重庆市万州第二高级中学2021-2022学年高二下学期期末数学试题 Word版含解析.docx

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万州二中高2023届高二下期期末考试数学试题一､单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.如果不等式成立的充分不必要条件是；则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】解绝对值不等式，得到，结合题干条件得到是的真子集，从而得到不等式组，求出实数的取值范围.【详解】，解得：，所以成立的充分不必要条件是，故是的真子集，所以或，解得：，故实数的取值范围是.故选：B2.命题：，，若是真命题，则实数的取值范围是A.B.C.D.【答案】D【解析】【详解】试题分析：若是真命题，即，当时显然满足题意，当时，不满足题意，当时，，解得，综上有，故选D． 考点：二次函数的性质，一元二次不等式问题．3.某人射击一次命中目标的概率为，则此人射击6次，3次命中且恰有2次连续命中的概率为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，可得这名射手射击命中3次的概率，再根据相互独立事件的概率乘法运算求得结果.【详解】根据射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响，故此人射击6次，3次命中的概率为，恰有两次连续击中目标的概率为，故此人射击6次，3次命中且恰有2次连续命中的概率为.故选B【点睛】本题主要考查独立重复试验的概率问题，熟记概念和公式即可，属于常考题型.4.设函数，则使得成立的的取值范围是A.B.C.D.【答案】D【解析】【详解】显然函数是偶函数，且在单调递增，因此要使成立，只需，只需.解得或.故选D.点睛：本题考查了函数的相关性质，涉及函数的值求法，奇偶性、单调性的证明，不等式的求解，属于难题.解决此类型问题，关键体会对定义域内任意自变量存在的性质，特别是特值的求解，即要善于发现，又要敢于试验，奇偶性在把握定义得前提下，通过赋值向定义靠拢，单调性就是要结合单调性证明格式，正用、逆用，变形使用性质，解不等式就是奇偶性及单调性的应用，注意定义域问题. 5.已知随机变量，且，则的展开式中的系数为（）A.40B.120C.240D.280【答案】D【解析】【分析】先利用正态分布的性质可求，再利用二项展开式的通项公式可求的系数.【详解】根据正态曲线的性质可知，，解得，的展开式的通项公式为，，的展开式的通项公式为，，令两式展开通项之积的指数为，可得或，∴的展开式中的系数为，故选：D.【点睛】方法点睛：利用二项展开式计算指定项的系数时，注意利用通项公式和多项式的乘法判断出指定项的系数是有哪些项的系数相乘所得到的.6.已知函数，（m，a为实数），若存在实数a，使得对任意恒成立，则实数m的取值范围是（）A.B.[-，+∞）C.D.【答案】A【解析】【分析】先判断出时，不合题意.对时，利用分离参数法得到，记，利用导数判断单调性，求出最小值，即可得到实数m的取值范围.【详解】函数的导函数.若，可得，函数为增函数. 当不满足对任意恒成立，不合题意.若，可得，解得：.所以当时，，函数为增函数；当时，，函数为减函数.所以.若对任意恒成立，只需（）.即，（）.记，因为存在实数a，使得对任意恒成立，所以记.由，可得：所以当a<2e时,,单调递减；当a>2e时,单调递增；则.所以，即实数m的取值范围是.故选：A.7.用五种不同颜色给三棱柱的六个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条棱的两个顶点涂不同颜色，则不同的涂法有（）A.种B.种C.种D.种【答案】D【解析】【分析】对所选颜色的种数进行分类讨论，先涂、、三点，再确定、、三点颜色的选择方法种数，结合分步乘法和分类加法计数原理可得结果.【详解】分以下几种情况讨论： ①若种颜色全用上，先涂、、三点，有种，然后在、、三点中选择两点涂另外两种颜色，有种，最后一个点有种选择，此时共有种；②若用种颜色染色，由种选择方法，先涂、、三点，有种，然后在、、三点中需选择一点涂最后一种颜色，有种，不妨设涂最后一种颜色的为点，若点与点同色，则点只有一种颜色可选，若点与点同色，则点有两种颜色可选，此时共有种；③若用种颜色染色，则有种选择方法，先涂、、三点，有种，点有种颜色可选，则、的颜色只有一种选择，此时共有.由分类加法计数原理可知，共有种涂色方法.故选：D.8.已知函数，是其导函数，若曲线的一条切线为直线：，且，，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】 【分析】通过切线方程求出切点横坐标，令并讨论它的单调性得出；讨论单调性并得，令并讨论其单调性得出，解出的取值范围.