，点G由M向点方向移动，当点G为线段上任意一点时，平面只与该正方体的4个表面正方形有交线，即可围成四边形， 当点G在线段延长线上时，直线必与棱交于除点外的点，而点F与D不重合，此时，平面与该正方体的5个表面正方形有交线，截面为五边形，如图，因此，F为棱CD上异于端点的动点，截面为四边形，点G只能在线段（除点M外）上，即,显然，，则，所以线段的CF的取值范围是.故选：D【点睛】关键点睛：作过正方体三条中点的截面，找到过三点的平面与正方体表面的交线是解决问题的关键.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知向量，其中，下列说法正确的是（）A.若，则；B.若与夹角为锐角，则；C.若，则在方向上投影向量为；D.若，则【答案】ACD【解析】【分析】根据向量垂直的坐标表示直接求解可判断A；注意向量同向不满足题意可判断B；根据投影向量的定义直接求解，可判断C；根据性质可知与同向，然后可判断D.【详解】若，则，解得，A正确； 若与夹角为锐角，则，解得，又当，，此时，与夹角为0，故B错误；若，则，因为在方向上投影为，与同向的单位向量为，所以在方向上投影向量为，C正确；若，则与同向，由上可知，此时，D正确.故选：ACD10.下列说法正确的是（）A.用分层抽样法从1000名学生（男、女分别占60%、40%）中抽取100人，则每位男生被抽中的概率为；B.将一组数据中的每个数据都乘以3后，平均数也变为原来的3倍；C.将一组数据中的每个数据都乘以3后，方差也变为原来的3倍；D.一组数据，，……，的平均数是5，方差为1，现将其中一个值为5的数据剔除后，余下99个数据的方差是．【答案】ABD【解析】【分析】根据分层抽样的计算规则分析A选项，根据平均数和方差的计算公式分析BCD选项.【详解】选项A：因为1000名学生中男、女分别占60%和40%，根据分层抽样的计算规则，抽取的100人中男生占人，所以每位男生被抽中的概率.A正确；选项B：平均数，将这组数据中每个数据都乘以3后.B正确；选项C：方差，每个数据都乘以3后平均数变为原来的3倍，方差.C错误；选项D：，因为的平均数是5，所以，新平均数 ，又因为的方差是1，所以，提出一个值为5的数据后，余下99个数的方差.D正确.故选：ABD.11.如图，在四边形中，，，，，将沿进行翻折，在这一翻折过程中，下列说法正确的是（）A.始终有；B.当平面平面时，平面平面C.当平面平面时，直线与平面成角；D.当二面角的大小为时，三棱锥外接球表面积为π．【答案】BCD【解析】【分析】在平面平面的情况下，易证平面，利用反证法推出A错误；通过面面垂直判定定理可得B正确；找出直线与平面所成角为即可判断C正确；通过找出棱锥外接球的球心应在过点与平面垂直的直线上，并通过运算求出球半径，再求出三棱锥外接球表面积为，可判定D正确.【详解】在四边形中，由已知可得：,.当平面平面时,平面平面且，因此可得：平面.又平面,所以.因为，点，平面，平面，平面，可得平面.若假设，又，则平面,可得，与点矛盾，故A错误； 又平面，可得平面平面，故B正确；由平面，则为直线与平面所成的角是，故C正确;分别取中点，连接,延长过作，由已知易得：为二面角的平面角为，平面，可求得：，，，又，易知三棱锥外接球的球心应在过点与平面垂直的直线上，过作平面，且为球心，过作，则，，设为，半径为,则在中：在中：解得，因此可得到三棱锥外接球表面积，故D正确.故选：BCD.12.锐角△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其外接圆O的半径，点D在边BC上，且，则下列判断正确的是（） A.B.△BOD为直角三角形C.△ABC周长的取值范围是（3，9]D.AD的最大值为【答案】ABD【解析】【分析】由正弦定理可判断A；在中利用余弦定理求，再在中，由余弦定理得OD，然后由勾股定理可判断B；利用正弦定理将△ABC周长转化为三角函数，然后求值域可判断C；数形结合可判断D.【详解】由题知，，由正弦定理可得，又△ABC为锐角三角形，所以，A正确；连接OC，在中由余弦定理可得，又，所以，在中，由余弦定理得，所以，即，故B正确；△ABC周长因为△ABC为锐角三角形，故，所以，所以，所以，所以，故C错误；易知，当A、O、D三点共线时取得最大值，所以AD的最大值为，D正确. 故选：ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知是关于x的实系数方程的一个根，那么该方程在复数集C内的另一个根是___________．