江苏省南京师范大学附属中学2022届高三下学期5月模拟数学试题 Word版含解析 .docx

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南京师大附中2022届高三年级模拟考试数学试卷一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先解不等式求出集合，再按照并集求解即可.【详解】由可得，则，则.故选：B.2.设i是虚数单位，复数满足，则复数的共轭复数在复平面内对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【分析】根据复数的除法运算求得z,可得，根据复数的几何意义可得答案.【详解】由题意得，即，故，其对应的点在第四象限，故选：D3.已知，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】将两边平方，可得，继而求得，再利用三角函数的二倍角余弦公式求得答案.【详解】因为，故，所以，故x为第二或第四象限角，则， 故，即，所以，故选：D4.在边长为2的等边中，为线段上的动点，且交于点，且交于点，则的值为（）A.1B.C.2D.【答案】C【解析】【分析】作交于点，由，即可求解.【详解】如图，作交于点，则为等边三角形，又，则，又，则四边形为平行四边形，则，则.故选：C.5.已知点，是双曲线的左､右顶点，过点作倾斜角为的直线交于点，点是线段的中点.若，则该双曲线的离心率为（）A.B.C.2D.【答案】A【解析】【分析】先由中位线结合求得，进而求出点坐标，代入双曲线的方程，求得，即可求出离心率. 【详解】易得是线段的中点，又点是线段的中点，则，又，则，作轴于点，又，则，则，代入可得，解得，故离心率为.故选：A.6.将座位号为1，2，3，4，5的五张电影票全部分给甲､乙､丙三个人，每人至少一张，且分给同一人的多张票必须连号，那么不同的分法种数为（）A.24B.36C.72D.120【答案】B【解析】【分析】先分两类，求出每类情况，再利用加法原理可得答案.【详解】若有1人得3张票，则3张票可能为1，2，3；2，3，4；3，4，5三种情况，此时共有种分法；若有2人各得2张，则这4张票可能是：12,34；12,45；23,45三种情况，此时共有种分法；共有种不同的分法.故选：B.7.某同学在课外阅读时了解到概率统计中的马尔可夫不等式，该不等式描述的是对非负的随机变量 和任意的正数，都有，其中是关于数学期望和的表达式.由于记忆模糊，该同学只能确定的具体形式是下列四个选项中的某一种.请你根据自己的理解，确定该形式为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据期望的计算公式,以及即可求解.【详解】设非负随机变量的所有可能取值按从小到大依次为,对应的概率分别为设满足的有,,,因为,所以故选：D8.平面直角坐标系中，点集，则点集所覆盖的平面图形的面积为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】欲求点集所覆盖的平面图形的面积，先看点的轨迹是什么图形，将，的式子平方相加后即可得出,再结合三角函数的有界性即可解决问题．【详解】两式平方相加得：, 即：．由于，，随着的变化，方程表示圆心在，半径为和半径为的两圆之间的圆环，故点集所覆盖的平面图形的面积为：，故选：C．二､多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.若数列满足：对，若，则，称数列为“鲤鱼跃龙门数列”.下列数列是“鲤鱼跃龙门数列”的有（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】举特例，可说明A不符合题意，同理可说明C不符合题意；依据“鲤鱼跃龙门数列”的定义，可说明B,D.【详解】对于A,不妨取，但，不满足，故A错误；对于B,,对，若,则，则,即，故B正确；对于C，不妨取，但，不满足，故C错误；对于D,,对，若,则，则，故，即，故D正确；故选：BD 10.如图，圆柱的底面半径和高均为1，线段是圆柱下底面的直径，点是下底面的圆心.线段是圆柱的一条母线，且.已知平面经过，，三点，将平面截这个圆柱所得到的较小部分称为“马蹄体”.