【详解】设切点为，故，而，，故，故，故，因为，故，故，故，故；令，故对任意，，，只需，而，令，解得，故当时，，当时，，故，即；因为在上为减函数，故，则，即；设，易知在上单调递增，所以，所以，故实数的取值范围为，故选：C.【点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的方法(1)分离参数法求范围：若或恒成立，只需满足或即可，利用导数方法求出的最小值或的最大值，从而解决问题；(2)把参数看作常数利用分类讨论方法解决：对于不适合分离参数的不等式，常常将参数看作常数直接构造函数，常用分类讨论法，利用导数研究单调性、最值，从而得出参数范围.二､多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.设集合，，，则下列说法中正确的是（）A.ÜB.ÜC.D.【答案】CD 【解析】分析】求出集合以及，可判断出各选项的正误.【详解】，，当时，为奇数，为偶数，则，，，.故选：CD.【点睛】关键点点睛：解本题关键在于将集合、分别变形为，，结合两个集合中元素的表示形式来进行判断.10.已知函数，关于的不等式的解集为，则（）A.B.设，则的最小值一定为C.不等式的解集为D.若，且，则x的取值范围是【答案】ACD【解析】【分析】由已知不等式的解集求出，再求解各选项中的问题，作出判断．【详解】由题意，即，∴，A正确；，但当时，，B错；，由已知，即，且，C正确； 由题意知在上是增函数，在上是常函数，因此由得或，解得或，综上，．D正确．故选：ACD．【点睛】关键点点睛：本题考查求二次函数的解析式，考查二次函数的性质，二次函数在对称轴的两边单调性相反，顶点处取得最大值或最小值．二次函数的图象与一元二次不等式的解集、一元二次方程的解之间的关系必须能熟练掌握，灵活运用．11.已知定义在R上的连续奇函数f（x）满足，且在区间[0，2]上单调递增，下列说法正确的是（）A.函数f（x）的图像关于直线对称B.函数f（x）的单调递增区间为C.函数f（x）在区间（-2019，2019）上恰有1010个最值点D.若关于x的方程在区间[-8，8]上有根，则所有根的和可能为0或±4或±8【答案】ACD【解析】【分析】分析的单调性，周期性和对称性，然后逐项分析可以求解.【详解】有得，所以函数的周期为8，是奇函数，，对称轴x=2，根据在[0,2]上单调递增，在[-2,0]上也是单调递增的，得函数图像大致如下： 对于A，对称轴为，，故A正确；对于B，单调增区间为，是减区间，故B错误；对于C，，共有504个周期多6，函数在每个周期有2个最值点，在504个完整的周期上有个最值点，在有1个最值点，在上有1个最值点，共有个，故C正确；对于D，若=最大值，如图中所示，则所有根之和=，若最大值，则所有根之和，若m=0，则所有根之和=0，若最小值，如图中所示，，则所有根之和，若最小值，如图中所示，则所有根之和=，故D正确；故选：ACD.12.设函数，，给定下列命题，其中正确的是（）A.若方程有两个不同的实数根，则；B.若方程恰好只有一个实数根，则；C.若，总有恒成立，则； D.若函数有两个极值点，则实数．【答案】ACD【解析】【分析】利用导数研究函数的单调性和极值，且将题意转化为与有两个不同的交点，即可判断A选项；易知不是该方程的根，当时，将条件等价于和只有一个交点，利用导数研究函数的单调性和极值，从而可推出结果，即可判断B选项；当时，将条件等价于恒成立，即函数在上为增函数，通过构造新函数以及利用导数求出单调区间，即可求出的范围，即可判断C选项；有两个不同极值点，根据导数的符号列出不等式并求解，即可判断D选项.【详解】解：对于A，的定义域，，令，有，即，可知在单调递减，在单调递增，所以极小值等于最小值，，且当时，又，从而要使得方程有两个不同的实根，即与有两个不同的交点，所以，故A正确；对于B，易知不是该方程的根，当时，，方程有且只有一个实数根，等价于和只有一个交点，，又且，令，即，有，知在和单减，在上单增，是一条渐近线，极小值为,由大致图像可知或，故B错误； 对于C，当时，恒成立，等价于恒成立，即函数在上为增函数，即恒成立，即在上恒成立，令，则，令得，有，从而在上单调递增，在上单调递减，则，于是，故C正确；对于D，有两个不同极值点，等价于有两个不同的正根，即方程有两个不同的正根，由C可知，，即，则D正确故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性和极值，以及利用导数解决函数的零点问题和恒成立问题从而求参数范围，解题的关键在于将零点问题转化成两个函数的交点问题，解题时注意利用数形结合，考查转化思想和运算能力．