【答案】【解析】【分析】根据方程根的定义，将代入原方程，解得的值，再利用配方法解方程，可得答案.【详解】已知是关于x的实系数方程的一个根，则，即，则，可得，可得方程：，由配方法可得：，解得：，故答案为：.14.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若的面积为，则角A=___________.【答案】【解析】【分析】通过三角形的面积公式，再结合余弦定理即可求得答案.【详解】由题意，，由余弦定理可知：，因为，所以.故答案为：.15.如图，四边形ABCD为直角梯形，，，该梯形绕AB 旋转形成的几何体体积为，则该几何体的侧面积为___________．【答案】【解析】【分析】先由圆台体积公式求圆台的高，然后由侧面积公式可得.【详解】由题知，该几何体为圆台，上底，下底所以，解得所以则圆台的侧面积为故答案为：16.直三棱柱中，，，、、分别是、、的中点，若三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，则___________． 【答案】##【解析】【分析】连接、，设，计算出、，即可得解.【详解】连接、，设，则，因为，则，平面，平面，，，、平面，平面，所以，，，故.故答案为：. 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.一个盒子里有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张．（1）求“抽取的卡片上的数字之和为5”的概率：（2）求“抽取的卡片上的数字不完全相同”的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先列举，再由古典概型的概率公式求解即可；（2）先列举，再由对立事件与古典概型的概率公式求解即可；【小问1详解】将3张卡片有放回的抽取3次，每次抽1张，共有27个基本事件：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，记事件A为“抽取的卡片上的数字之和为5”，则A共包含，，，，，，6个基本事件，所以，所以“抽取的卡片上的数字之和为5”的概率为；【小问2详解】记事件B为“抽取的卡片上的数字不完全相同”，则其对立事件C为“抽取的卡片上的数字完全相同”，其中C包含，，，3个基本事件，所以，所以“抽取的卡片上的数字不完全相同”的概率为18.已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，___________． ①；②；③．请在以上三个条件中任选一个补充在横线处，并解答：（1）求角C的值；（2）若且，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）若选①，由正弦定理及正弦的两角和可得，若选②，由正弦定理及余弦定理可得，若选③，由余弦的二倍角公式可得；（2）由平面向量的数量积及余弦定理可求解.【小问1详解】若选①，由已知有，又因为，在△ABC中，有,所以有，化简得，由于，所以，所以有，于是有，因，所以得.若选②，由，得，因，所以.若选③，由，有,从而有，解得或（舍）(因为)，所以.【小问2详解】 由，可得点为的中点，且有，所以有，若，则,又,所以,从而可得，所以有，可得.19.我校后勤服务中心为监控学校稻香圆食堂的服务质量情况，每学期会定期进行两次食堂服务质量抽样调查，每次调查的具体做法是：随机调查50名就餐的教师和学生，请他们为食常服务质量进行名评分，师生根据自己的感受从0到100分选取一个分数打分，根据这50名师生对食堂服务质量的评分并绘制频率分布直方图．下图是根据本学期第二次抽样调查师生打分结果绘制的频率分布直方图，其中样本数据分组为[40，50），[50，60），……，[90，100]．（1）求频率分布直方图中a的值并估计样本的众数：（2）学校规定：师生对食堂服务质量的评分平均分不得低于75分，否则将进行内部整顿．用每组数据的中点值代替该组数据，试估计该校师生对食堂服务质量评分的平均分，并据此回答食堂是否需要进行内部整顿；（3）我校每周都会随机抽取3名学生和校长共进午餐，每次校长都会通过这3名学生了解食堂服务质量，校长的做法是让学生在“差评、中评、好评”中选择一个作答，如果出现“差评”或者“没有出现好评”，校长会立即责成后勤分管副校长亲自检查食堂服务情况．