记平面与圆柱侧面的交线为曲线.则（）A.曲线是椭圆的一部分B.曲线是抛物线的一部分C.二面角的大小为D.马蹄体的体积为满足【答案】ACD【解析】【分析】将相同的圆柱按如图方式拼接在一起，将两个球放入圆柱内，通过切线相等即可判断A、B选项；由二面角的定义即可判断C选项；马蹄体的体积为小于圆柱体的即可判断D选项.【详解】将相同的圆柱按如图方式拼接在一起，将两个球放入圆柱内，使每一个球既与圆柱相切，又与曲线C所在平面相切，球与曲线C的切点为，取曲线C上一点，过点的圆柱母线与两球交于两点，由于同是下面球的切线，同是上面球的切线，可得，，则，由椭圆定义知：曲线是椭圆的一部分，A正确；B错误；连接，由，，知面，故，则为二面角的平面角，又，则，C正确； 由补成的几何体知马蹄体的体积为小于圆柱体的，即为，又，所以，所以，D正确.故选：ACD.11.已知函数.如下四个命题甲：该函数的最大值为；乙：该函数图像的两条对称轴之间的距离的最小值为；丙：该函数图象关于对称；丁：该函数图像可以由的图象平移得到.有且只有一个是假命题，那么下列说法正确的是（）A.函数是偶函数B.的值可唯一确定C.函数的极小值点为D.函数在区间上单调递增【答案】ABD【解析】【分析】根据题意得到命题乙和命题丁矛盾，结合三角函数的图象与性质，分类讨论，可判断假命题为丁，由此求得函数的解析式，故可求出的表达式，判断A;求出的值，可判断B;令令，则，判断C;当时，求出，根据函数的单调性，判断D.【详解】由命题甲：该函数的最大值为，可得；由命题乙：该函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，可得；由命题丁：由，可知，；所以命题乙和命题丁矛盾；若假命题是乙，则， 由命题丙：：该函数图象的一个对称中心为，，可得，故，，不满足条件；若假命题是丁，则，由命题丙：该函数图象的一个对称中心为，，可得，可得，，，可得，所以假命题是丁，故，则，为偶函数，A正确；由以上分析可知，故B正确；令，则，因此函数极小值点为，故C错误；当时，，此时函数单调递减，故时单调，故D正确；故选：．12.已知点是坐标平面内一点，若在圆上存在，两点，使得（其中为常数，且），则称点为圆的“倍分点”.则（）A.点不是圆的“3倍分点”B.在直线上，圆的“倍分点”的轨迹长度为C.在圆上，恰有1个点是圆的“2倍分点”D.若：点是圆的“1倍分点”，：点是圆的“2倍分点”，则是的充分不必要条件【答案】BCD【解析】 【分析】对“倍分点”这个概念理解以后，根据的不同取值，对题干进行讨论与验证，结合同角这一条件，运用余弦定理找到变量之间的关系即可进行判断.【详解】若满足，设，，则有，，，.如下图：中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得：，，解得，点是圆的“3倍分点”，故A错误；过作弦的垂线垂足为，当在直线上时，如下图：若是圆的“倍分点”即，设，，则有，.在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得：， ，解得.又，，即，解得，又与坐标轴得交点为与，则在直线上，圆的“倍分点”的轨迹长度为，故B正确；在圆上取一点，若点是圆的“2倍分点”，则有，设，，，，则有，，如下图：在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得：，，解得，即，综上，，所以在圆上，恰有1个点是圆的“2倍分点”，故C正确；设，，.如下图： 若点是圆的“1倍分点”则有，，在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得：，，解得，，由上面的结论可知，若点是圆的“2倍分点”，解得，，若：点是圆的“1倍分点”，：点是圆的“2倍分点”，则是的充分不必要条件，故D正确.故选：BCD.【点睛】本题以圆为背景，考查了平面向量与解三角形知识，并且运用不等式对答案进行判断.三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.命题“，”的否定是___________.【答案】“，”【解析】【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.