三､填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 湖北省2021年的新高考按照“3+1+2”的模式设置，“3”为全国统一高考的语文、数学、外语3门必考科目；“1”由考生在物理、历史2门中选考1门科目；“2”由考生在思想政治、地理、化学、生物学4门中选考2门科目.则甲，乙两名考生在6门选考科目中恰有两门科目相同的条件下，均选择物理的概率为______.【答案】【解析】【分析】根据题中条件，分别求出总的基本事件，以及满足题意的基本事件，基本事件的个数比即为所求概率.【详解】若甲乙两名考生对物理和历史的选择相同，则甲，乙两名考生在6门选考科目中恰有两门科目相同所包含的基本事件个数为；若甲乙两名考生对物理和历史的选择不同，则甲，乙两名考生在6门选考科目中恰有两门科目相同所包含的基本事件个数为；因此，甲，乙两名考生在6门选考科目中恰有两门科目相同所包含的基本事件个数为，甲，乙两名考生在6门选考科目中恰有两门科目相同的条件下，均选择物理所包含的基本事件个数为：因此，所求的概率为.故答案为：.14.将A，B，C，D，E五个字母排成一排，A，B均在C的同侧，记A，B之间所含其它字母个数为，则方差D（）=___________【答案】##0.45【解析】【分析】由题意先求分布列，套公式求出方差.【详解】由题意知,的可能取值为0,1,2.又因为将A、B、C、D、E五个字母排成一排A、B均在C的同侧,所以:i.当=0,即A、B之间没有其它字母时.先将A、B全排,有种排法,再把A、B的全排看作一个大元素,参加剩下的3个元素全排,有种排法因此共有种排法；ii.当=1,即A、B之间只有D、E之一时.先将A、B全排,有种排法,再在D、E中选1个放入A、B之间,有种选法,再把这三个元素的排列看作一个大元素,参加剩下的2个元素全排,有种排法,因此共有 种排法;iii.当=2,即D、E都在A、B之间时,先将A、B全排,有种排法,把D、E全排,有种排法,再把D、E全排作为一个大元素放入A、B之间有1种放法,再把这4个元素的排列看作一个大元素与C全排,有种排法,因此共有种排法.所以基本事件共有48+24+8=80种.其中;;.所以..故答案为：15.下列说法中，正确的有______.①回归直线恒过点，且至少过一个样本点；②根据列列联表中的数据计算得出，而，则有的把握认为两个分类变量有关系，即有的可能性使得“两个分类变量有关系”的推断出现错误；③是用来判断两个分类变量是否相关的随机变量，当的值很小时可以推断两类变量不相关；④某项测量结果服从正态分布，则，则.【答案】②④【解析】【分析】①根据回归直线恒过点，可以不过样本点判断②根据独立性检验方法判断.③根据的意义判断.④根据正态分布的对称性判断.【详解】①回归直线恒过点，不一定过样本点，故错误.②独立性检验是选取一个假设条件下的小概率事件，故正确.③当的值很小时推断两类变量相关的把握小，但不能说无关，故错误.④因为服从正态分布，且，所以与关于对称，故正确.故答案为：②④ 【点睛】本题主要考查命题的判断，还考查了回归分析，独立性检验，正态分布等知识，属于基础题.16.已知，.则值为___________.【答案】【解析】【分析】先利用组合数公式得到，即可求和.【详解】.所以.因为所以，所以. 所以.故答案为：四､解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设（1）分别求（2）若，求实数的取值范围【答案】（1）；或（2）【解析】【分析】（1）解不等式，直接计算集合的交集并集与补集；（2）根据集合间的计算结果判断集合间关系，进而确定参数取值范围.【小问1详解】解：解不等式可得，，所以，或，或；【小问2详解】解：由可得，且，所以，解得，即.18.在的展开式中,求：(1)第3项的二项式系数(2)奇数项的二项式系数和；(3)求系数绝对值最大的项.【答案】(1)；(2)；(3).【解析】【分析】写出二项式的通项公式. (1)根据二项式的通项公式可以求出此问；(2)根据奇数项二项式系数和公式可以直接求出此问题；(3)设出系数绝对值最大的项为第（r+1）项,根据二项式的通项公式,列出不等式组,解这个不等式组即可求出此问题.【详解】二项式的通项公式为：.(1)第3项的二项式系数为,第三项的系数为；(2)奇数项的二项式系数和；(3)设系数绝对值最大的项为第（r+1）项,则,又,所以r=2.∴系数绝对值最大的项为．【点睛】本题考查了二项式通项公式的应用,考查了奇数项的二项式系数和公式,考查了数学运算能力.19.已知函数．（1）证明：在区间内存在唯一的零点；（2）若对于任意的，都有，求整数的最大值．【答案】（1）证明见解析；（2）3．【解析】【分析】（1）先利用导数证明在上单调递增，再结合零点存在定理，得证；（2）参变分离得，令，原问题转化为求在上的最小值，结合（1）中结论和隐零点的思维，即可得解．