若以本次抽取的50 名学生样本频率分布直方图作为总体估计的依据，并假定本周和校长共进午餐的学生中评分在[40，60）之间的会给“差评”，评分在[60，80）之间的会给“中评”，评分在[80.100]之间的会给“好评”，已知学生都会根据自己的感受独立地给出评价不会受到其它因素的影响，试估计本周校长会责成后勤分管副校长亲自检查食堂服务质量的概率．【答案】（1）；75；（2），所以食堂不需要内部整顿.（3）0.396【解析】【分析】（1）根据小矩形的面积之和等于1求出的值；再根据众数为所有小矩形的面积最多时的那组的分数即可求解.（2）根据平均数等于各小矩形的面积乘以等边中点横坐标之和即可求解.（3）分别先求出[40，60）、[60，80）、[80，100]的频率，再记校长不会责成后勤分管副校长亲自检查食堂服务质量为事件A,求出，再通过对立事件即可求出概率.【小问1详解】由，解得.该组数据的众数在分数为[70,80]这一组，取中点值为75分，即众数为75【小问2详解】由题中数据可得对食堂服务质量评分的平均分为因为76.4>75，所以食堂不需要内部整顿.【小问3详解】由图可知，[40，60）、[60，80）、[80，100]这三组的频率分别为0.1、0.5、0.4；用频率估计概率，即差评、中评、好评的概率分别为0.1、0.5、0.4；以本次抽取的3名学生，让学生在“差评、中评、好评”中选择一个作答，已知学生都会根据自己的感受独立地给出评价不会受到其它因素的影响，记3名学生分别为甲、乙、丙；设本周校长不会责成后勤分管副校长亲自检查食堂服务质量的事件记为A，则A事件即为：甲好评乙丙中评、甲乙好评丙中评、甲丙好评乙中评、乙好评甲丙中评、乙丙好评甲中评、丙好评甲乙中评、甲乙丙都好评；即 .即本周校长会责成后勤分管副校长亲自检查食堂服务质量的概率为0.396.20.如图，三棱柱ABC—的底面是等腰直角三角形，侧面BB1C1C是矩形，，，点P是棱的中点，且P在平面ABC内的射影O在线段BC上，，点M，N分别是线段CP，CA的中点（1）求证：MN//平面（2）求二面角的正切值．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）连接，则由三角形中位线定理可得∥，然后利用线面平行的判定定理可证得结论，（2）连接，取的中点，连接，过点作于，连接，可证得为二面角的平面角，然后计算即可【小问1详解】证明：连接，因为M，N分别是线段CP，CA的中点，所以∥，因为平面，平面， 所以∥平面，【小问2详解】解：连接，取的中点，连接，过点作于，连接，因为M，是线段CP的中点，所以∥，，因为平面，所以平面，因为平面，所以，因为，所以平面，因为平面，所以，所以为二面角的平面角，设，因为，所以，所以，,所以，，在中，，因为平面，平面∥平面，所以平面，因为平面，所以，所以,所以， 在中，,所以二面角的正切值为21.如图，四棱锥S—ABCD中，底面ABCD为菱形，，侧面SAB⊥侧面SBC，M为AD的中点．（1）求证：平面SMC⊥平面SBC；（2）若AB与平面SBC成角时，求二面角大小，【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由线面垂直与面面垂直的判定定理求解即可；（2）取的中点，连接，由题意可得，取的中点，连接，可证明是二面角的平面角，求出角的大小即可求解 【小问1详解】因为，又M为AD的中点，所以，又，所以，又M为AD的中点，底面为菱形，，所以，所以，因为，，，平面，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面，【小问2详解】取的中点，连接，又，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又与平面所成的角为，所以，又，所以，由（1）知平面，又平面，所以，又，所以，取的中点，连接，因为，所以， 所以是二面角的平面角，又，所以，又，所以，即，所以二面角的大小为，22.如图，在平面四边形ABCD中，.（1）若，求线段AC的长：（2）求线段AC长的最大值．【答案】（1）；（2）6.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理求出BD，再利用余弦定理计算作答.（2）设，在中用余弦定理求出BD，用正弦定理表示出，再在中，利用余弦定理列式求解作答.【小问1详解】在中，，，由余弦定理得： ，即，解得，在中，，由余弦定理得：，所以.【小问2详解】设，在中，由余弦定理得：，由正弦定理得：，，在中，由余弦定理得：，当且仅当，即时取“=”，此时，所以当时，线段AC长取最大值6.【点睛】方法点睛：三角形中已知两边及一边对角求第三边，可以利用余弦定理建立关于第三边的一元二次方程求解.