【详解】解：因为命题“，”是全称量词命题，所以其否定是存在量词命题，即“，”，故答案为：“，”14.若多项式，则___________. 【答案】【解析】【分析】先由求出展开式中含有的项，即可求得的系数，即可求解.【详解】，为的系数，含有的项为，故.故答案为：.15.法国的拿破仑提出过一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰好是一个等边三角形的三个顶点”.在中，，以，，为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为，，，则___________；若的面积为，则三角形中的最大值为___________.【答案】①②.4【解析】【分析】第一空，根据正三角形的外接圆圆心也即正三角形的中心，即可求得答案，第二空，根据等边的面积求出边长，利用正弦、余弦定理求出、和，求出，结合基本不等式，求得答案.【详解】第一空，由于是正外接圆圆心，故也是它们的中心，所以在中，，同理,由，所以;第二空：由题意知为等边三角形，设边长为， 则，解得；设，，，在等腰中，，则，解得，同理得，在中，由余弦定理得，即，即，即，故，解得，当且仅当时取等号，故三角形中的最大值为4，故答案为：16.已知.设实数，若对任意的正实数，不等式恒成立，则的最小值为___________.【答案】##【解析】【分析】利用函数的单调性，可得，恒成立，即恒成立，构造函数，不等式恒成立等价于恒成立，即恒成立，然后设，求出的最大值，从而确定的最小值．【详解】因为仅在时取等号，故为R上的单调递增函数，故由设实数，对任意的正实数，不等式恒成立，可得，恒成立，，即恒成立， 当时，，恒成立，当时，构造函数，恒成立，当时，递增，则不等式恒成立等价于恒成立，即恒成立，故需，设，，在，上递增，在，递减，，故的最小值为，故答案为：【点睛】本题综合考查了函数的单调性的应用以及利用导数解决不等式恒成立问题，综合性强，要注意将不等式恒成立问题转化为函数的最值问题，解答的关键是要对不等式进行恰当的变式，进而构造函数，利用其导数判断单调性，从而求得最值.四､解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤）17.已知正项数列的前项和，其中，，为常数.（1）若，证明：数列是等比数列；（2）若，，求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）由退位相减法求得数列的通项公式，再由等比数列的定义进行判断即可；（2）先由求得，再由求得，即得数列的通项公式，再由错位相减求和即可.【小问1详解】当时，，则，又正项数列，则且，当时，，又，则 ，也符合，则，，则，故数列是以为首项，为公比的等比数列；【小问2详解】由（1）知：当时，，则，由可得，又正项数列可得，则，，则，又，可得，则，时也符合，则，则，，两式相减得，则.18.自1980年以来我国逢整十年进行一次人口普查，总人口等指标与年份如下表所示：指标19801990200020102020年份数12345总人口（亿）9.811.312.613.414.1（1）建立总人口关于年份数的回归直线方程.（2）某市某街道青年人（15-35岁）､中年人（36-64岁）与老年人（65岁及以上）比例约为，为了比较中青年人与老年人购物方式，街道工作人员按比例随机调查了120位居民，购物方式统计如下表.实体店购物网上购物电视购物其它青年人15354中年人1582老年人221 将实体店购物视作传统购物方式，网上购物､电视购物和其它方式视作新兴购物方式.根据所给数据，补充上表并完成下面的列联表：传统购物方式新兴购物方式总计中青年人（15-64岁）老年人（65岁及以上）总计并请判断是否有99.9%的把握认为该街道居民购物方式与其是否为老年人有关？参考公式：，.，其中.参考数据：，0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）（2）列联表见解析；有99.9%的把握认为该街道居民购物方式与其是否为老年人有关【解析】【分析】（1）求得，再求出以及，可得答案；（2）根据购物方式统计表可得到列联表，计算，结合临界值表，可作出判断.