【详解】（1）证明：∵，∴，当时，，∴在上单调递增， ∵，，∴在区间内存在唯一的零点．（2）解：∵，且，∴，令，则，，由（1）知，在上单调递增，且在区间内存在唯一的零点，设该零点为，则，故当时，，即，在上单调递减，当时，，即，在上单调递增，∴，∴，故整数的最大值为3．【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点，以及不等式问题，考查转化与划归思想，逻辑推理能力和运算能力，属于较难题．20.袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为，现有甲，乙二人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，……，取后不放回，直到两人中有一人取到白球即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的.（1）求袋中原有白球的个数：（2）求取球次数的分布列和数学期望.【答案】（1）袋中原有3个白球;（2）见解析【解析】【分析】（1）本题是一个等可能事件的概率，设出袋中原有个白球，写出试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，根据等可能事件的概率公式得到关于的方程，解方程即可．（2）ξ的所有可能值为：1，2，3，4，5，求出ξ取每一个值时对应的概率，即得分布列，再根据分布列，依据求数学期望的公式求得期望Eξ．【详解】（1）设袋中原有个白球， 由题意知，所以.解得(，舍去).即袋中原有3个白球.（2）由题意，的可能取值为1,2,3,4,5.；；；；.所以，取球次数的分布列为.12345所以.21.随着国内疫情得到有效控制，各商家经营活动逐步恢复正常，部分商家还积极推出新产品，吸引更多的消费者前来消费．某商店推出了一种新产品，并选择对某一天来消费这种新产品的名顾客进行满意度调查，为此相关人员制作了如下的列联表．满意不满意总计男顾客女顾客总计已知从这名顾客中随机抽取人为满意的概率为．（1）请完成如上的列联表；（2）依据的独立性检验，能否认为满意度与性别有关联？（3）为了进一步改良这种新产品，商家在当天不满意的顾客中，按照性别利用分层抽样抽取了 人进行回访，并从这人中再随机抽取人送出奖品，求获奖者恰好是男女的概率．附：．【答案】（1）填表见解析；（2）认为满意度与性别有关联；（3）．【解析】【分析】（1）依题意求得女顾客满意的人数，进而可完成列联表；（2）根据题中所给的公式和数表进行求解判断即可；（3）根据分层抽样的抽样比公式、用排列组合结合古典概型计算公式进行求解即可.【详解】（1）设女顾客满意的有人，根据题意知，，解得，由此填写列联表如下：满意不满意总计男顾客女顾客总计（2）零假设为：满意度与性别之间没有关联根据列联表中的数据得，根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为满意度与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于．（3）因为不满意的男性顾客有人，女性顾客有人，所以抽取的人中，男性为（人），女性有（人），则获奖者恰好是男女的概率为：． 故所求事件的概率为．22.已知函数，其中，e是自然对数的底数．（1）当时，证明：对，；（2）若函数在上存在极值，求实数a的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】当时，，求导，求出函数的最小值，进而即可证明；若函数在上存在极值，则在上存在零点．法一：通过讨论a的范围，对函数的零点分析求解即可；法二：令，方程在上有实根，即函数与函数在上有交点，讨论在上的交点情况即可求解．【小问1详解】证明：当时，，，当时，，且，所以当时，，且时，，函数在上单调递增，，所以，对．【小问2详解】解：法一：若函数在上存在极值，则在上存在零点． 当时，为上的增函数，，，则存在唯一实数，使得成立，当时，，为上的减函数；当时，，为上的增函数，所以为函数的极小值点；当时，在上恒成立，函数在上单调递增，在上无极值；当时，在上恒成立，函数在上单调递减，在上无极值．综上知，使在上存在极值的a的取值范围是．法二：若函数在上存在极值，则在上存在零点，令，则令，方程在上有实根， 即函数与函数在上有交点．由，得，显然，，在上单调递减，则，所以，当时，与有交点，a的取值范围是．即当时，存在唯一实数，使得成立，当时，，为上的减函数；当时，，为上的增函数，所以为函数的极小值点．综上知，函数在上存在极值，a的取值范围是．【点睛】方法点睛：本题考查函数在给定区间上存在极值，求参数问题，可将问题转化为导函数在给定区间上存在零点问题，通常可用讨论参数研究导函数的单调性通过零点存在性定理判断，或者是分离参数，转化为求函数的值域问题来解决.