湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高一下学期第一次阶段性检测（月考）数学Word版含解析.docx

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长沙市第一中学2023-2024学年度高一第二学期第一次阶段性检测数学试卷时量：120分钟满分：150分得分一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若角的终边与单位圆相交于点，则等于（）A.B.C.D.2.已知函数，且，则（）A.-5B.-3C.-1D.33.函数的部分图象大致为（）A.B.C.D.4.《红楼梦》､《西游记》､《水浒传》､《三国演义》为我国四大名著，其中罗贯中所著《三国演义》中经典的战役赤壁之战是中国历史上以弱胜强的著名战役之一，东汉建安十三年（公元208年），曹操率二十万众顺江而下，周瑜､程普各自督领一万五千精兵，与刘备军一起逆江而上，相遇赤壁，最后用火攻大败曹军.第49回“欲破曹公，宜用火攻；万事俱备，只欠东风”，你认为“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知，则（）A.B.C.D.6.若函数的值域为，则的取值范围是（） A.B.C.D.7.在菱形中，，若，则（）A.B.C.D.8.已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是（）A.B.C.D.二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设复数的共轭复数为为虚数单位，则下列命题正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则的最小值是110.已知，则（）A.，使得B.若，则C.若，则D.若，则的最大值为11.已知定义域为的函数满足，且，则（）A.B.是偶函数 C.D.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.如图，在直角梯形中，，则直角梯形的直观图的面积为__________.13.在中，角的对边分别为，若，且12，则的值为__________.14.定义：为实数中较大的数.若，则的最小值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已知向量.（1）求向量与夹角的正切值；（2）若，求的值.16.（15分）在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题.在中，角的对边分别为，已知__________，.（1）求；（2）如图，为边上一点，，求边.17.（15分）如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形的形状，它的下底是半圆的直径，上底的端点在圆周上.记梯形的周长为. （1）将表示成的函数；（2）求梯形周长的最大值.18.（17分）设函数.（1）求函数在上的单调区间；（2）若，使成立，求实数的取值范围；（3）求证：函数在上有且只有一个零点，并求（[x]表示不超过的最大整数，如，）.参考数据：.19.（17分）设连续函数的定义域为，如果对于内任意两数，都有，则称为上的凹函数；若，则称为凸函数.若是区间上的凹函数，则对任意的，有琴生不等式恒成立（当且仅当时等号成立）.（1）证明：在上为凹函数；（2）设，且，求的最小值；（3）设为大于或等于1的实数，证明：.（提示：可设） 长沙市第一中学2023—2024学年度高一第二学期第一次阶段性检测数学参考答案一､二､选择题题号]234567891011答案DCBBADDCABDBDBC2.C【解析】由题意，故，又，则.故选C.3.B【解析】因为，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，排除C项､D项，又，排除项.故选.5.A【解析】因为在上单调递减，所以，又在上单调递增，故，又，故.故选A.6.D【解析】当时，，因为函数的值域为，所以当时，，分两种情况讨论：①当时，，所以只需，解得，所以；②当时，，所以只需，显然成立，所以.综上，的取值范围是.故选D.7.D【解析】作出图形，建立如图所示的平面直角坐标系，设，因为，所以，因为，所以，即是的中点， 所以，所以，由题知，故，所以，所以.故选D.8.C【解析】当时，因为，所以，因为函数在上存在最值，所以，解得，当时，，因为函数在上单调，则，所以其中，解得，所以，解得，又因为，所以.当时，；当时，；当时，.又因为，所以的取值范围是.故选C.9.ABD【解析】设，对于选项，所以，所以，故选项A正确；对于选项，所以，即，故选项B正确； 对于选项C：，则，故选项C不正确；对于选项D：因为，所以，所以，即，所以，所以，所以的最小值为1，故选项D正确.故选ABD.10.BD【解析】对于A，，若，可得，因为，可得，解得，又因为当时，，所以方程无解，所以错误；对于，因为，可得，所以，又因为，所以，则，所以正确；对于，，所以错误；对于，因为，所以，又，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为，所以正确.故选BD.11.BC【解析】， 令，则，故选项A错误；令，则，又，所以，令，则，所以函数关于对称，令，则，令，则，所以，又函数的定义域，所以函数为偶函数，故选项B正确；令，则，又，所以，故选项C正确；因为，所以，所以函数的一个周期为8，令，则，所以，所以，所以，，所以，所以，故选项D错误.故选BC.三､填空题12.13.4或8【解析】由，得，由余弦定理得，，化简得，解得或. 14.2【解析】设，则由题意可得，因为，所以①当时，，只需考虑，所以，所以，可得，当且仅当时取等号；②当时，，只需考虑，所以，可得，当且仅当时取等号.综上所述，的最小值为2.四､解答题15.【解析】（1）因为，所以.设向量与的夹角为，则，解得.又，所以，故.（2）因为，所以，即，解得.16.【解析】（1）若选择条件①，则答案为：在中，由正弦定理得，，两边平方可得：，则， .若选择条件②，则答案为：，由正弦定理得，，，由，解得：，，.（2）设，易知，在中，由余弦定理得，解得或（舍去），在直角三角形中，.17.【解析】（1）由是半圆的直径，得，则，过点作交于点，连接，则，因此，所以.（2）由（1）知，设，则，显然当时，有最大值10，所以梯形周长的最大值是10. 18.【解析】（1）令，解得，又，得的单调递增区间是和；令，解得，又，得的单调递减区间是和.函数在上的单调递增区间是和，单调递减区间是和.（2）若，使成立，则当时，的值域应为的值域的子集.由（1）知，在上单调递减，的值域为，，当时，令，则，开口方向向上，对称轴是直线，当时，在上单调递减，不符合题意；当时，在上单调递减，在上单调递增，，即，解得，所以.（3）由（1）知在上是减函数，易知在上是增函数，所以在上是减函数，又，根据零点存在性定理知在上有唯一零点，当时，，所以，即在上无零点，综上，在上有且只有一个零点. ，，，.19.【解析】（1）设，则，所以在上为凹函数.（2）令，由（1）知在上为凹函数，所以函数在上也为凹函数.由琴生不等式，得，即，所以，当且仅当时取等号，故的最小值为.（3）设，因为，所以， 要证，只需证，由琴生不等式，只需证在上为凹函数.设，则，下证，即证，即证，化简得，即证又式显然成立，所以成立，在上为凹函数，