【小问1详解】由题意得：， 故，则，故总人口关于年份数的回归直线方程为；【小问2详解】由题意可得列联表如下：传统购物方式新兴购物方式总计中青年人（15-64岁）3070100老年人（65岁及以上）15520总计4575120故，结合临界值表可知有99.9%的把握认为该街道居民购物方式与其是否为老年人有关.19.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，为等边三角形，为线段的中点，且平面平面，是线段上的点.（1）求证：；（2）若直线与平面的夹角的正弦值为，求四棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】【分析】（1）先证明，再证明，得出平面，从而证明；（2）建立坐标系，利用线面角确定的位置，然后利用体积公式可求结果.【小问1详解】因为为等边三角形，为线段的中点，所以；因为平面平面，所以平面；又平面，所以；在中，，由余弦定理可得，因为，所以；因为，所以，所以平面；因为平面，所以.【小问2详解】由（1）得两两垂直，以为坐标原点，建系如图，则；；设，则；设平面的一个法向量为，则，，令，则.因为直线与平面的夹角的正弦值为， 所以，即，解得或（舍），即有，是靠近三等分点，所以四棱锥的高等于的.四棱锥的体积为.20.在中，内角，，所对的边长分别为，，，且满足.（1）求角；（2）角的内角平分线交于点，若，，求.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先由正弦定理及切化弦得，结合角的范围，即可求解；（2）先由结合面积公式求得，再由余弦定理求得的值，再由正弦定理求出即可.小问1详解】由正弦定理及切化弦可得，又，则，即，又，则；【小问2详解】 ，又，，可得，又由余弦定理得，解得（负值舍去），则，可得或，又，显然当或12时，的值相同，不妨设，则，由正弦定理得，可得，又，可得.21.如图，已知离心率为的椭圆的左右顶点分别为､，是椭圆上异于､的一点，直线､分别交直线于､两点.直线与轴交于点，且.（1）求椭圆的方程；（2）若线段的中点为，问在轴上是否存在定点，使得当直线､的斜率､存在时，为定值？若存在，求出点的坐标及的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）先由求出点坐标，再结合离心率为，即可求出椭圆的方程；（2）设出坐标，表示出直线､的方程求得､两点坐标，进而求得坐标，表示出，由是椭圆上的一点化简得，即可求解.【小问1详解】由题意知：，则，又，则，故，又离心率为，则，，故椭圆的方程为；【小问2详解】易得，设，，由直线､的斜率､存在知，又直线､斜率必存在，则直线，令，得，则，直线，令，得，则，又，则，则，又是椭圆上的一点，则，即，故，故当时，为定值，此时.22.已知，. （1）讨论的单调性；（2）若函数与的图象恰有一个交点，求的取值范围.【答案】（1）当时，在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减；（2）或【解析】【分析】（1）直接求导，讨论和，求出对应单调区间即可；（2）将题设转化为有一个零点，由知函数除0之外无其他零点，分，，和依次讨论函数的零点情况，即可求解.【小问1详解】易得，，当时，恒成立，在单调递增；当时，令，解得，令，解得，则在单调递增，在单调递减；综上：当时，在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减；【小问2详解】函数与的图象恰有一个交点，等价于有一个零点，，显然，即函数除0之外无其他零点，，令，， 当时，，则，即在单调递减，当时，当时，，则，当时，，则，当时，，则，即除0之外无其他零点，符合题意；当时，当时，，即在上单调递减，又，则存在使，即在单增，单减，又，时，，故在至少存在1个零点，不合题意；当时，当时，由上知在单调递减，，则在单调递增，即，当时，令，则，即单调递减，，即，令，则，即单调递减，，即，则，即除0之外无其他零点，符合题意；当时，当时，由上知在单调递减，又，，，则存在使，即在单增，单减，又，时，，故在存在1个零点，不合题意；综上：或.【点睛】本题的关键点在于将题设转化为有一个零点，由知函数 除0之外无其他零点，然后借助分类讨论分，，和依次分析函数的零点情况即可求解.